Gegenseitige Lage Ebene-Ebene

Gegenseitige Lage Ebene-Ebene Übung

• Benenne die Ebenengleichungen und die verschiedenen Lagebeziehungen.

  Tipps

  Ist $r=1-2s$, dann kann man $r$ einfach in die Gleichung von $M$ einsetzen und erhält

  $\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}+(1-2s)\cdot\begin{pmatrix}0\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-1\\ 1\\0 \end{pmatrix}.$

  Das kann man nun noch weiter zusammenfassen. Man erhält als Schnittgerade die Gleichung

  $\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\ -3\\ 2 \end{pmatrix}.$

  Ob die Ebene $M$ identisch zur Ebene $N: x-2y+3z=1$ ist, überprüft man, indem man von $M$ die erste Zeile für $x$, die zweite Zeile für $y$ und die dritte Zeile für $z$ einsetzt. Nach Ausmultiplizieren der Klammern erhalten wir

  $1+2r+s-2r-4s+3s=1$.

  Wenn wir weiter vereinfachen, können wir zeigen, dass die Ebenen identisch sind.

  Betrachte die beiden Ebenen $M: x+y+z=0$ und $N: x+y+z=1$. Die beiden Normalenvektoren der Ebenen sind gleich. Es ist nämlich

  $\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}.$

  Aber es gibt keinen Punkt, der beide Gleichungen erfüllen kann. Die Ebenen sind also echt parallel.

  Lösung

  Wir gehen nun die Begriffe, die auf der linken Seite stehen, von oben nach unten einzeln ab.

  1. Parametergleichung: Das Wort „Parametergleichung“ sagt dir eigentlich schon, was du benötigst. Du benötigst Parameter, weshalb wir die Gleichung $\vec{x}=\vec{p}+r\cdot \vec{u}+ s \cdot \vec{v}$ mit den Parametern $r$ und $s$ als beliebige reelle Zahlen zuordnen können. Den Vektor $\vec{p}$ bezeichnet man als Stützvektor und die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind die Spannvektoren. Manchmal nennt man $\vec{u}$ und $\vec{v}$ auch Richtungsvektoren. Der Vektor $\vec{x}$ ist ein Vektor, der in der Ebene liegt.

  2. Normalengleichung: Auch hier kannst du aus dem Wort ableiten, welchen formalen Ausdruck wir diesem zuordnen können. Wir brauchen einen Normalenvektor, den man üblicherweise mit $\vec{n}$ notiert. Der Normalenvektor besitzt die Eigenschaft, dass er senkrecht auf der zugehörigen Ebene steht. Dementsprechend lässt sich die Gleichung $\left[\vec{x}-\vec{p}\right]\cdot \vec{n}=0$ zuordnen. Der Vektor $\vec{p}$ ist wie in (1) der Stützvektor. Beachte, dass $\cdot$ nicht für die Multiplikation von Vektoren steht. Es ist das Skalarprodukt von Vektoren.

  3. Koordinatengleichung: Hat man eine Koordinatengleichung gegeben, dann kann man sehr schnell überprüfen, ob ein Punkt aus dem dreidimensionalen Raum in der entsprechenden Ebene liegt. Die Gleichung, die dies ermöglicht, ist von der Form $n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=C$. Die Zahlen $n_1,n_2$ und $n_3$ sind die Einträge des Normalenvektors. Es ist nämlich

  $\vec{n}=\begin{pmatrix}n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}.$

  Die Zahl $C$ steht für eine konstante reelle Zahl.

  4. Ebenen schneiden sich: Wenn sich zwei Ebenen in einer Schnittgeraden schneiden, dann kann man die Schnittgerade in der Form $\vec{x}=\vec{p}+s\cdot \vec{u}$ mit $s\in\mathbb{R}$ angeben. Wenn wir $r=a\cdot s +b$ mit $a,b\in\mathbb{R}$ in die gegebene Parametergleichung einsetzen, erhalten wir die Abhängigkeit.

  5. Ebenen sind identisch: Die Ebenen $M$ und $N$ sind identisch, wenn wir durch Einsetzen der einzelnen Zeilen von $M$ in $N$ keine Einschränkungen an die Parameter $r$ und $s$ bekommen. Das ist nur erfüllt, wenn wir durch äquivalente Umformungen auf die wahre Aussage $0=0$ kommen.

