Ebenengleichungen mit Parametern – Ebenenscharen

Ebenengleichungen mit Parametern – Ebenenscharen Übung

• Beschreibe, wie man prüfen kann, ob eine parallele Ebenenschar vorliegt.

  Tipps

  Wenn du zwei Ebenen in Koordinatenform auf gemeinsame Punkte untersuchst, stellst du ein Gleichungssystem mit diesen beiden Gleichungen auf.

  Es gibt drei Lösungsmöglichkeiten für dieses Gleichungssystem:

  • Es kann eine Koordinate frei gewählt werden $\rightarrow$ die Ebenen schneiden sich in einer Gerade.
  • Das Gleichungssystem führt zu einer Aussage, welche immer gilt $\rightarrow$ die beiden Ebenen sind identisch.
  • Das Gleichungssystem führt zu einem Widerspruch $\rightarrow$ die beiden Ebenen sind parallel.

  Du kannst das resultierende Gleichungssystem durch bekannte Lösungsverfahren (Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren) lösen.

  Lösung

  Wenn man ganz allgemein Ebenen auf Parallelität überprüfen will, schaut man sich die beiden Ebenen in Koordinatenform an. Wenn man also das Gleichungssystem mit beiden Gleichungen betrachtet, muss man einen Widerspruch erhalten. Warum?

  Ein Widerspruch bedeutet, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist und somit die beiden Ebenen keine gemeinsamen Punkte haben können.

  Ebenen haben nur dann keine gemeinsamen Punkte, wenn sie parallel zueinander sind.

  Wenn man also die Ebenenschar $E_a:(1-3a)x+(3a-1)y+(1-3a)z=1$ auf Parallelität untersuchen möchte, betrachtet man zwei verschiedene Ebenen dieser Schar zu zwei verschiedenen Parametern $E_a$ und $E_b$ mit $a\neq b$.

  Dies führt zu dem Gleichungssystem

  $E_a:(1-3a)x+(3a-1)y+(1-3a)z=1$ und

  $E_b:(1-3b)x+(3b-1)y+(1-3b)z=1$.

  Wenn man von dem $(1-3b)$-fachen von $E_a$ das $(1-3a)$-fache von $E_b$ subtrahiert, eliminiert man $x$ und erhält

  $\begin{align*} (1-3b)\cdot ( (3a-1)y+(1-3a)z)-(1-3a)\cdot ((3b-1)y+(1-3b)z)&=(1-3b)-(1-3a)\\ &=-3b+3a. \end{align*}$

  Nun kann der Term auf der linken Seite noch vereinfacht werden:

  $\begin{array}{clclcl} &(1-3b)\cdot ( (3a-1)y+(1-3a)z)-(1-3a)\cdot ((3b-1)y+(1-3b)z)\\ =&(1-3b) (3a-1)y+(1-3b)(1-3a)z-(1-3a)(3b-1)y-(1-3a)(1-3b)z\\ =&((1-3b) (3a-1)-(1-3a)(3b-1))y+((1-3b)(1-3a)-(1-3a)(1-3b))z\\ =&(3a-9ab-1+3b-3b+9ab+1-3a)y+(1-3a-3b+9ab-1+3b+3a-9ab)z\\ =&0 \end{array}$

  Gesamt gilt dann

  $0=-3b+3a$.

  Dies ist äquivalent zu $a=b$, was jedoch nach Voraussetzung $a\neq b$ nicht gelten dürfte. Das bedeutet, dass die beiden Geraden der Schar keine gemeinsamen Punkte haben, also parallel sein müssen.

  Da es keine Einschränkung an die Parameter $a$ und $b$ gibt, abgesehen davon, dass die Parameter ungleich sein sollen, ist somit gezeigt, dass alle Ebenen der Schar parallel sein müssen.

• Bestimme die Trägergerade der Ebenenschar.

  Tipps

  Schnittgeraden zweier Ebenen kannst du bestimmen, wenn du eine der beiden Ebenen in Parameterform in der Koordinatenform der anderen Ebene einsetzt.

