Parallelverschiebung

Parallelverschiebung Übung

• Beschrifte das Bild zur Parallelverschiebung.

  Tipps

  Die Steigung $m$ ist der Quotient aus der $y$- und der $x$-Komponente im Steigungsdreieck, jeweils mit Vorzeichen.

  Die Punkte $A$, $B$ und $C$ werden längs der Richtung des Verschiebungsvektors zu den Punkten $A'$, $B'$ und $C'$ verschoben.

  In einem Dreieck werden die Punkte in alphabetischer Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet.

  Lösung

  • Bei einer Parallelverschiebung werden alle Punkte eines Vielecks auf dieselbe Art und Weise verschoben. Die Verschiebung wird durch eine gerichtete Strecke festgelegt, d. h. durch einen Vektor.

  • Du kannst die Steigung $m$ des Verschiebungsvektors mit einem Steigungsdreieck bestimmen. Die Steigung $m$ ist der Quotient aus der Verschiebung in $y$-Richtung und der Verschiebung in $x$-Richtung, jeweils mit Vorzeichen. Eine Verschiebung um $6$ Einheiten nach unten und $10$ Einheiten nach rechts führt zu der Steigung $m=\frac{-6}{10}$.

  • Die Eckpunkte des ursprünglichen Dreiecks haben die Bezeichnungen $A$, $B$ und $C$. Die zugehörigen Bildpunkte unter der Parallelverschiebung haben die Bezeichnungen $A'$, $B'$ und $C'$. Du findest die Bildpunkte, indem du die Punkte $A$, $B$ und $C$ jeweils um $6$ Einheiten nach unten und $10$ Einheiten nach rechts verschiebst.

• Nenne Merkmale der Parallelverschiebung.

  Tipps

  Eine Parallelverschiebung geschieht längs einer gerichteten Strecke.

  Die Parallelverschiebung eines Winkels ist ein Winkel derselben Winkelgröße.

  Verschiebst du verschiedene Punkte einer Figur mit verschiedenen Vektoren, so ist die verschobene Figur zu der ursprünglichen Figur nicht kongruent.

  Lösung

  Eine Parallelverschiebung ändert den Ort einer Figur, aber nicht ihre geometrische Form. Die verschobene und die ursprüngliche Figur sind kongruent. Bei einer Parallelverschiebung wird jeder Teil der Figur wieder auf einen entsprechenden Teil verschoben: Aus einem Punkt wird wieder ein Punkt, aus einer Strecke eine Strecke gleicher Länge, aus einem Winkel ein Winkel derselben Winkelgröße etc. Die Parallelverschiebung kannst du durch den Verschiebungsvektor charakterisieren. Dieser ist eine gerichtete Strecke, die anzeigt, wie weit und in welche Richtung die Figur verschoben wird. Jeder Punkt einer Figur wird mit demselben Vektor verschoben.

  So erhältst du folgende vervollständigten Sätze:

  • „Eine parallel verschobene Figur ... ist zu der ursprünglichen kongruent.“

  • „Die Parallelverschiebung eines Punktes ... ergibt einen Punkt.“

  • „Die Parallelverschiebung einer Strecke ... ergibt eine Strecke gleicher Länge.“

  • „Eine gerichtete Strecke ... heißt Vektor.“

  • „Die Parallelverschiebung einer Figur ... geschieht für jeden Punkt mit demselben Vektor.“

• Erschließe den Verschiebungsvektor.

  Tipps

  Bestimme den Verschiebungsvektor zwischen den markierten Punkten.

  Der Verschiebungsvektor von $A$ zu $A'$ ist bis auf die Richtung der Pfeilspitze derselbe wie der Verschiebungsvektor von $A'$ zu $A$.

  Im Bild siehst du den Verschiebungsvektor für die Parallelverschiebung eines Dreiecks. Der Verschiebungsvektor geht genau von einem Eckpunkt zu seinem Bildpunkt unter der Verschiebung.

  Lösung

  Der Verschiebungsvektor zeigt an, um wie viel und in welche Richtung eine Figur verschoben werden soll. Hier sollst du Paaren zueinander parallel verschobener Figuren jeweils den Verschiebungsvektor zuordnen. Liegen die beiden Figuren z. B. genau nebeneinander, so ist der Verschiebungsvektor horizontal gerichtet. Liegt eine Figur links oben und die andere rechts unten, so zeigt der Verschiebungsvektor entweder von links oben nach rechts unten oder von rechts unten nach links oben.

  Für die genaue Zuordnung der Verschiebungsvektoren musst du darauf achten, um welchen Wert eine Figur in die horizontale Richtung, verglichen zur vertikalen Richtung, verschoben ist. Du kannst die Verschiebungen auch an den einzelnen Punkten ablesen, z. B. an den markierten Punkten oder jedem anderen Eckpunkt einer Figur.

  Im Bild siehst du die zweite Figur aus der Aufgabe mit dem zugehörigen Verschiebungsvektor, hier eingezeichnet als gerichtete Strecke von $A$ nach $A'$. Dieser Vektor verschiebt die Eckpunkte der ursprünglichen Figur jeweils um zwei Einheiten nach oben und fünf Einheiten nach links.

• Ermittle jeweils die Bildpunkte der parallel verschobenen Figuren.

  Tipps

  Finde für jede Figur den Verschiebungsvektor durch Vergleichen des markierten Eckpunktes mit seinem Bildpunkt.

