Ganze Zahlen addieren
Die Addition von ganzen Zahlen einfach erklärt! Erfahre, wie du Zahlen addierst, indem du ihre Gegenzahlen berücksichtigst. Lerne, wie man zwei negative Zahlen oder eine positive und eine negative Zahl addiert. Neugierig geworden? All das und noch mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Ganze Zahlen addieren
Einführung: ganze Zahlen addieren
Ganze Zahlen begegnen uns ständig: Beim Thermometer, bei Höhenangaben oder auch im Fahrstuhl. Heute wollen wir uns anschauen, wie wir die Änderung ganzer Zahlen beschreiben können, wenn beispielsweise die Temperatur bei $3^\circ~\pu C$ liegt und nachts um $8^\circ~\pu C$ sinkt. Diese Fälle können wir in der Mathematik durch das Addieren ganzer Zahlen beschreiben.
Der Frage „Wie addiert man positive Zahlen?“ sind wir schon nachgegangen. Heute soll es um das Addieren ganzer Zahlen gehen. Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$ umfassen alle natürlichen Zahlen wie $1,2,3,4...$ sowie die negativen Gegenzahlen wie $-1,-2,-3,-4...$ Wir wollen ganze Zahlen addieren an Beispielen. Dabei geht es um eine Einführung in die Addition ganzer Zahlen:
Addition ganzer Zahlen
Wie addiert man mit ganzen Zahlen? Dabei hilft uns die Zahlengerade. Wir schauen uns dazu verschiedene Fälle an:
Zahl und Gegenzahl addieren
Wie du bereits weißt, hat jede Zahl eine Gegenzahl. Die Gegenzahl von $5$ ist $-5$. Die Gegenzahl von $-7$ ist $7$ usw. Wir schauen uns das Addieren von Zahl und Gegenzahl an einem Beispiel an:
$-3+3$
An der Zahlengerade gehen wir dazu von der Null aus drei Schritte nach links und von dort aus drei Schritte nach rechts. Wir kommen bei der Zahl $0$ an und erkennen so, dass $-3+3=0$.
Beim Addieren ganzer Zahlen gilt allgemein: Die Summe aus einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist null.
Zwei negative Zahlen addieren
Wir wollen nun zwei negative Zahlen addieren. Dazu betrachten wir das folgende Beispiel:
$-3+(-2)$
Dazu gehen wir an der Zahlengerade drei Schritte nach links und dann noch einmal zwei Schritte nach links. Das führt uns zu der Zahl $-5$. Wir erkennen also, dass $-3+(-2)=-5$.
Allgemein gilt: Die Summe zweier negativer Zahlen ist immer negativ.
Eine positive und eine negative Zahl addieren
Wir addieren nun eine positive und eine negative Zahl. Wir betrachten das Beispiel:
$-5+3$
Dazu gehen wir an der Zahlengerade fünf Schritte nach links und von dort drei Schritte nach rechts. Wir enden bei der Zahl $2$ und erkennen, dass $-5+3=-2$.
Allgemein gilt: Beim Addieren einer positiven und einer negativen Zahl, „gewinnt“ das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
Zusammenfassung: ganze Zahlen addieren
In diesem Video zur Addition von ganzen Zahlen am Zahlenstrahl gehen wir der Frage „Wie addiert man zwei ganze Zahlen?“ nach. Dazu betrachten wir verschiedene Beispiele und lösen diese mithilfe des Zahlenstrahls. Weitere Übungen zur Addition von ganzen Zahlen findest du hier auf sofatutor.
Transkript Ganze Zahlen addieren
Elena und Noah zocken nach der Schule viel lieber an der Konsole als Hausaufgaben zu machen. Total verrückt, nicht wahr? Im Moment spielen die beiden ihr absolutes Lieblingsprügelspiel. Elena spielt Negatron, der mit negativen Zahlen angreift. Und Noah ist Positron, der mit positiven Zahlen angreift. Schauen wir uns das mal an. Ganze Zahlen kennst du schon. Hier siehst du sie auf der positiven und der negativen Seite einer Zahlengeraden. Getrennt werden sie von der Null. Genauso wie die Gegner im Videospiel. Was passiert, wenn wir Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, aber dem gleichen Betrag, also dem gleichen Abstand zur Null addieren? Noah greift mit +3 an, Elena verteidigt sich mit -3. Du gehst drei Schritte nach links für -3 und drei Schritte nach rechts für +3. Addiert man eine Zahl und ihre Gegenzahl, ergibt das immer Null. Als Gleichung sieht das so aus: -3 +3 = 0. Merke Dir also: Die Summe aus einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist Null. Jede Zahl hat eine Gegenzahl. Die Gegenzahl von +3 ist die Zahl -3. Auf zur nächsten Runde. Elena verstärkt Negatrons Angriff durch ein Power-up von -2. Nun müssen wir zwei negative Zahlen addieren: -3 plus -2 bedeutet, dass du drei Schritte nach links gehst für -3 und dann noch einmal zwei Schritte nach links für die -2. So landest du bei -5. Die Summe aus zwei negativen Zahlen ist immer negativ. Oh nein, Noah hat Positrons Power-up nicht eingesetzt, er nutzt nur die Standardattacke mit +3. Wir haben jetzt also -5 und +3. Du gehst wieder 5 Schritte nach links für -5 und von dort drei Schritte nach rechts für +3. Beide Pfeile ergeben addiert -2. Die Gleichung sieht so aus: -5 +3 = -2. Addierst du eine positive und eine negative Zahl, gewinnt das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
Ganze Zahlen addieren Übung
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Berechne das Ergebnis der jeweiligen Spielrunde.