  Du erhältst eine Gleichung mit (maximal) zwei Unbekannten.

  Wenn du von einer Ebene in Koordinatenform zu der Parameterform gelangen möchtest, so benötigst du einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.

  • Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene.
  • Die Richtungsvektoren stehen senkrecht auf den Normalenvektor der Ebene und dürfen nicht kollinear sein.

  Ein Normalenvektor dieser Ebene lautet

  $\vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\3 \end{pmatrix}$.

  Diesen erhältst du mit den Koeffizienten der Koordinaten $x$, $y$ und $z$.

  Setze zwei Koordinaten, zum Beispiel $x=y=0$, und du erhältst die dritte $z=2$. Also liegt der Punkt $P(0|0|2)$ auf der Ebene.

  Lösung

  Zur Untersuchung, ob

  $E_a:2ax+(4-a)y-2z=6$

  ein Ebenenbüschel ist, wird wie folgt vorgegangen:

  1. Man wählt zwei beliebige Ebenen der Schar aus und bestimmt deren Schnittgerade. Wenn es eine solche nicht gibt, kann auch kein Ebenenbüschel vorliegen.
  2. Die so gefundene Schnittgerade, muss allen Ebenen gemeinsam sein. Man setzt also die Gerade in der Koordinatenform der Ebene ein. Dies muss zu einer allgemein gültigen Aussage führen.

  Bei der obigen Ebenenschar werden die Ebenen $E_0$, also $a=0$, sowie $E_1$, also $a=1$, betrachtet:

  $E_0:4y-2z=6$ sowie $E_1:2x+3y-2z=6$.

  Um die Schnittgerade zu bestimmen, kann man, zum Beispiel von $E_0$ eine Parameterform aufstellen.

  Hierfür benötigt man

  • einen Stützvektor, den Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene, zum Beispiel $P(0|0|-3)$ sowie
  • zwei Richtungsvektoren. Diese müssen auf den Normalenvektor der Ebene senkrecht stehen.

  Der Normalenvektor der Ebene ist $\vec n=\begin{pmatrix} 0 \\ 4\\-2 \end{pmatrix}$.

  Zwei dazu senkrechte Vektoren sind gegeben durch $\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}$ sowie $\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\2 \end{pmatrix}$

  Nun kann man die Ebene in Parameterform angeben:

  $E_0:\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\-3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\2 \end{pmatrix}$.

  Durch Einsetzen der Ebene $E_0$ in $E_1$ erhält man

  $2t+3s-2(-3+2s)=6$

  und damit

  $2t-s+6=6$, was wiederum äquivalent ist zu $s=2t$. Dieses $s$ kann in der obigen Form von $E_0$ eingesetzt werden und man erhält

  $\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\-3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+2t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\-3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\4 \end{pmatrix}$.

  Dies ist die Gleichung einer Geraden.

  Nun muss noch überprüft werden, ob die Gerade tatsächlich auf jeder Ebene der Schar liegt. Hierfür wird die Gerade in der Koordinatenform der Ebenenschar eingesetzt:

  $2at+(4-a)2t-2(-3+4t)=6$.

  Durch Umformen erhält man

  $2at+8t-2at+6-8t=6$

  und durch Subtraktion von $6$ schließlich $0=0$. Diese Aussage gilt immer. Das bedeutet, dass die Gerade mit jeder Ebene der Schar unendlich viele Punkte gemeinsam hat. Also liegt die Gerade in jeder Ebene der Schar und ist somit eine Trägergerade.

  Damit ist auch gleichzeitig bewiesen, dass die betrachtete Schar ein Ebenenbüschel ist.

• Ermittle die Schnittgerade der beiden Ebenen.

  Tipps

  Die beiden Normalenvektoren der Ebenen sind gegeben durch

  $\vec{n_E}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}$

  sowie

  $\vec{n_F}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\-3 \end{pmatrix}$.

