Gegenseitige Lage Ebene-Ebene – Beispiele

Gegenseitige Lage Ebene-Ebene – Beispiele Übung

• Stelle die Lagebeziehung der Ebenen $E$ und $F$ dar.

  Tipps

  Es sind die Ebenen $M$ in Parameterform und $N$ in Koordinatenform gegeben. Will man die Lagebeziehung beider Ebenen untersuchen, dann setzt man $M$ zeilenweise in $N$ ein.

  Es sind bspw. die Ebenen $M$ und $N: 2x-4y+z=-3$ gegeben. Setzt man $M$ zeilenweise in $N$ ein, dann erhält man $2\cdot(1+r)-4\cdot s+2=-3$. Diese Gleichung kann man nun noch weiter vereinfachen bzw. zusammenfassen.

  Erhält man nach ein paar Umformungsschritten z.B. die Gleichung $7=7$, dann hat man eine wahre Aussage erhalten. Die Gleichung $0=0$ muss nicht zwingend entstehen. Es ist lediglich wichtig, dass auf der linken Seite der Gleichung das Gleiche steht wie auf der rechten Seite der Gleichung.

  Lösung

  Wir wollen die Lagebeziehung der Ebenen $E$ und $F: -1{,}5x+3y-1{,}5z=4{,}5$ untersuchen.

  1. Da die Ebene $E$ in Parameterform und die Ebene $F$ in Koordinatenform gegeben ist, brauchen wir $E$ nur in $F$ einsetzen. Das machen wir zeilenweise, d.h. die erste Zeile von $E$ setzen wir für $x$ ein, die zweite Zeile von $E$ setzen wir für $y$ ein und die dritte Zeile von $E$ setzen wir für $z$ ein.
  2. Man erhält dann die Gleichung $-1{,}5\cdot(2+r+2s)+3\cdot(1+s)-1{,}5\cdot(-3-r)=4{,}5$.
  3. Die linke Seite dieser Gleichung lässt sich durch das Auflösen der Klammern noch weiter vereinfachen. Es folgt die Gleichung $-3-1{,}5r-3s+3+3s+4{,}5+1{,}5r=4{,}5$.
  4. Erneut können wir die linke Seite der Gleichung vereinfachen bzw. einige Terme zusammenfassen. Es ergänzen sich $-3+3$, $-1{,}5r+1{,}5r$ und $-3s+3s$ zu Null, weshalb am Ende nur noch $4{,}5=4{,}5$ übrig bleibt. Dies ist eine wahre Aussage. Möchte man $0=0$ zu stehen haben, dann muss man nur noch auf beiden Seiten der Gleichung $4{,}5$ subtrahieren. Das ist allerdings nicht notwendig, da es nur wichtig ist, dass eine wahre Aussage entsteht.
  5. Wegen der wahren Aussage $4{,}5=4{,}5$ sind die Ebenen $E$ und $F$ identisch.

• Gib die gegenseitige Lage zwischen den Ebenen $E$ und $G$ an.

  Tipps

  Es ist die Ebene $M$ in Parameterform gegeben. Will man die Ebene zeilenweise betrachten, dann erhält man $(3+2r+2s)$ als erste Zeile, $(2-3s)$ als zweite Zeile und $(-1+r+5s)$ als dritte Zeile.

  Den Term $2r+7t+4-2r-4-7t+3$ kann man zu $3$ zusammenfassen, da sich $2r-2r$, $7t-7t$ und $4-4$ zu Null ergänzen.

  Nach einigen Umformungsschritten entsteht z.B. die Gleichung $1=0$. Dann ist offensichtlich, dass dies eine falsche Aussage ist, da $1\neq0$ gilt.

  Lösung

  Es soll die gegenseitige Lage zwischen den Ebenen $E$ und $G: 4x-8y+4z=8$ untersucht werden.

  Wir setzen die Ebene $E$ dafür zeilenweise in die Ebene $G$ für $x,y$ und $z$ ein. Dabei ist $(2+r+2s)$ die erste Zeile von $E$, $(1+s)$ die zweite Zeile von $E$ und $(-3-r)$ die dritte Zeile von $E$. Wir erhalten also $4\cdot(2+r+2s)-8\cdot(1+s)+ 4\cdot(-3-r)=8$.

