Drehsymmetrie
Drehsymmetrie in der Mathematik bedeutet, dass eine Figur sich nach bestimmten Drehungen wieder selbst gleicht. Das Konzept wird anhand von Beispielen wie einem Quadrat oder einem Kleeblatt erklärt. Bist du interessiert? Das Video vertieft das Verständnis und bietet Übungen an.
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Grundlagen zum Thema Drehsymmetrie
Drehsymmetrische Figuren
Ist dir schon einmal aufgefallen, dass deine Tasse immer ein bisschen anders aussieht, wenn du sie drehst? Der Henkel zeigt immer in unterschiedliche Richtungen. Wenn du ein Glas drehst, sieht es immer gleich aus. Egal ob du eine halbe oder eine ganze Drehung machst. Genauso ist es bei einem vierblättrigen Kleeblatt. Das hat etwas mit der Drehsymmetrie zu tun. Was das ist, schauen wir uns im Folgenden zusammen an.
Was ist Drehsymmetrie?
In der Mathematik hat eine Figur eine Drehsymmetrie, wenn man sie so um sich selbst drehen kann, dass sie wieder gleich aussieht – also deckungsgleich ist. Dabei zählt natürlich keine ganze Drehung. Denn dann wäre ja alles drehsymmetrisch, weil jede Form nach einer Drehung um $360^\circ$ deckungsgleich mit sich selbst ist. Schauen wir uns ein Beispiel dazu an.
Ist diese zusammengesetzte Figur aus zwei ausgemalten Rechtecken drehsymmetrisch? Ja! Wenn du sie um $180$ Grad drehst, also eine halbe Drehung ausführst, sieht das Muster wieder aus wie vorher.
Schauen wir uns noch einmal unsere Tasse von oben an. Wenn wir sie sehen, zeigt der Henkel immer in unterschiedliche Richtungen. Erst wenn du sie einmal ganz herumgedreht hast, sieht sie wieder gleich aus.
Die Tasse ist also nicht drehsymmetrisch. Und was ist mit einem Quadrat?
Das Quadrat ist drehsymmetrisch! Du kannst eine Vierteldrehung, eine halbe Drehung und eine Dreivierteldrehung ausführen – es sieht immer wieder gleich aus.
Das Video Drehsymmetrie kurz zusammengefasst
In diesem Video wird die Drehsymmetrie für die Grundschule einfach erklärt. Sieh es dir an, um noch mehr Beispiele kennenzulernen als die Beispiele aus dem Text. Neben Text und Video findest du außerdem ein Arbeitsblatt mit Übungen.
Transkript Drehsymmetrie
Ahhh, draußen in der Natur ist es doch immer noch am schönsten! Hier können wir die erstaunlichsten Dinge entdecken. Zum Beispiel dieses Kleeblatt. Es wirkt zwar unscheinbar und dennoch können wir hier eine besondere Form der Symmetrie erkennen, nämlich die Drehsymmetrie. Die äußere Form des Kleeblatts ist drehsymmetrisch. Ist eine Figur drehsymmetrisch, dann führt eine Drehung um weniger als 360 Grad zu einer Deckungsgleichheit mit der ursprünglichen Figur. Die Drehung muss deshalb geringer sein, da jede Figur bei einer Drehung um 360 Grad mit der ursprünglichen Figur deckungsgleich wäre. Die Drehung erfolgt dabei um das sogenannte Zentrum der Drehung oder kurz gesagt das Drehzentrum. Drehsymmetrische Figuren und Formen haben oftmals die Eigenschaft, dass sie nicht nur um einen bestimmten Winkel gedreht werden können. Dieses Kleeblatt kann um 120 Grad und 240 Grad gedreht werden. In beiden Fällen ist das gedrehte Kleeblatt deckungsgleich zum ursprünglichen Kleeblatt. Die Punktsymmetrie ist der Drehsymmetrie sehr ähnlich. Schauen wir uns dazu dieses vierblättrige Kleeblatt an. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch eine Drehung um genau 180 Grad auf sich selbst wieder abgebildet wird. Somit ist jede punktsymmetrische Figur auch drehsymmetrisch. Jedoch ist nicht jede drehsymmetrische Figur auch gleichzeitig punktsymmetrisch. Drehen wir das dreiblättrige Kleeblatt um 180 Grad, ist es nicht deckungsgleich mit dem nicht-gedrehten Kleeblatt. Doch nicht nur eine Figur an sich kann die Eigenschaft der Drehsymmetrie besitzen. Auch zwei Figuren können drehsymmetrisch zueinander sein. Betrachten wir diese zwei Dreiecke. Drehen wir das Dreieck ABC um das Drehzentrum herum, dann ist es deckungsgleich zum Dreieck 'A-Strich, B-Strich, C-Strich'. Das Drehzentrum, das wir mit Z benennen, liegt in diesem Fall außerhalb der Figuren. Entsprechende Punkte haben dabei