  Der Richtungsvektor der Geraden $\vec v$ muss orthogonal zu jedem dieser Normalenvektoren sein. Das heißt

  • $\vec v\cdot \vec{n_E}=0$ und
  • $\vec v\cdot \vec{n_F}=0$.

  Du benötigst für das Einsetzen von $F$ in $E$ nur die x- sowie die y-Koordinate von $F$. Die x-Koordinate ist zum Beispiel gegeben durch $x=1-r+3s$.

  Wenn du $s$ in $F$ eingesetzt hast, kannst du zunächst die skalare Multiplikation dieses $s$ mit dem zugehörigen Richtungsvektor durchführen. Du erhältst einen Vektor, in dem sowohl Terme vorkommen, welche von $r$ abhängig sind, als auch solche, die unabhängig von $r$ sind.

  Lösung

  Die Ebene $E$ ist in Koordinatenform und die Ebene $F$ in Parameterform gegeben. Nun können die x- und z-Koordinate der Ebene $F$ in der Ebene $E$ eingesetzt werden:

  • $x=1-r+3s$ und
  • $z=s$.

  Dies führt zu $1-r+3s-2s=3$. Durch Zusammenfassen erhält man $1-r+s=3$. Diese Gleichung kann nach $s$ umgeformt werden zu $s=r+2$.

  Durch Einsetzen von $s=r+2$ in $F$ erhält man

  $\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1\\0 \end{pmatrix}+(r+2)\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7 \\ 2\\2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1\\1 \end{pmatrix}$

  Dies ist eine mögliche Darstellung der Schnittgeraden.

  Um diese zu überprüfen, könnte man zum Beispiel schauen, ob der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf den Normalenvektor der Ebene $E$ und der Ebene $F$ steht. Die Normalenvektoren sind gegeben durch

  $\vec{n_E}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}$

  sowie

  $\vec{n_F}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\-3 \end{pmatrix}$.

  Beispielhaft sei das hier für den Normalenvektor der Ebene $F$ mal gemacht. Es gilt: $ \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\-3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1\\1 \end{pmatrix}=2+1-3=0$ $\surd$, die beiden Vektoren sind orthogonal.

  Man müsste zusätzlich noch prüfen, ob der Punkt $P(7|2|2)$ sowohl auf $E$ als auch auf $F$ liegt.

• Weise nach, dass die gegebene Gerade Trägergerade der Ebenenschar ist.

  Tipps

  Durch Einsetzen von $g$ in $E_a$ erhältst du eine Gleichung. Die Unbekannten sind der Parameter $r$ der Geraden und der Scharparameter $a$ der Ebenenschar.

  Die Lösbarkeit der Gleichung führt zu der Lage der Gerade zu der Ebene der Ebenenschar:

  • keine Lösung $\rightarrow$ Parallelität,
  • eindeutig lösbar $\rightarrow$ $g$ schneidet die Ebene und
  • unendlich viele Lösungen $\rightarrow$ die Gerade liegt in der Ebene.

  Wenn du durch Äquivalenzumformungen bei der Gleichung zu einer Aussage gelangst, die immer gilt, gibt es unendlich viele Lösungen für die Gleichung.

  Lösung

  Die Gerade $g$ wird koordinatenweise

  • $x=7+2r$
  • $y=2+r$
  • $z=2+r$

  in $E_a$ eingesetzt:

  $7+2r+(1-a)(2+r)+(a-3)(2+r)=3$.

  Nun werden zunächst die Klammern aufgelöst zu

  $7+2r+2+r-2a-ar+2a-6+ar-3r=3$.

  Nun werden alle Terme, die zusammengehören, zusammengefasst:

  $3=3$.

  Dies ist eine immer gültige Aussage. Das wiederum bedeutet, dass es für die Gleichung, welche man durch Einsetzen von $g$ in $E_a$ erhält, unendlich viele Lösungen gibt. Also hat die Gerade $g$ mit jeder Ebene der Ebenenschar $E_a$ unendlich viele Punkte gemeinsam. Dies geht nur, wenn die Gerade $g$ in jeder Ebene der Ebenenschar liegt.

