Die Ziege – Extremwertaufgabe mit quadratischer Funktion

Die Ziege – Extremwertaufgabe mit quadratischer Funktion Übung

• Fasse am Beispiel des Ziegengeheges zusammen, was man unter einer Extremwertaufgabe versteht.

  Tipps

  Die Ziegen sollen möglichst viel Platz haben. Die Gesamtlänge des Zauns soll dabei stets gleich sein.

  Der Wert, für den die Größe optimal ist, heißt Extremwert.

  Lösung

  Extremwertaufgaben:
  Bei einer Extremwertaufgabe handelt es sich um ein Optimierungsproblem, das bedeutet, eine Größe soll optimiert werden. Für dieses Problem ist die optimale oder bestmögliche Lösung unter bestimmte Rahmenbedingungen gesucht. Extrem bedeutet hier also beispielweise maximal groß unter den gegebenen Bedingungen.

  Beispiel Ziegengehege:
  Bei dem Problem, ein möglichst großes Ziegengehege zu umzäunen, haben wir die Gesamtlänge des Zauns als Rahmenbedingung gegeben. Der Extremwert $x$ beschreibt die Seitenlänge des rechteckigen Geheges, mit der die maximale Fläche umzäunt wird. Hier steht extrem also für größtmöglich.

  Hinweis: Bei einer quadratischen Funktion liegt der Extrempunkt immer im Scheitelpunkt. Dabei entspricht die $x$-Koordinate des Scheitels dem Extremwert, die $y$-Koordinate dem optimalen Wert der Größe.

• Bestimme die maximale Gesamtfläche des Ziegengeheges und die zugehörigen Seitenlängen.

  Tipps

  Nachdem du die Variablen definiert hast, kannst du die Fläche $A$ und die Länge $l$ mit Termen beschreiben.

  Wenn der Term für $A$ nur die Variable $x$ enthält, kannst du ihn in Scheitelpunktform bringen und so die Werte für $x$ und $A$ ablesen.

  Erst, wenn du $x$ bestimmt hast, kannst du $l$ berechnen.

  Lösung

  Da die Gesamtfläche des umzäunten Ziegengeheges möglichst groß werden soll, handelt es sich um eine Extremwertaufgabe. Um sie zu lösen gehen wir schrittweise vor.

  1. Zunächst definieren wir die Variablen $x$ und $l$ für die Seitenlängen sowie $A$ für den Flächeninhalt des Geheges.
  2. Wir stellen eine Funktion für $A$ auf, indem wir in die Flächenformel eines Rechtecks $A=a \cdot b$ für die Seitenlängen $x$ und $l = 100 - 2x$ einsetzen: $A = (100 - 2x) \cdot x$
  3. Wir multiplizieren aus: $A = -2x^2 + 100x$
  4. Wir bringen den Term mittels quadratischer Ergänzung in Scheitelpunktform:
  $\begin{array}{rl} A & = -2x^2 + 100x \\ & = -2(x^2 - 50x) \\ & = -2(x^2 - 50x + 25^2 - 25^2) \\ & = -2[(x-25)^2 - 625] \\ & = -2(x - 25)^2 + 1250 \end{array}$
  5. Nun können die Koordinaten des Scheitelpunkts abgelesen werden: $S(25 \vert 1250)$
  Daraus ergibt sich: $x = 25$ und $A_\text{max} = 1250$
  6. Mit $x = 25$ kann $l = 100 - 2x = 100 - 2 \cdot 25 = 50$ berechnet werden.
  7. Wir erhalten als Antwort:
  Das Gehege hat eine maximale Fläche von $1250~\text{m}^2$, wenn die Seiten $25~\text{m}$ und $50~\text{m}$ lang sind.

• Beschreibe die quadratische Funktion, welche maximiert werden soll.

  Tipps

  Da nur drei Seiten geformt werden müssen gilt:
  $l = 500-2x$

  Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:
  $A= l \cdot x$

  Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte des Definitionsbereichs, da dieser durch die Nullstellen der Parabel begrenzt ist.

  Lösung

  Wir wollen aus einem $500~\text{cm}$ langen Draht drei Seiten eines Rechtecks mit mögllichst großem Flächeninhalt formen. Dabei verwenden wir die Variablen:
  

  • Flächeninhalt $A$
  • Seite parallel zur Wand $l$
  • Seiten senkrecht zur Wand $x$

  
  

  Da von den drei Seiten zwei die Länge $x$ haben, gilt für die dritte Seite $l$:
  $l = 500-2x$

  Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:
  $A= l \cdot x$

  Durch Einsetzen von $l$ und Ordnen, erhalten wir die quadratische Funktion:
  $A=(500-2x) \cdot x = 500x-2x^2 = -2x^2+500x$

  Da für $x = 250$ gilt $l = 0$, hat das Rechteck für $x = 0$ und $x = 250$ jeweils die Fläche $0$. Dies sind die Grenzen des Definitionsbereichs: $[0,250]$.
  Das bedeutet, wir können für $x$ Werte zwischen $0$ und $250$ einsetzen.

  Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte des Definitionsbereichs, also bei $x=125$.
  Wir können dies auch rechnerisch mithilfe der quadratischen Ergänzung überprüfen. Dazu formen wir folgendermaßen um:
  $\begin{array}{rl} A(x) & = -2x^2+500x \\ & = -2(x^2-250x) \\ & = -2(x^2 - 2 \cdot 125 \cdot x + 125^2-125^2) \\ & = -2\left[\left(x-125\right)^2 - 125^2\right] \\ & = -2\left[\left(x-125\right)^2 - 15\,625\right] \\ & = -2\left(x - 125\right)^2 + 31\,250 \end{array}$

  Der Scheitelpunkt lautet also $S(125 \vert 31\,250)$.

  Die eine Seitenlänge beträgt somit $125~\text{cm}$, und die andere Seitenlänge $500~\text{cm} - 2 \cdot 125~\text{cm} = 250~\text{cm}$. Damit ergibt sich ein maximaler Flächeninhalt von $31\,250~\text{cm}^2 = 3{,}125~\text{m}^2$.

• Berechne die größtmögliche Fläche.

  Tipps

  Eine nach unten geöffnete Parabel hat ihren maximalen Wert im Scheitelpunkt.

  Skizziere die Situation und benenne die Variablen, um einen Funktionsterm aufzustellen.

  Lösung

  Bei Extremwertaufgaben suchen wir nach einem optimalen Wert für eine Größe, zum Beispiel einem maximalen Flächeninhalt.

  Beispiel 1:
  Das Kaninchengehege von Rudi hat drei Seiten, von denen zwei die Länge $x$ haben. Die dritte Seite, die parallel zur Hauswand verläuft, hat dann die Länge $6 - 2x$, da Rudi insgesamt $6~\text{m}$ Zaun zur Verfügung hat.

  Für die Fläche des Geheges gilt:
  $A = x \cdot (6 - 2x) = -2x^2 + 6x$

  Wir bringen den Term durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform:
  $\begin{array}{rl} A & = -2x^2 + 6x \\ & = -2(x^2 - 3x) \\ & = -2(x^2 - 2 \cdot 1{,}5 \cdot x + 1{,}5^2 - 1{,}5^2) \\ & = -2\left[(x^2 - 1{,}5)^2 - 2{,}25\right] \\ & = -2(x^2 - 1{,}5)^2 + 4{,}5 \end{array}$

  Wir können die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen: $S(1{,}5 \vert 4{,}5)$

  Damit ergibt sich als maximale Größe des Geheges: $4{,}5~\text{m}^2$

  
  

  Beispiel 2:

  Der Schwimmbereich wird auf einer Seite durch den Strand begrenzt, die anderen drei Seiten bilden die Begrenzung des Schwimmbereichs. Dabei haben zwei Seiten die Länge $x$, für die dritte Seite verbleiben dann $48 - 2x$, da Bianca insgesamt $48~\text{m}$ der Begrenzung zur Verfügung hat.

  Für die Fläche des Schwimmbereichs gilt:
  $A = x \cdot (48 - 2x) = -2x^2 + 48x$

  Wir bringen den Term durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform:
  $\begin{array}{rl} A & = -2x^2 + 48x \\ & = -2(x^2 - 24x) \\ & = -2(x^2 - 2 \cdot 12 \cdot x + 12^2 - 12^2) \\ & = -2\left[(x^2 - 12)^2 - 144\right] \\ & = -2(x^2 - 12)^2 + 288 \end{array}$

  Wir können die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen: $S(12 \vert 288)$

  Damit ergibt sich als maximale Größe des Schwimmbereichs: $288~\text{m}^2$

• Gib an, wozu die quadratische Ergänzung genutzt wird.

  Tipps

  Die quadratische Ergänzung wird auf quadratische Funktionen angewandt.

  Für die Funktion $2x^2 + 4x $ sieht die quadratische Ergänzung folgendermaßen aus:

  $\begin{array}{rcl} 2x^2 + 4x & = & 2(x^2 + 2x) \\ & = & 2(x^2 + 2x + 1^2 - 1^2) \\ & = & 2\bigl[(x + 1)^2 - 1\bigr] \\ & = & 2(x + 1)^2 - 2 \end{array}$

  Der Scheitelpunkt $S(-1|{-}2)$ kann nun direkt abgelesen werden.