  Die linke Seite der Gleichung enthält einige Klammern, die wir auflösen können. Somit ergibt sich die Gleichung $8+4r+8s-8-8s-12-4r=8$. Die linke Seite der Gleichung lässt sich weiter vereinfachen, da sich die Terme $8-8$, $4r-4r$ und $8s-8s$ zu Null ergänzen und damit wegfallen bzw. wir diese Terme nicht mehr schreiben müssen. Es bleibt also nur noch die Gleichung $-12=8$ übrig.

  Jedoch weiß man, dass $-12\neq 8$ ist. Es folgt also eine falsche Aussage, womit die Ebenen $E$ und $G$ echt parallel sind. Man fügt hier den Zusatz „echt” noch hinzu, da zwei parallele Ebenen auch identisch sein können. Durch den Ausdruck „echt parallel” möchte man also betonen, dass die Ebenen parallel und nicht identisch sind.

• Bestimme die Einträge der Orts- und Richtungsvektoren der Schnittgeraden.

  Tipps

  Setzt man $E_1$ in $F_1$ ein, erhält man $r=9-3s$.

  Die Gleichung $(8-4r+5s)-r+3\cdot(2+r-s)=12$ folgt daraus, wenn man $E_2$ in $F_2$ einsetzt.

  Für reelle Zahlen bzw. Variablen und Vektoren gelten die Distributivgesetze. Betrachte dazu das nebenstehende Beispiel.

  Vektoren mit gleichem Parameter lassen sich natürlich zusammenfassen. Ein Beispiel:

  Lösung

  Um die Einträge der Orts- und Richtungsvektoren zu bestimmen, müssen wir zunächst die Ebene $E_1$ in $F_1$ bzw. $E_2$ in $F_2$ einsetzen.

  Wir beginnen mit $E_1$ in $F_1$. Wir erhalten

  $(1+r+s)+3\cdot s-2\cdot 3=4$

  Die linke Seite zusammengefasst ergibt $r+3s-5=4$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $r=-3s+9$, denn wir können die $3s$ und die $-5$ auf die rechte Seite bringen. Das erhaltene $r$ setzen wir nun für das $r$ in $E_1$, womit wir

  $\begin{align} \vec{x}&=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+(-3s+9)\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}-3s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+9\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$

  erhalten. Die Einträge vom Ortsvektor $\vec{p}$ sind damit $p_1=10$, $p_2=0$ und $p_3=3$ und die Einträge vom Richtungsvektor $\vec{u}$ sind $u_1=-2$, $u_2=1$ und $u_3=0$.

  Setzen wir nun $E_2$ in $F_2$ ein. Dann ergibt sich die Gleichung

  $(8-4r+5s)-r+3\cdot(2+r-s)=12$.

  Diese können wir zu $-2r+2s+14=12$ vereinfachen. Jetzt bringen wir die $14$ und das $2s$ auf die rechte Seite und dividieren im Anschluss die gesamte Gleichung durch $-2$. Dann folgt $r=s+1$. Den Term für $r$ setzen wir nun für das $r$ aus $E_2$ ein. Somit ergibt sich

  $\begin{align} \vec{x}&=\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+(s+1)\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$

  Die Einträge vom Ortsvektor $\vec{p}$ sind damit $p_1=4$, $p_2=1$ und $p_3=3$ und die Einträge vom Richtungsvektor $\vec{u}$ sind $u_1=1$, $u_2=1$ und $u_3=0$.

• Ermittle die gegenseitige Lage zwischen der Ebene $E$ und den Ebenen $F,G,H$ und $I$.

  Tipps

  Setzt man $E$ zeilenweise in $F: -4x+12y-5z=-45$ ein, dann erhält man im ersten Schritt

  $-4\cdot(-1+r)+12\cdot(3r+2s)-5\cdot(r+s)=-45$

  Da nicht explizit die Angabe der Schnittgeraden verlangt ist, reicht es, wenn man $r$ in (linearer) Abhängigkeit von $s$ dargestellt hat. Denn das ist gerade das Kriterium dafür, dass sich die betrachteten Ebenen schneiden.