TippsAuf der Zahlengerade gehst du für positive Zahlen nach rechts und für negative Zahlen nach links. Die Zahlengerade kannst du als Hilfsmittel für deine Berechnungen nutzen.
Schaue dir folgendes Beispiel an:
$-2+(-7)+3=-9+3=-6$
Dabei gehen wir auf der Zahlengerade, beginnend bei der $0$, zunächst $2$ Schritte nach links und dann weitere $7$ Schritte nach links. Dann kommen wir auf der Zahlengerade bei $-9$ an. Anschließend machen wir $3$ Schritte nach rechts. Wir landen also bei der $-6$.
LösungHier betrachten wir zwei Spielrunden des aktuellen Lieblingsspiels von Elena und Noah: „Ganze Zahlen addieren“.
Spielrunde 1
Noah greift mit dem Kämpfer Positron mit $\mathbf{+3}$ an. Elena verteidigt sich mit dem Kämpfer Negatron mit $\mathbf{-3}$.
Für diese Spielrunde erhalten wir die Rechnung:
$-3+3=0$
Beginnend bei der $0$ gehen wir auf der Zahlengerade $3$ Schritte nach links. Dann befinden wir uns bei $-3$ auf der Zahlengerade. Von diesem Punkt ausgehend wandern wir $3$ Schritte nach rechts und kommen an unserem Ausgangspunkt $0$ an.
Diese Runde endet also unentschieden.
Spielrunde 2
Elena verstärkt Negatrons Angriff mit $\mathbf{-3}$ durch ein Power-up mit $\mathbf{-2}$. Noah hat Positrons Power-up nicht eingesetzt und greift wieder mit $\mathbf{+3}$ an.
Für diese Spielrunde erhalten wir die Rechnung:
$-3+(-2)+3=-2$
Dabei gehen wir auf der Zahlengerade, beginnend bei der $0$, zunächst $3$ Schritte nach links. Wir landen bei der $-3$ auf der Zahlengerade und wandern von diesem Punkt aus weitere $2$ Schritte nach links. Dann kommen wir auf der Zahlengerade bei $-5$ an. Anschließend machen wir $3$ Schritte nach rechts. Wir landen also bei der $-2$.
Negatron (und somit Elena) gewinnt also die zweite Spielrunde.
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Gib die zutreffenden Merksätze für die Addition von ganzen Zahlen an.
TippsDie Gegenzahl einer Zahl ist die Zahl, die denselben Betrag und das entgegengesetzte Vorzeichen hat. Beispielsweise ist $-10$ die Gegenzahl von $+10$.
Schaue dir folgende Beispiele an:
- $-5+5=0$
- $-5-6+2=-11+2=-9$
LösungFür die Addition von ganzen Zahlen können wir einige Merksätze aufstellen.
Merksatz 1: Die Summe aus einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist $0$.
Die Gegenzahl einer Zahl ist die Zahl, die denselben Betrag und das entgegengesetzte Vorzeichen hat. Die Summe aus einer Zahl und ihrer Gegenzahl lautet zum Beispiel $-25+25=0$.
Merksatz 2: Die Summe aus zwei negativen Zahlen ist immer negativ.
Addiert man zwei negative Zahlen, addiert man ihre Beträge und setzt vor die Summe ein negatives Vorzeichen. Die Summe aus zwei negativen Zahlen lautet zum Beispiel $-25+(-25)=-50$.
Merksatz 3: Die Summe aus zwei positiven Zahlen ist immer positiv.
Addiert man zwei positive Zahlen, addiert man ihre Beträge und setzt vor die Summe ein positives Vorzeichen. Die Summe aus zwei positiven Zahlen lautet zum Beispiel $25+25=50$.
Merksatz 4: Die Summe aus einer positiven und einer negativen Zahl hat immer das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
Addiert man eine negative und eine positive Zahl, subtrahiert man von dem größeren Betrag den kleineren Betrag und setzt vor den resultierenden Betrag das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. Die Summe aus einer negativen und einer positiven Zahl lautet zum Beispiel $-5+2=-3$. Weitere Beispiele sind $-2+5=3$ und $-25+26=1$.