  6. Ebenen echt parallel: Die zwei Ebenen $M$ und $N$ sind echt parallel, falls sie keinen Punkt gemeinsam haben. Es gibt also keine geeigneten Werte für $r$ und $s$, sodass wir eine wahre Aussage bekommen, wenn wir die Ebenengleichung von $M$ in die von $N$ einsetzen. Wir kommen auf eine falsche Aussage der Form $a=b$ für $a\neq b$.

• Stelle dar, wie du die Schnittgerade der beiden Ebenen bestimmst.

  Tipps

  Die Ebene $M$ könnte man auch wie folgt notieren:

  $\begin{align*}x&=1+4r+7s\\ y&=2+5r+8s\\ z&=3+6r+9s \end{align*}$

  Jetzt sieht man auch besser, was mit der ersten, zweiten und dritten Zeile der Ebene $M$ gemeint ist.

  Sei $M$ eine Ebene in Parameterform und $N$ eine Ebene in Koordinatenform, die sich in einer Gerade $g$ schneiden. Möchte man nun diese Schnittgerade bestimmen, muss man von $M$ die erste Zeile für $x$, die zweite Zeile für $y$ und die dritte Zeile für $z$ einsetzen und weiter umformen.

  Mit Vektoren und skalaren Größen (also reellen Zahlen) kann man „rechnen” bzw. gegebenenfalls Ausdrücke umformen. Hier ist ein Beispiel:

  Lösung

  Wir wollen die Schnittgerade der Ebenen $E$ in Parameterform und $F: x+2y-z=10$ in Koordinatenform bestimmen. Wie gehen wir dafür vor?

  Im ersten Schritt setzen wir die Ebene $E$ in $F$ ein, das heißt wir setzen für $x$ die erste Zeile, für $y$ die zweite Zeile und für $z$ die dritte Zeile ein. Wir erhalten: $3+r+2s+2\cdot(1+s)-(-1-r)=10.$ Die linke Seite der Gleichung können wir noch umformen und zusammenfassen.

  $3+r+2s+2+2s+1+r=10 ~~\Longleftrightarrow~~  6+4s+2r=10$

  Bringen wir jetzt die $4s$ und die $6$ auf die andere Seite, so folgt daraus $2r=4-4s$. Nun dividieren wir durch $2$, sodass $r=2-2s$ ist.

  Im zweiten Schritt setzen wir das erhaltene $r$ in die Parametergleichung von $E$ ein. Wir erhalten:

  $\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ -1\end{pmatrix}+\left(2-2s \right) \cdot\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 0\end{pmatrix}.$

  Diese Gleichung können wir weiter zusammenfassen, indem wir das Distributivgesetz von Vektoren mit einem Skalar (in unserem Fall einer reellen Zahl) anwenden. Es entsteht:

  $\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\ 0\\ -2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 0\end{pmatrix}.$

  Nun fassen wir noch die ersten beiden Summanden und die letzten beiden Summanden zusammen.

  $\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\ 1\\ -3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$

  Diese Gleichung besitzt die Form einer Geradengleichung in Parameterform. Damit haben wir also die Schnittgerade $g$ der beiden Ebenen $E$ und $F$ bestimmt.

• Entscheide, welche Aussagen zu den beiden Ebenen $E$ und $F$ passen.

  Tipps

  Sei $M$ die Koordinatengleichung einer Ebene. Um zu überprüfen, ob der Punkt $P=\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}$ in der Ebene liegt, setzt man diesen einfach in $M$ ein. Also:

  $2\cdot 1-9\cdot 1+ 5\cdot 1=2-9+5=-2$

  Da allerdings $18\neq -2$ ist, liegt der Punkt $P$ nicht in der Ebene $M$.

  Sei $M$ eine Ebene in Parameterform und $N$ eine Ebene in Koordinatenform. Liegt der Stützvektor von $M$ in der Ebene $N$, dann können die beiden Ebenen bereits nicht parallel sein.

  Der Nullpunkt bzw. der Koordinatenursprung erhält als Bezeichnung oft

  $O=\begin{pmatrix}0\\0\\ 0 \end{pmatrix}$.

  Lösung

  Es sind die beiden Ebenen $E$ und $F$ mit

  $\begin{align*} E&:~ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}5\\3\\1 \end{pmatrix}\\~\\ F&:~ 5x-4y-13z=-28 \end{align*}$

  gegeben.