  Positioniere den Verschiebungsvektor an einen Eckpunkt und verschiebe diesen Punkt bis zur Spitze des Verschiebungsvektors.

  Lösung

  Bei einer Parallelverschiebung einer Figur wird jeder Eckpunkt der Figur mit demselben Vektor verschoben. Du kannst den Verschiebungsvektor jeweils an dem Eckpunkt positionieren. Die Spitze des Vektors zeigt dann genau auf den Eckpunkt nach der Verschiebung.

  Die drei Figuren werden mit verschiedenen Vektoren verschoben. Du musst daher genau darauf achten, für jede Figur den passenden Verschiebungsvektor auszuwählen. Diesen kannst du an den Punkten $A$ und $A'$ bzw. $G$ und $G'$ sowie $L$ und $L'$ ablesen: Der Verschiebungsvektor des Sechsecks ist der Vektor von $A$ zu $A'$, der des Fünfecks ist der Verschiebungsvektor von $G$ zu $G'$ und der des Siebenecks der Vektor von $L$ zu $L'$.

  Im Bild siehst du das Sechseck (violett) mit der zugehörigen Parallelverschiebung und dem zugehörigen Verschiebungsvektor. Dieser Vektor gibt eine Verschiebung von drei Einheiten nach unten und acht Einheiten nach links an.

• Gib die kongruenten Figuren an.

  Tipps

  Zwei kongruente Vielecke haben dieselbe Anzahl an Eckpunkten.

  Kongruente Figuren können unterschiedliche Richtungen in der Ebene haben.

  Diese Figuren sind nicht kongruent, denn die linke Figur ist ein regelmäßiges Siebeneck, die rechte Figur ein regelmäßiges Achteck.

  Lösung

  Figuren heißen kongruent, wenn sie deckungsleich sind. Ob zwei Figuren deckungsleich sind, kannst du prüfen, indem du versuchst, sie übereinander zu schieben. Aber auch Drehungen und Spiegelungen führen zu kongruenten Figuren.

  Dass zwei Figuren nicht deckungsgleich sind, kannst du daran erkennen, dass sie z. B. nicht dieselbe Größe oder nicht dieselbe Form haben. Kongruente Vielecke müssen dieselbe Anzahl an Ecken aufweisen.

  Im Bild siehst du hier die nicht kongruenten Figuren:

  1. Die beiden unregelmäßigen Vielecke können nicht kongruent sein, denn eines der beiden ist ein Siebeneck, das andere ein Achteck.
  2. Diese beiden Sechsecke haben nicht dieselben Winkel bzw. Seitenlängen und sind daher nicht kongruent.
  3. Diese beiden Siebenecke sind nicht zueinander kongruent, denn sie haben nicht dieselben Winkelgrößen.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Den Flächeninhalt einer Figur kannst du aus den Längen der Figur berechnen.

  Eine Figur und ihre Parallelverschiebung können einander überlagern.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Parallelverschiebung erhält alle Winkelgrößen, Seitenlängen und Flächeninhalte einer Figur.“ Die Flächeninhalte lassen sich aus den Längen und ggf. den Winkelgrößen berechnen. Da die Längen und Winkelgrößen unter einer Parallelverschiebung erhalten bleiben, gilt dasselbe auch für die Flächeninhalte.

  • „Ist bei einer Parallverschiebung einer Figur der Punkt $C$ mit dem Punkt $C'$ identisch, so wurde die Figur gar nicht verschoben.“ Bei einer Parallelverschiebung werden alle Eckpunkte mit demselben Vektor verschoben. Ist der verschobene Eckpunkt identisch zu dem ursprünglichen Eckpunkt, so gilt dasselbe für alle anderen Eckpunkte.

  • „Haben die Eckpunkte zweier kongruenter Vielecke nicht dieselbe Reihenfolge im Uhrzeigersinn, so sind die Vielecke nicht zueinander parallel verschoben.“ An der Reihenfolge der Eckpunkte im Uhrzeigersinn erkennst du die Orientierung einer Figur. Du kannst dir z. B. das Ziffernblatt einer Uhr vorstellen: Bei einer Parallelverschiebung des Ziffernblatts bleibt die Reihenfolge der Punkte (also die Orientierung der Figur) erhalten, bei einer Drehung ebenfalls. Bei einer Achsenspiegelung wird die Reihenfolge umgedreht, die gespiegelte Uhr hat also im Uhrzeigersinn die Ziffern $2$, $1$, $12$, $11$, $10$ usw. Ist die Reihenfolge im Uhrzeigersinn der Eckpunkte zweier Vielecke verschieden, so können die Vielecke also nicht zueinander parallel verschoben sein.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Sind zwei Figuren kongruent zueinander, so ist die eine Figur eine Parallelverschiebung der anderen.“ Auch Drehungen und Spiegelungen erzeugen zueinander kongruente Figuren. Drehungen und Spiegelungen sind aber keine Parallelverschiebungen und lassen sich auch nicht durch Parallelverschiebungen ersetzen.

  • „Eine Figur und ihre Parallelverschiebung haben keinen Punkt gemeinsam.“ Die Parallelverschiebung muss nicht so weit sein, dass die Figuren disjunkt werden. Daher können eine Figur und ihre Parallelverschiebung sich auch überlappen und somit gemeinsame Punkte haben.