  $g$ ist also die Trägergerade der Ebenenschar $E_a$ und somit $E_a$ ein Ebenenbüschel.

• Definiere, was Ebenenscharen sind und welche speziellen Lagen es gibt.

  Tipps

  Erst einmal ist eine Ebenenschar eine Sammlung mehrerer Ebenen, wie der Begriff „Schar“ schon vermuten lässt.

  Also muss es etwas geben, was einander ähnliche Ebenen doch noch unterscheidet.

  Zum Beispiel könnte man eine Ebenenschar so, wie hier zu sehen, angeben.

  Lösung

  Was sind eigentlich Ebenenscharen?

  Ebenen sind ja bereits bekannt. Eine Ebenenschar sind Ebenen, die in der Ebenengleichung einen weiteren Parameter, den sogenannten Scharparameter, enthalten.

  Zu jedem Scharparameter gehört somit eine bestimmte Ebene dieser Ebenenschar.

  Es gibt verschiedene spezielle Lagen dieser Ebenen zueinander:

  • Es gibt Ebenenbüschel. Dabei haben alle Ebenen der Schar eine gemeinsame Gerade, die sogenannte Trägergerade.
  • Es gibt parallele Ebenenscharen. Bei diesen liegen alle Ebenen der Schar parallel zueinander.

• Prüfe, ob es sich bei $E_a:(2-a)x+(a-2)y+(4-2a)z=1$ um eine parallele Ebenenschar handelt.

  Tipps

  Wenn zwei Ebenen parallel zueinander sind, haben sie keine gemeinsamen Punkte.

  Schreibe dir die beiden Gleichungen zu $E_a$ und $E_b$ auf und multipliziere so, dass $x$ herausfällt.

  Keine gemeinsamen Punkte bedeutet, dass die beiden Koordinatengleichungen der beiden Ebenen nicht gleichzeitig erfüllt sein können, oder, anders ausgedrückt, das entsprechende Gleichungssystem zu einem Widerspruch führt.

  Lösung

  Wenn man für verschiedene Parameter $a$ und $b$ die zugehörigen Gleichungen der Ebenen $E_a$ und $E_b$ betrachtet, kann man von dem $(2-b)$-fachen von $E_a$ das $(2-a)$-fache von $E_b$ abziehen. Dadurch fällt $x$ heraus:

  $(2-b)(a-2)y+(2-b)(4-2a)z-(2-a)(b-2)y-(2-a)(4-2b)z=(2-a)-(2-b)$.

  Nun werden die Terme zu $y$ und $z$ zusammengefasst:

  $((2-b)(a-2)-(2-a)(b-2))y+((2-b)(4-2a)-(2-a)(4-2b))z=b-a$.

  Nun kann man sich jeweils den Faktor vor $y$ und vor $z$ anschauen:

  $(2-b)(a-2)-(2-a)(b-2)=(2-b)(a-2)-(a-2)(2-b)=0$

  und so ähnlich

  $(2-b)(4-2a)-(2-a)(4-2b)=2(2-b)(2-a)-2(2-a)(2-b)=0$.

  Gesamt hat man also

  $0=b-a$.

  Dies ist ein Widerspruch zu $a \neq b$, da nach Voraussetzung die beiden Scharparameter verschieden sind. Das bedeutet, dass das obige Gleichungssystem keine Lösungen hat außer $a=b$. Wenn man zwei Ebenen in Koordinatenform betrachtet und das zugehörige Gleichungssystem aus den beiden Koordinatenformen keine Lösungen besitzt, können die beiden Ebenen keine gemeinsamen Punkte haben. Sie müssen also parallel sein.

  Somit ist nachgewiesen, dass jeweils zwei beliebige Ebenen der Ebenenschar parallel zueinander sind.