  Wir schauen uns jede Antwortmöglichkeit einzeln an.

  1. Die Ebenen $E$ und $F$ sind echt parallel. Um zu überprüfen, ob die Ebenen echt parallel sind, setzen wir die Ebene $E$ zeilenweise in die Ebenengleichung für $F$ ein und formen diese um bzw. fassen sie zusammen.

  $\begin{align*} && 5\cdot(2+r+5s)-4\cdot(3-2r+3s)-13\cdot(2+r+s)&=-28\\ &\Longleftrightarrow& 10+5r+25s-12+8r-12s-26-13r-13s&=-28\\ &\Longleftrightarrow& 10-12-26+5r+8r-13r+25s-12s-13s&=-28\\ &\Longleftrightarrow& -28&=-28 \end{align*}$

  Wir erhalten also mit $-28=-28$ eine wahre Aussage. Demzufolge sind die Ebenen $E$ und $F$ identisch und die 1. Aussage ist falsch.

  2. Betrachten wir den Stützvektor von $E$ als Punkt, so liegt dieser in der Ebene $F$. Die einzelnen Einträge dieses Punktes lauten $p_1=2,p_2=3$ und $p_3=2$. Da $F$ in Koordinatenform gegeben ist, brauchen wir für $x,y$ und $z$ nur die entsprechenden Werte von $p_1,p_2$ und $p_3$ einzusetzen.

  $5\cdot 2-4\cdot 3-13\cdot 2=10-12-26=-28$

  Alle Punkte, die in $F$ liegen, müssen die Gleichung $ 5x-4y-13z=-28$ erfüllen. Folglich ist die 2. Aussage wahr.

  3. $E$ in $F$ eingesetzt ergibt $r=3s-4$. Aus 1. wissen wir, dass sich die Parameter $r$ und $s$ aufheben und wir eine wahre Aussage $-28=-28$ erhalten. Aus diesem Grund ist die Aussage (3) falsch.

  4. $E$ in $F$ eingesetzt ergibt eine wahre Aussage. Zur Überprüfung der 1. Aussage haben wir die Ebenengleichung von $E$ in die Ebenengleichung von $F$ eingesetzt und erhielten eine wahre Aussage. Die 4. Aussage ist also wahr.

  5. Die beiden Ebenen sind identisch. Eine Folgerung aus den Ergebnissen von 1. bzw. 4. ist, dass die Ebenen identisch sind. Die 5. Aussage ist dementsprechend wahr.

  6. Der Nullpunkt liegt in der Ebene $F$. Der Nullpunkt oder Koordinatenursprung besitzt als Einträge die Werte $0,0$ und $0$. Setzt man wie in 2. diese Werte in die Koordinatengleichung von $F$ ein, so erhält man $5\cdot 0-4\cdot 0-13\cdot 0 =0$. Es ist aber $0\neq -28$, womit der Nullpunkt nicht in der Ebene $F$ liegt. Somit ist die 6. Aussage falsch.

• Setze die gegebenen Ebenen in Koordinatenform zu der Ebene $E$ in Beziehung.

  Tipps

  Setzt man die Ebene $M$ in die Ebene $N: -2x+8y-7z=2$ ein, dann erhält man $-2+8r-7s=2$.

  Sei $M$ eine Ebene in Parameterform und $N$ eine Ebene in Koordinatenform. Wenn man den Parameter $r$ in linearer Abhängigkeit vom Parameter $s$ ausdrücken kann, d.h. gilt $r=a\cdot s +b$ für $a,b\in\mathbb{R}$, dann schneiden sich $M$ und $N$ in einer Schnittgeraden.

  Vektoren können Klammern lösen, sofern in der Klammer reelle Zahlen oder Variablen stehen.

  Lösung

  Die Ebene $E$ ist unsere „Referenzebene”.

  $E:~ \vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\ 0{,}5\\ 0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}3\\ 5\\ 2\end{pmatrix}$

  Wir gehen die vier gegebenen Ebenen $F_1,F_2,F_3$ und $F_4$ von oben nach unten einzeln ab.