  Lösung

  1. Wir untersuchen zunächst die Lage zwischen $E$ und $F: -4x+12y-5z=-45$. Hierfür setzen wir $E$ zeilenweise in $F$ ein. Dann erhalten wir

  $\begin{align*} && -4\cdot(-1+r)+12\cdot(3r+2s)-5\cdot(r+s)&=-45\\ &\Longleftrightarrow& 4-4r+36r+24s-5r-5s&=-45\\ &\Longleftrightarrow& 27r+19s&=-49\\ &\Longleftrightarrow& 27r&=-19s-49\\ &\Longleftrightarrow& r&=-\frac{19}{27}s-\frac{49}{27} \end{align*}$

  Damit haben wir $r$ in Abhängigkeit von $s$ ausgedrückt, weshalb sich beide Ebenen schneiden.

  2. Betrachten wir nun $E$ und $G: -3x+3y-6z=3$. Wir setzen $E$ wieder zeilenweise wie bei 1. ein.

  $\begin{align*} && -3\cdot(-1+r)+3\cdot(3r+2s)-6\cdot(r+s)&=3\\ &\Longleftrightarrow& 3-3r+9r+6s-6r-6s&=3\\ &\Longleftrightarrow& 3+6r-6r+6s-6s&=3\\ &\Longleftrightarrow& 3&=3 \end{align*}$

  Damit erhalten wir eine wahre Aussage, womit die Ebenen identisch sind.

  3. Setzen wir die Ebene $E$ in $H: \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y+z=0$ ein, dann erhalten wir

  $\begin{align*} && \frac{1}{2}\cdot(-1+r)-\frac{1}{2}\cdot(3r+2s)+(r+s)&=0\\ &\Longleftrightarrow& -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}r-\frac{3}{2}r-s+r+s&=0\\ &\Longleftrightarrow& -\frac{1}{2}-r+r&=0\\ &\Longleftrightarrow& -\frac{1}{2}&=0 \end{align*}$

  Allerdings ist $-\frac{1}{2}\neq 0$, womit wir eine falsche Aussage erhalten und die Ebenen damit echt parallel sind.

  4. Zum Schluss schauen wir uns noch die Lagebeziehung zwischen der Ebene $E$ und der Ebene $I$ an. Nach Einsetzen von $E$ in $I: x+y+z=3$ ergibt sich

  $\begin{align*} && (-1+r)+(3r+2s)+(r+s)&=3\\ &\Longleftrightarrow& -1+5r+3s&=3\\ &\Longleftrightarrow& 5r&=-3s+4\\ &\Longleftrightarrow& r&=-\frac{3}{5}s+\frac{4}{5} \end{align*}$

  Wie bei 1. haben wir $r$ in Abhängigkeit von $s$ ausgedrückt, womit sich die Ebenen schneiden werden.

• Bestimme die richtigen Aussagen zur Lagebeziehung zweier Ebenen.

  Tipps

  Eine Koordinatengleichung hat die Form $n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=C$ mit $C\in\mathbb{R}$.

  Es sind $A=(2,2,-1), B=(3,5,-2)$ und $C=(-4,1,0)$. Die Ebene $M$ wird durch die Spannvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ aufgespannt, denn es ist

  $\begin{align*} \vec{AB}&=\begin{pmatrix} 3-2 \\ 5-2 \\ -2-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\\ \vec{AC}&=\begin{pmatrix} -4-2 \\ 1-2 \\ 0-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

  Lösung

  1. „Die Gleichung $\vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}$ mit $r,s\in\mathbb{R}$ nennt man auch Koordinatengleichung.”

  Die Gleichung $\vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}$ mit $r,s\in\mathbb{R}$ nennt man insbesondere wegen der Parameter $r$ und $s$ auch Parametergleichung. Eine Koordinatengleichung hat die Form $n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=C$ mit $C\in\mathbb{R}$. Die Aussage ist also falsch.

