Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen
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Grundlagen zum Thema Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen
Lineare und exponentielle Wachstumsprozesse hast du ja bereits kennengelernt. In diesem Video möchten wir üben, sie voneinander zu unterscheiden. Wann liegt also ein lineares und wann ein exponentielles Wachstum vor. Dazu wiederholen wir kurz die wichtigsten Charakteristika dieser beiden Wachstumsprozesse, die nämlich gleichzeitig auch die wichtigsten Unterscheidungsmerkmale sind. Anschließend betrachten wir Beispiele aus der Tierwelt, der Finanzwelt und weiteren Bereichen. Ziel ist es dann zu unterscheiden, welches Wachstum vorliegt. Mach doch einfach mit und stell dein Wissen damit auf die Probe!
Transkript Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen
Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um "Lineare und exponentielle Wachstumsprozesse". Wachstum. Da fallen uns zahlreiche Prozesse ein, bei denen etwas anwächst: Bevölkerung, Tierbestände, Geld, Bakterien, Anzahl der Facebookfreunde und so weiter. Mathematiker bringen natürlich Ordnung in diese Sammlung und unterscheiden mehrere verschiedene Wachstumsprozesse. Unter anderem lineares und exponentielles Wachstum. Im Folgenden werden wir zunächst die Charakteristika dieser beiden Wachstumsprozesse wiederholen. Dann üben wir die Zuordnung linear oder exponentiell an einigen kleinen Aufgaben. 1. Lineare und exponentielle Wachstumsprozesse: Was sind die Charakteristika? Bei Wachstumsprozessen interessieren wir uns für die Änderung eines Bestandes in regelmäßigen Abständen. Meistens betrachtet man zeitliche Abstände, also den Bestand zum Zeitpunkt t = 0, t = 1, t = 2 und so weiter. Das muss nicht sein, aber wir gehen im Folgenden auch davon aus. Den Bestand zum Zeitpunkt 0 nennen wir Anfangswert. Machen wir nun eine kleine Gegenüberstellung. Lineares Wachstum bedeutet: In gleichen Abständen ändert sich der Bestand immer um den gleichen Summanden. Exponentielles Wachstum bedeutet hingegen: In gleichen Abständen wird der Bestand immer mit dem gleichen Faktor multipliziert. Zählen wir die Zeitpunkte mit dem Parameter n, also nach n Tagen oder n Jahren und so weiter und tragen die Bestände B in eine Tabelle ein. Dann ist beim linearen Wachstum ausgehend vom Anfangswert b der zusätzliche Summand pro Spalte immer derselbe: b, b + m, b + 2m, b + 3m und so weiter. Beim exponentiellen Wachstum ist hingegen ausgehend vom Anfangswert c der zusätzliche Faktor pro Spalte immer derselbe: c, c * a², c * a³ und so weiter. Tragen wir die Bestände in ein Koordinatensystem ein. Zeitspanne auf der x-Achse, Bestand auf der y-Achse. Dann gehört zum linearen Wachstum eine Gerade, zum exponentiellen Wachstum hingegen eine exponentielle Kurve, die immer schneller ansteigt. OK, nun üben wir diese beiden Wachstumsprozesse zu unterscheiden. Es geht nicht ums Rechnen, sondern ums Erkennen. Was wächst linear, was exponentiell? a) Auf einem Konto mit 1600€ werden monatlich 80€ eingezahlt. Na, das ist ja quasi die Definition von linearem Wachstum. Monat für Monat kommt derselbe Betrag hinzu. Wenn keine Zinsen anfallen, dann ist das ein eindeutiger Fall von linearem Wachstum. b) Ein Unternehmen möchte seinen Umsatz durch Werbung monatlich um 12% steigern. Was bedeutet 12%? Monat für Monat soll zum alten Umsatz das 0,12-fache hinzukommen. Klammern wir den alten Umsatz aus und addieren 1 mit 0,12, dann erhalten wir für den neuen Umsatz Uneu = 1,12 * Ualt. Jeden Monat multiplizieren wir den Bestand also mit demselben Faktor. Ganz klar, exponentielles Wachstum. c) An einem Quadrat werden pro Zeiteinheit die Seitenlängen verdoppelt. Wie entwickelt sich der Flächeninhalt? Die Seitenlänge wird immer verdoppelt. Das heißt, der Einfachheit halber fangen wir mit 1 an. Wir haben 1, 2, 4 und so weiter. Die Seitenlänge wächst also exponentiell. Der Wachstumsfaktor ist 2. Der Flächeninhalt wächst hingegen von 1 auf 2 * 2 = 4, dann auf 4 * 4 = 16 und so weiter. Nach wie vor haben wir also exponentielles Wachstum. Der Wachstumsfaktor ist nun aber 2² = 4. d) und zum Abschluss: Eine neu gepflanzte Fichte ist 1,4m hoch und wächst 20 Jahre lang jährlich um 44cm, dann aber nur noch um 18cm pro Jahr. Wie tragen die Fichtenhöhe in ein Diagramm ein, angefangen bei 1,4m. In den ersten 20 Jahren kommen immer 0,44m hinzu. Der Graph ist eine Gerade. Das Wachstum ist linear. Dann hat die Gerade einen Knick, denn ab dem 21. Jahr wird die Zunahme geringer. Die Fichte wächst dann nur noch 0,18m pro Jahr. Jetzt haben wir ein neues lineares Wachstum. Wir fassen zusammen: Lineares und exponentielles Wachstum lassen sich gut voneinander unterscheiden. Lineares Wachstum liegt vor, wenn in gleichen Abständen sich der Bestand immer um den gleichen Summanden ändert. Beim exponentiellen Wachstum hingegen wird der Bestand in gleichen Abständen mit dem gleichen Faktor multipliziert.
Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen Übung
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Beschreibe lineares und exponentielles Wachstum sowie den Unterschied zwischen ihnen.
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Ergänze die fehlenden Zahlen zu Zeitpunkt und Bestand.
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Entscheide, ob lineares Wachstum, exponentielles Wachstum oder keines von beidem vorliegt.
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Bestimme die Wachstumsart und die Lösung die Aufgabe.
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Gib an, ob es sich um exponentielles oder um lineares Wachstum handelt.
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Entscheide, welche Aussagen zu linearem und exponentiellem Wachstum stimmen.
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Fand das Video ein bisschen verwirrend
*gerechnet ;)
super video! du redest auch so, dass man es sehr gut verstehen kann (: hätte gerne ein paar aufgaben gerechent, nur zum verständnis
So ungewohnt viele Aufgaben! Super!
Sehr schönes Video, hat mir echt gefallen!