denselben Abstand zum Drehzentrum. Die Punkte A und 'A-Strich' liegen also auf einem Kreis um das Drehzentrum Z. Genauso verhält es sich mit B und 'B-Strich' sowie C und 'C-Strich'. Sind zwei Figuren drehsymmetrisch zueinander, dann sind sie kongruent. Das bedeutet so viel wie 'deckungsgleich'. Neben dem Kleeblatt gibt es auch noch viele weitere drehsymmtrische Figuren, denen wir im Alltag begegnen. Die Form der Rotorblätter von Windrädern sind beispielsweise drehsymmetrisch. Hier ist liegt das Drehzentrum auch genau in dem Punkt, um den sich die Rotorblätter drehen. Sowohl eine Drehung um 120 als auch um 240 Grad führt hier zu einer Deckungsgleichheit. Auch viele Zahnräder sind drehsymmetrisch. Das Drehzentrum liegt hier genau in der Mitte des Zahnrades. Sowohl diese als auch diese Drehung führen zu einer Deckungsgleichheit. Selbst in der Tierwelt können wir manchmal Drehsymmetrien entdecken. Dies gilt zum Beispiel für die Form einiger Seesterne. Sie kann um 72, 144, 216 und 288 Grad gedreht werden. In allen Fällen ist die gedrehte Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur. Lass uns das noch einmal zusammenfassen: Ist eine Figur drehsymmetrisch, dann führt eine Drehung um weniger als 360 Grad zu einer Deckungsgleichheit mit der ursprünglichen Figur. Die Drehung erfolgt dabei um das sogenannte Drehzentrum. Auch mehrere Figuren können drehsymmetrisch zueinander sein. Ob es nun Glück bringt oder nicht. Drehen wir das Kleeblatt immer schneller, dann wird aus dem Kleeblatt eben ein Drehblatt.
Drehsymmetrie Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zur Drehsymmetrie.
TippsDieses Kleeblatt ist drehsymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.
$360^{\circ}$ ist eine komplette Drehung.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Jede Figur ist nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.“
- Nach einer Drehung um $360^{\circ}$ ist jede Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur. Nach einer Drehung um $180^{\circ}$ sind nur punktsymmetrische Figuren deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.
Diese Aussagen sind richtig.
„Die Drehung einer drehsymmetrischen Figur erfolgt immer um das Drehzentrum $Z$. Dieses kann innerhalb oder außerhalb der Figur liegen.“
„Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist.“
- Das ist die Definition einer punktsymmetrischen Figur.
„Jede punktsymmetrische Figur ist drehsymmetrisch.“
- Nach Definition ist eine Figur punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Eine Figur gilt hingegen als drehsymmetrisch, sobald sie nach einer Drehung von weniger als $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Da $180^{\circ}$ weniger als $360^{\circ}$ ist, ist jede punktsymmetrische Figur gleichzeitig eine drehsymmetrische Figur. Andersherum gilt dies jedoch nicht.
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Beschreibe die Drehsymmetrie von Figuren.
TippsDeckungsgleich bedeutet: in Form und Größe gleich.
Eine Drehung um $120^{\circ}$ entspricht einem Drittel eines Kreises.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Dieses Kleeblatt ist drehsymmetrisch. Nach einer Drehung um weniger als $360^{\circ}$ ist es wieder deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.“
- Das Kleeblatt erfüllt die obige Definition von Drehsymmetrie.
Dieses Kleeblatt ist nach einer Drehung um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.
Dieses Kleeblatt ist punktsymmetrisch. Nach einer Drehung um genau $180^{\circ}$ ist es wieder deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.“
- Das Kleeblatt erfüllt die obige Definition von Punktsymmetrie.
Eine punktsymmetrische Figur ist immer drehsymmetrisch.“
- Aufgrund der Definitionen von Drehsymmetrie (deckungleich nach Drehung um weniger als $360^{\circ}$) und Punktsymmetrie (deckungsgleich nach Drehung um genau $180^{\circ}$) sind punktsymmetrische Figuren immer drehsymmetrisch, aber nicht umgekehrt.
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Bestimme, ob diese Figuren drehsymmetrisch sind.