  2. „Eine Parametergleichung einer Ebene kann man zeilenweise notieren und die erste Zeile für die $x$-Koordinate, die zweite Zeile für die $y$-Koordinate und die dritte Zeile für die $z$-Koordinate der Ebenengleichung $n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=C$ mit $C\in\mathbb{R}$ einsetzen.”

  Eine beliebige Parametergleichung einer Ebene besitzt die Form $\vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}$. Der Vektor $\vec{x}$ selbst besitzt drei Koordinaten, die man üblicherweise mit $x_1,x_2$ und $x_3$ oder, sofern Verwechslungen ausgeschlossen werden können, mit $x,y$ und $z$ bezeichnet. Die Vektoren $\vec{p},\vec{u}$ und $\vec{v}$ lassen sich ebenfalls mit ihren drei Einträgen schreiben. Die Parametergleichung kann man also auch folgendermaßen notieren:

  $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

  Jetzt kann man die Gleichung zeilenweise aufschreiben, d.h. wir erhalten

  $\begin{align*} x&=p_1+r\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y&=p_2+r\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z&=p_3+r\cdot u_3+s\cdot v_3\\ \end{align*}$

  Nun können wir ganz einfach den Term für $x,y$ und $z$ in die Ebenengleichung $n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=C$ mit $C\in\mathbb{R}$ einsetzen. Die Aussage ist also wahr.

  3. „Erhält man nach einigen Umformungsschritten $0=0$ bzw. eine wahre Aussage, dann sind die betrachteten Ebenen identisch.”

  Ist $E$ eine beliebige Ebene in Parameterform und $F$ eine Ebene in Koordinatenform. Dann kann man $E$ in $F$ wie in 2.) beschrieben einsetzen und man erhält eine Gleichung. Diese Gleichung lässt sich durch geeignete Umformungsschritte vereinfachen. Kommt man dabei zu einer wahren Aussage, wie z.B. $0=0$ oder $13=13$ o.ä., dann sind die Ebenen $E$ und $F$ identisch. Die Aussage ist also wahr.

  4. „Sind $A=(2,1,-3),B=(3,1,-4)$ und $C=(4,2,-3)$, dann ist $E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ eine Ebenengleichung, die durch die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ aufgespannt wird.”

  Die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ berechnen sich wie folgt:

  $\begin{align*} \vec{AB}&=\begin{pmatrix} 3-2 \\ 1-1 \\ -4-(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\\ \vec{AC}&=\begin{pmatrix} 4-2 \\ 2-1 \\ -3-(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$

  Da die Vektoren $\vec{AC}$ und der zweite Spann- oder Richtungsvektor von $E$ nicht gleich bzw. kein Vielfaches voneinander sind, spannen die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ die Ebene $E$ nicht auf. Die Aussage ist damit falsch.

• Entscheide, welche der Aussagen zur gegenseitigen Lage von Ebenen korrekt sind.

  Tipps

  Die eulersche Zahl $e$ ist eine irrationale Zahl und offensichtlich ist $e=e$.

  Eine „und”-Aussage ist dann erfüllt, wenn beide Teilaussagen erfüllt sind. Bspw. ist die Aussage „$2$ ist eine gerade Zahl und $5$ ist eine Primzahl” wahr, wohingegen die Aussage „$4=2^2$ und $4=5$” falsch ist.

  Eine besondere Eigenschaft echt paralleler Ebenen ist, dass diese keine Punkte gemeinsam und einen festen Abstand, den man z.B. mit $d$ bezeichnen kann, zueinander haben.

  Lösung

  1. „Die wahre Aussage $\pi=\pi$ oder $\sqrt{2}=\sqrt{2}$ kann nie entstehen, da $\pi$ und $\sqrt{2}$ irrationale Zahlen sind.”

  Du kennst bereits einige Ebenen, die identisch sind. Bspw. sind es $E: \vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $F: -3x+3y-6z=3$, d.h. wir erhielten hier nach Einsetzen von $E$ in $F$ die wahre Aussage $0=0$. Diese kleine Gleichung $0=0$ können wir natürlich mit Äquivalenzumformungen verändern. Man könnte auf beiden Seiten mit $\pi$ oder mit $\sqrt{2}$ addieren und käme so zu $\pi=\pi$ oder $\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Dass $\pi$ und $\sqrt{2}$ irrationale Zahlen sind, hat hierbei keine Bedeutung. Die Aussage ist also falsch.