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Bestimme die Rechnungen zu den gegebenen Zahlengeraden.
TippsDer Startwert deiner Rechnung ist diejenige Position auf der Zahlengerade, von der der erste Pfeil ausgeht.
Ein nach rechts zeigender Pfeil steht für eine positive Zahl. Ein nach links zeigender Pfeil steht für eine negative Zahl.
LösungDer Startwert unserer Rechenaufgaben ist durch den ersten Pfeil gegeben. Diesen erkennst du daran, dass keine Pfeilspitze an ihm anliegt. Diejenige Position auf der Zahlengerade, von der der erste Pfeil ausgeht, ist unser erster Summand. Außerdem gelten folgende Regeln für die Pfeilrichtung:
- Zeigt der Pfeil nach rechts, handelt es sich um einen positiven Summanden.
- Zeigt der Pfeil nach links, handelt es sich um einen negativen Summanden.
Beispiel 1
$-1+2+2=3$
Beispiel 2
$2+1=3$
Beispiel 3
$-1+1+1+1+1=3$
Beispiel 4
$3+(-2)+(-2)=-1$
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Ermittle mittels Addition von ganzen Zahlen den gesuchten Kontostand.
TippsDu kannst in deiner Rechnung Einnahmen mit positiven Zahlen und Ausgaben mit negativen Zahlen ausdrücken.
In einer Additionsaufgabe ist eine Klammer dann erforderlich, wenn eine negative Zahl addiert wird.
Schaue dir folgendes Beispiel an:
$3+5+(-5)=3$
Die Summe aus einer positiven und einer negativen Zahl hat immer das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
LösungUm den aktuellen Kontostand von Kevin und Ali mittels Addition von ganzen Zahlen zu berechnen, drücken wir in unserer Rechnung die Einnahmen mit positiven und die Ausgaben mit negativen Zahlen aus. Somit erhalten wir die folgenden beiden Berechnungen:
Kontostand von Kevin
- alter Kontostand: $50\ €$
- Einnahme: $200\ €$
- Ausgabe: $125\ €$
Kontostand von Ali
- alter Kontostand: $150\ €$
- Einnahme: $200\ €$
- Ausgabe: $210\ €$
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Gib die gesuchten Zahlen auf der Zahlengerade an.
TippsJede Linie auf der dargestellten Zahlengerade stellt eine ganze Zahl dar.
Auf der rechten Seite von dem Punkt $0$ befinden sich die positiven Zahlen und auf der linken Seite von dem Punkt $0$ befinden sich die negativen Zahlen.
LösungAuf der dargestellten Zahlengerade stellt jede Linie eine ganze Zahl dar.
Auf der rechten Seite von dem Punkt $0$ befinden sich die positiven Zahlen und auf der linken Seite von dem Punkt $0$ befinden sich die negativen Zahlen.
Damit erhalten wir die abgebildete Lösung.
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Bilde die Summen der vorgegebenen Additionsaufgaben.
TippsDie Summe aus einer positiven und einer negativen Zahl hat immer das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
Rechne Schritt für Schritt. Schaue dir folgendes Beispiel an:
$-33+30+(-7)+6=-3+(-7)+6=-10+6=-4$
Hinweis: Dabei ist es nicht notwendig, von links nach rechts zu rechnen. Eventuell ist eine andere Reihenfolge sogar geschickter.
LösungBei der Berechnung von Additionsaufgaben, die aus mehreren Summanden bestehen, kann es hilfreich sein, Schritt für Schritt vorzugehen. Dies soll hier anhand der gegebenen Beispiele verdeutlicht werden:
Beispiel 1
$-3+(-6)+13=-9+13=4$
Beispiel 2
$41+(-21)+4+(-20)+(-13)=20+4+(-20)+(-13)=24+(-20)+(-13)=4+(-13)=-9$
Beispiel 3
$-61+(-4)+43+6+8=-65+43+6+8=-22+6+8=-16+8=-8$
Beispiel 4
$-5+(-7)+6+13+5+(-3)=-12+6+13+5+(-3)=-6+13+5+(-3)=7+5+(-3)=12+(-3)=9$
Hinweis: Du musst dabei nicht von links nach rechts vorgehen. Eventuell ist eine andere Reihenfolge sogar geschickter. Im Beispiel 2 kannst du auch so rechnen:
$41+(-21)+4+(-20)+(-13)=20 + 4 + (-20) + (-13) = 4 +(-13) = -9$
Hier wurden nach dem zweiten Gleichheitszeichen die $20$ und die $-20$ verrechnet.
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Das ist sooo cool gemacht. Danke! Und theoretisch lernen sie ja Mathe (okay, sind keine HA aber trotzdem).
Nice 🫶
COOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOL BESTEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
Die Zahl die gespiegelt zur Zahl ist, nennt man Gegenzahl :)