  $F_1:~ 3x-2y+6z=0$

  Wir setzen von $E$ die erste Zeile für $x$, die zweite Zeile für $y$ und die dritte Zeile für $z$ ein. Dann erhalten wir $3\cdot(-1+r+3s)-2\cdot(0{,}5+r+5s)+6\cdot 2s=0$. Die linke Seite der Gleichung lässt sich umformen und zusammenfassen zu $-4+r+11s=0$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $r=4-11s$. Folglich schneiden sich $E$ und $F_1$ in einer Schnittgeraden.

  $F_2:~ x-y+z=1$

  Wir setzen wieder jede Zeile von $E$ in die entsprechenden Werte von der Gleichung $F_2$ ein. Es folgt $(-1+r+3s)-(0{,}5+r+5s)+2s=1$. Wir formen die linke Seite der Gleichung um und fassen dann zusammen. Es entsteht die Gleichung $-1{,}5=1$. Da wir aber selbstverständlich wissen, dass $-1{,}5\neq 1$ ist, erhalten wir somit eine falsche Aussage. Die Ebenen $E$ und $F_2$ sind damit echt parallel.

  $F_3:~ 3x-4y-2z=0$

  Nach Einsetzen von $E$ folgt $3\cdot(-1+r+3s)-4\cdot(0{,}5+r+5s)-2\cdot 2s=0$. Äquivalent dazu ist die Gleichung $-3+3r+9s-2-4r-20s-4s=0$. Wenn wir weiter zusammenfassen, erhalten wir $-5-r-15s=0$. Bringt man das $r$ auf die andere Seite, ergibt sich $r=-5-15s$. Dieses $r$ setzen wir nun in $E$ ein und formen um. $$\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\ 0{,}5\\ 0\end{pmatrix}+\left(-5-15s \right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}3\\ 5\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 0{,}5\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\ -5\\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-15\\ -15\\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}3\\ 5\\ 2\end{pmatrix}$$ Die ersten beiden und die letzten beiden Summanden fassen wir zusammen, womit wir eine Gerade $g$ in Parameterform erhalten.

  $g:~ \vec{x}=\begin{pmatrix}-6\\ -4{,}5\\ 0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-12\\ -10\\2 \end{pmatrix}$

  Die Gerade $g$ ist die Schnittgerade von $E$ und $F_3$.

  $F_4:~ -6x+6y-6z=9$

  Wie schon in den vorangegangen Fällen setzen wir $E$ in die entsprechende Koordinatengleichung ein. Es folgt $-6\cdot(-1+r+3s)+6\cdot(0{,}5+r+5s)-6\cdot 2s=9$. Weiter umgeformt erhält man $6-6r-18s+3+6r+30s-12s=9$. Die linke Seite fassen wir zusammen, sodass sich $9=9$ ergibt. Wir erhalten offensichtlich eine wahre Aussage. Die Ebenen $E$ und $F_4$ sind also identisch.

• Fasse dein Wissen zu den verschiedenen Ebenengleichungen zusammen.

  Tipps

  In dem Wort „Parametergleichung” steckt bereits die Information, dass die Gleichung Parameter (also beliebig wählbare Zahlen) enthält.

  Seien $\vec{n}$ und $C$ wie nebenstehend gegeben. Dann lautet die Koordinatengleichung der Ebene $2x+y-7z=5$.

  Lösung

  1. Die Parametergleichung einer Ebene besitzt die Form $\vec{x}=\vec{p}+r\cdot \vec{u}+s\cdot\vec{v}$. Hierbei ist $\vec{x}$ ein Vektor in der Ebene, $\vec{p}$ der Stützvektor und $\vec{u}$ sowie $\vec{v}$ sind die Richtungsvektoren. Je nach dem, welche Literatur verwendet wird, werden diese auch als Spannvektoren bezeichnet. Die Parameter $r$ und $s$ sind beliebige reelle Zahlen.
  2. Die Normalengleichung, in der Form $\left[\vec{x}-\vec{p}\right]\cdot \vec{n}=0$, ist die zweite Möglichkeit eine Ebene als Gleichung zu notieren. Beachte, dass $\cdot$ für das Skalarprodukt zweier Vektoren steht. Der Vektor $\vec{n}$ ist der Normalenvektor der Ebene. Dieser besitzt die Eigenschaft auf jedem Vektor der Ebene senkrecht zu stehen. Es gilt: Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren Null, dann stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
  3. Die wohl kompakteste und einfachste Darstellung einer Ebene ist die Koordinatengleichung in der Form $n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=C$. Die Werte von $n_1,n_2$ und $n_3$ sind die Einträge oder Komponenten des Normalenvektors der zugehörigen Ebene. Außerdem ist $C\in\mathbb{R}$, wobei dieser Wert bei Angabe der Koordinatengleichung üblicherweise mit angegeben wird.