TippsDu kannst entscheiden, ob die Figuren drehsymmetrisch sind, indem du sie drehst. Das kannst du durch eine Zeichnung oder im Kopf durchführen.
Anschließend entscheidest du, ob sie nach einer Drehung von weniger als $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur sind.
LösungDu kannst entscheiden, ob die Figuren drehsymmetrisch sind, indem du sie drehst. Das kannst du durch eine Zeichnung oder im Kopf durchführen. Anschließend entscheidest du, ob sie nach einer Drehung von weniger als $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur sind. So ermittelst du, dass diese Figuren nicht drehsymmetrisch sind:
- Der Buchstabe L: Dieser wird erst nach einer Drehung von genau $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.
- Das Dreieck: Auch dieses wird erst nach einer Drehung von genau $360^{\circ}$ deckungsgleich mit der Ursprungsfigur. Nur ein gleichseitiges Dreieck ist auch drehsymmetrisch.
- Das Achteck kannst du in $45^{\circ}$-Schritten drehen. Dann ist es deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.
- Die einem Rotor ähnliche Figur kannst du in $120^{\circ}$-Schritten drehen.
- Das Blütenblatt kannst du ebenfalls in $45^{\circ}$-Schritten drehen. Dann ist es deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.
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Ermittle den Drehwinkel, bei dem die Figuren deckungsgleich mit der Ursprungsfigur sind.
TippsKannst du eine Figur nur um $360^{\circ}$ drehen, sodass sie nach der Drehung deckungsgleich mit der Ursprungsfigur ist, dann ist die Figur nicht drehsymmetrisch.
LösungDu kannst die Drehwinkel der Schilder ermitteln, indem du sie so lange drehst, bis sie deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur sind. Ist der Winkel, um welchen du das Schild gedreht hast, kleiner als $360^{\circ}$, so ist das Schild drehsymmetrisch. Ein Schild kann auch mehrere Drehwinkel besitzen. Die Drehung kannst du entweder durch eine Zeichnung oder im Kopf durchführen.
- Das Schild „absolutes Halteverbot“ (rotes Kreuz auf blauem Grund mit rotem Rand) kannst du um die Winkel $90^{\circ}$, $180^{\circ}$ und $270^{\circ}$ drehen.
- Das Schild „eingeschränktes Halteverbot“ (roter Strich auf blauem Grund mit rotem Rand) kannst du um den Winkel $180^{\circ}$ drehen.
- Das Schild „Vorfahrt gewähren“ (weißes Dreieck mit rotem Rand) kannst du um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ drehen.
- Das Schild „vorgeschriebene Vorbeifahrt“ (weißer Pfeil auf blauem Grund) kannst du nur um $360^{\circ}$ drehen. Es ist somit nicht drehsymmetrisch.
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Gib die Definitionen von Punkt- und Drehsymmetrie wieder.
TippsDas linke Kleeblatt ist nach einer Drehung um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.
Das rechte Kleeblatt ist nach einer Drehung um $180^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur.
Lösung- Das linke Kleeblatt ist drehsymmetrisch, da es nach einer Drehung um $120^{\circ}$ und $240^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur ist. Drehsymmetrische Figuren sind nicht immer punktsymmetrisch. Dieses Kleeblatt ist es beispielsweise nicht.
- Das rechte Kleeblatt ist punktsymmetrisch, da es nach einer Drehung um $180^{\circ}$ wieder deckungsgleich mit der Ursprungsfigur ist. Es ist auch drehsymmetrisch, da diese Eigenschaft auch der Definition von Drehsymmetrie genügt.
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Ermittle die Koordinaten der gedrehten Punkte.
TippsIn der Abbildung kannst du die Drehung des Punktes $C$ sehen.
LösungEinen Punkt $P$ kannst du um $90^{\circ}$ um ein Drehzentrum $Z$ drehen, indem du zunächst eine Strecke zeichnest, die die Punkte $P$ und $Z$ verbindet. Anschließend zeichnest du eine Strecke vom Punkt $Z$ ein, die mit einem Winkel von $90^{\circ}$ im Uhrzeigersinn zur Strecke $\overline{PZ}$ steht. Die Länge deiner neuen Strecke ist gleich der Strecke $\overline{PZ}$. Der Punkt $P'$ befindet sich nun am Ende deiner neuen Strecke.
Führst du die Drehung wie angegeben durch, dann erhältst du folgende Punkte:
$A'(3\vert 0)$,
$B'(6\vert 0)$ und
$C'(5\vert 5)$.
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