  2. „Erhält man nach Einsetzen einer Ebene $E$ in Parameterform in eine Ebene $F$ in Koordinatenform $s=a\cdot r +b$ mit $a,b\in\mathbb{R}$, dann schneiden sich die Ebenen $E$ und $F$.”

  Seien $E: \vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}$ eine Ebene in Parameterform mit $r,s\in\mathbb{R}$ und $F$ eine Ebene in Koordinatenform und nach Einsetzen von $E$ in $F$ erhält man $s=a\cdot r +b$ mit $a,b\in\mathbb{R}$. Dann kann man $s$ in $E$ einsetzen und erhält

  $\vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{u}+(a\cdot r +b)\cdot\vec{v}=\vec{p}+b\cdot\vec{v}+r\cdot(a\cdot \vec{v}+\vec{u})$

  Nun erhalten wir mit $\vec{p}+b\cdot\vec{v}$ und $a\cdot \vec{v}+\vec{u}$ wiederum Vektoren, womit wir als Parameter nur noch $r$ in der Gleichung zu stehen haben. Dies entspricht gerade der Darstellungsweise einer Geradengleichung, was in diesem Fall die Schnittgerade ist. Die Aussage ist also wahr.

  3. „Es gibt reelle Zahlen $a$ und $b$ für die $a=b$ und $a\neq b$ gilt.”

  Von entscheidender Bedeutung ist hier das „und”, denn eine Aussage mit „und” ist wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind. Hier ist es allerdings so, dass im Falle von $a=b$ der Fall $a\neq b$ nie eintreten kann und im Falle von $a\neq b$ der Fall $a=b$ nie eintreten, da sich die beiden Teilaussagen widersprechen. Es gibt also keine reellen Zahlen, wofür diese Aussage gilt. Die Aussage ist also falsch.

  4. „Seien $E,F$ und $G$ drei Ebenen und es ist $E$ echt parallel zu $F$ sowie $F$ echt parallel zu $G$, dann ist $E$ echt parallel zu $G$ oder $E$ und $G$ sind identisch.”

  Eine besondere Eigenschaft echt paralleler Ebenen ist, dass diese keine Punkte gemeinsam und einen festen Abstand zueinander haben. Die Ebenen $E$ und $F$ sind nun echt parallel zueinander, weshalb sie keine Punkte gemeinsam und einen festen Abstand, den wir mit $d_1$ bezeichnen, zueinander haben. Gleiches gilt für die Ebenen $F$ und $G$. Sie besitzen keine gemeinsamen Punkte und einen festen Abstand $d_2$. Ist nun $d_1\neq d_2$, dann haben auch $E$ und $G$ keine gemeinsamen Punkte miteinander, weshalb sie echt parallel zueinander liegen werden. Ist jedoch $d_1=d_2$, dann können wiederum zwei Fälle eintreten. Im ersten Fall ist der Abstand zwischen $E$ und $G$ dann $2d_1$, womit sie keine gemeinsamen Punkte besitzen und wieder echt parallel sind. Im zweiten Fall ist der Abstand dann gleich Null, weshalb die Ebenen $E$ und $G$ somit identisch wären. Die Aussage ist also insgesamt wahr.

  5. „Die Ebenen $E: \vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $F: -3x+3y-6z=3$ sind identisch. Dann sind auch $E$ und $G: x-y+2z=-1$ identisch.”

  Wir müssen hierfür nicht viel rechnen. Man kann erkennen, dass die Äquivalenz

  $-3x+3y-6z=3 \overset{:(-3)}{\Longleftrightarrow} x-y+2z=-1$

  gilt. Die Ebenen $F$ und $G$ sind also gleich bzw. identisch. Da $E$ identisch zu $F$ ist, ist damit auch $E$ identisch zu $G$. Die Aussage ist damit wahr.