  Die Normalform für eine allgemeine quadratische Funktion sieht folgendermaßen aus: $f(x) = ax^2 + bx +c$
  Beispiel: $f(x) = 2x^2 + 4x + 7$

  Die Scheitelpunktform für eine allgemeine quadratische Funktion sieht folgendermaßen aus: $f(x) = a(x - d)^2 + e$
  Beispiel: $f(x) = 2(x - 3)^2 + 5$

  Lösung

  Die quadratische Ergänzung:
  Bei der quadratischen Ergänzung wird ein Term so um eine Quadratzahl ergänzt, dass eine binomische Formel entsteht. Dadurch kann ein Funktionsterm, der in Normalform ($ax^2 + bx + c$) vorliegt, in Scheitelpunktform ($a(x - d)^2 + e$) gebracht werden. In dieser Form können die Koordinaten des Scheitelpunktes $S(d \vert e)$ direkt abgelesen werden.

  Beispiel zur quadratischen Ergänzung:
  Wir betrachten die folgende Funktion in Normalform:
  $y = x^2 + 6x - 1$
  Um eine binomische Formel zu erhalten, müssen wir mit $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2$ ergänzen. Damit der Term dadurch nicht verändert wird müssen wir dieselbe Zahl auch subtrahieren, denn es gilt: $3^2 - 3^2 = 0$.
  $y = \overbrace{x^2 + 6x + 3^2}^{\text{binomische Formel}} - 3^2 - 1$
  Wir fassen den vorderen Teil mit der binomischen Formel zu $(x+3)^2$ zusammen und verrechnen die restlichen Werte.
  $y =(x+3)^2 - 9 - 1 = (x+3)^2 - 10$
  Wir erhalten den Funktionsterm in Scheitelpunktform und können die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(-3|{-}10)$ direkt ablesen.

  Folgende Aussage sind somit korrekt:

  • Man kann den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ermitteln.
  • Man kann eine quadratische Funktion, die in Normalform vorliegt, in die Scheitelpunktform umformen.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Man kann die Nullstellen einer linearen Funktion finden.

  Die quadratische Ergänzung wird nur bei quadratischen Funktionen angewandt.

  • Man kann eine quadratische Funktion, die in Scheitelpunktform vorliegt, in die Normalform umformen.

  Die Umwandlung einer quadratischen Funktionsgleichung von der Scheitelpunktform in die Normalform erfolgt durch Ausmultiplizieren.

• Stelle allgemein eine Funktionsgleichung für den Flächeninhalt des Geheges in Abhängigkeit von der Gesamtlänge $u$ des Zauns auf.

  Tipps

  Stelle zunächst wieder die Beziehung zwischen $l$ und $x$ auf und setze sie in die Funktion $A$ ein. Damit bekommst du eine Funktion, die $x$ und $u$ als Variablen enthält.

  Quadratische Ergänzung allgemein:

  $\begin{array}{l} \textstyle ax^2 + bx + c \\ ~ \textstyle = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \\ ~ \textstyle = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right] \\ ~ \textstyle = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right] \\ ~ \textstyle = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \end{array}$

  Lösung

  Hier ist die Gesamtzaunlänge als Parameter $u$ gegeben. Wir führen die Lösungsschritte daher allgemein durch:

  Breite des Geheges: $x$
  Länge des Geheges: $l = u-2x$
  Fläche des Geheges: $A = l \cdot x = (u-2x) \cdot x$

  Wir wandeln die Formel für die Fläche des Geheges durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform um:

  $\begin{array}{rl} A & = (u - 2x)x \\ & = -2x^2 +ux \\ & = -2(x^2 - \dfrac{u}{2}x) \\ & = -2\left[x^2 - \dfrac{u}{2}x +\left(\dfrac{u}{4}\right)^2 - \left(\dfrac{u}{4}\right)^2\right] \\ & = -2\left[\left(x - \dfrac{u}{4}\right)^2 - \dfrac{~u^2}{16}\right] \\ & = -2\left(x - \dfrac{u}{4}\right)^2 + \dfrac{~u^2}{8} \end{array}$

  Aus der Scheitelpunktform können wir nun den Scheitelpunkt allgemein ablesen:
  $S\left(\dfrac{u}{4} \Big| \dfrac{~u^2}{8}\right)$

  Damit erhalten wir allgemein für die Zaunlänge $u$ einen maximalen Flächeninhalt $A_\text{max} = \dfrac{~u^2}{8}$ mit den Seitenlängen $x = \dfrac{u}{4}$ und $l = \dfrac{u}{2}$.