• Prüfe die Lagebeziehung der Ebene $E$ zu der Ebene $F_{a,b}$ in Abhängigkeit von $a\in\mathbb{R}$ und $b\in\mathbb{R}$.

  Tipps

  Setzt man die Ebene $M$ in $N_{a,b}$ ein, dann „nimmt” man die Parameter $a$ und $b$ einfach mit, d.h. es ist

  $-a\cdot 1+1+r+2\cdot(2-r+s)=2b$.

  Durch auflösen der Klammern erhält man

  $-a+1+r+4-2r+2s=2b.$

  Das kann man noch weiter zu

  $-a+5-r+2s=2b$

  zusammen.

  Das richtige und zum Teil auch geschickte Ausklammern von Variablen kann eine Gleichung dahingehend vereinfachen, dass die erhaltene Gleichung schneller zum Ziel führt.

  Es gilt die Äquivalenz:

  $4q+4=0 ~~\Longleftrightarrow~~ q=-1$

  Daraus kann man auch die Äquivalenz

  $4q+4\neq 0 ~~\Longleftrightarrow~~ q\neq -1$

  folgern.

  Überlege dir, wann du eine wahre bzw. falsche Aussage bekommst und wann du $r$ in Abhängigkeit von $s$ schreiben kannst.

  Lösung

  Es sind die Ebene $E$ in Parameterform und die Ebene $F_{a,b}: -2a\cdot x+y+5z=3b$ in Koordinatenform gegeben. Die Ebene $F_{a,b}$ ist von $a,b\in\mathbb{R}$ abhängig.

  $E:~ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\-3\\1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-1\\-2\\0 \end{pmatrix}$

  Wir wollen nun die Lagebeziehung von $E$ und $F_{a,b}$ untersuchen. Die Parameter $a$ und $b$ werden einen wichtigen Einfluss darauf haben. Wir setzen zuerst $E$ in $F_{a,b}$ ein und formen um.

  $\begin{align} && -2a\cdot (r-s)+3-3r-2s+5r&=3b\\ &\Longleftrightarrow& -2ar+ 2as+3+2r-2s&=3b\\ &\Longleftrightarrow& r\cdot(2-2a)-s\cdot(2-2a)&=3b-3\\ &\Longleftrightarrow& r\cdot(2-2a)&=3b-3+s\cdot(2-2a) \end{align}$

  Jetzt müssen wir eine Fallunterscheidung bzgl. $a$ und $b$ machen.
  1. Fall: $a=1$
  Ist $a=1$, dann ist $2-2a=2-2\cdot 1=2-2=0$. Also folgt für die obige Gleichung $0=3b-3$. Desweiteren gilt für die erhaltene Gleichung folgende Äquivalenz:

  $0=3b-3 ~~\Longleftrightarrow~~ b=1$

  Für $a=1=b$ sind die Ebenen daher identisch. Aus der Äquivalenz erhalten wir außerdem, dass für $b\neq 1$ auch $0\neq 3b-3$ folgen muss. Es gilt aber wegen $a=1$ die Gleichung $0=3b-3$. Für $a=1$ und $b\neq 1$ erhalten wir damit eine falsche Aussage und die Ebenen sind echt parallel.
  2. Fall: $a\neq 1$
  Ist $a\neq 1$, dann können wir die Gleichung, die wir nach Einsetzen von $E$ in $F_{a,b}$ erhalten haben, durch $2-2a$ dividieren und erhalten

  $r=\frac{3b-3}{2-2a}+s.$

  Für ein beliebiges $b\in\mathbb{R}$ ist $r$ dann linear abhängig von $s$. Folglich schneiden sich die Ebenen für $a\neq 1$ und $b\in\mathbb{R}$ in einer Geraden.

  Zusammenfassend:

  1. Die Ebenen sind identisch, wenn $a=1$ und $b=1$ ist.
  2. Für $a=1$ und $b\neq 1$ sind die Ebenen echt parallel.
  3. Damit sich die Ebenen in einer Geraden schneiden, muss $a\neq 1$ und $b\in\mathbb{R}$ sein.