Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen

Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen Übung

• Ergänze die Erklärung zum Lösen von Systemen linearer Ungleichungen.

  Tipps

  Schaue dir die Ungleichung $x>4$ an. Wie kannst du die Menge aller $x$, die diese Ungleichung erfüllen, in einem Koordinatensystem darstellen?

  Wie unterscheidet sich dieser Fall von der Ungleichung $x\ge4$?

  Du kannst eine Ungleichung mit $x$ und $y$ nach $y$ auflösen. Wenn du das Relationszeichen durch „=“ ersetzt, erhältst du die Gleichung einer linearen Funktion.

  Eine beliebige Gerade teilt eine Ebene in zwei Hälften.

  Lösung

  Was sind lineare Ungleichungssysteme?

  Sie bestehen aus mindestens zwei Ungleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.

  Zu jeder der Ungleichungen werden Randgeraden aufgestellt, welche zu Halbebenen führen. Dabei erfüllen die Punkte einer Halbebene die Ungleichung der entsprechenden Randgeraden.

  Der Schnitt der Halbebenen ist die Lösungsmenge, man nennt diese auch Planungsgebiet.

  Für die Randgeraden ist zu beachten, dass

  • bei $<$ oder $>$ deren Punkte nicht zur Lösungsmenge, oder anders ausgedrückt zu dem entsprechenden Halbraum, gehören, allerdings
  • bei $\le$ oder $\ge$ dazugehören.

• Gib das Planungsgebiet des linearen Ungleichungssystems an.

  Tipps

  Forme jede der Gleichungen nach $y$ um.

  Zeichne die Randgeraden in ein Koordinatensystem und mache dir klar, in welcher Halbebene die Lösungen liegen.

  Du kannst einige Punkte zur Probe einsetzen, zum Beispiel $(-2|3)$ oder $(0|4)$.

  Beachte, dass sich das Relationszeichen umkehrt, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert wird.

  Lösung

  Zu lösen ist das System linearer Ungleichungen:

  $\begin{align*} &\text{I}&4x-2y&<-5\\ &\text{II}& x+2y&<10. \end{align*}$

  Jede der Gleichungen kann zunächst so umgeformt werden, dass $y$ alleine steht:

  $\begin{align*} &\text{I}&4x-2y&<-5&|&-4x\\ &&-2y&<-4x-5&|&:(-2)\\ &&y&>2x+2,5. \end{align*}$

  Hier wurde durch eine negative Zahl geteilt, weshalb das Relationszeichen umgedreht wurde.

  $\begin{align*} &\text{II}&x+2y&<10&|&-x\\ &&2y&<-x+10&|&:2\\ &&y&<-0,5x+5. \end{align*}$

  In beiden Ungleichungen wird das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt. Somit erhält man die beiden Randgeraden:

  • die Blaue zu der ersten Gleichung und
  • die Rote zu der zweiten.

  Somit gilt:

  • Die erste Gleichung ist in den Bereichen A und B,
  • die zweite in den Bereichen A und D sowie
  • beide Gleichungen sind in A erfüllt. Dies ist der sogenannte Planungsbereich.

• Prüfe, welcher der Punkte das lineare Ungleichungssystem löst.

  Tipps

  Setze jeden Punkt in jede Ungleichung ein.

  Wenn du dir zwei Geraden in ein Koordinatensystem zeichnest, kannst du erkennen, dass diese idealerweise Bereiche bilden.

  Es können im Fall der Identität der Geraden auch nur zwei Bereiche sein, also die entsprechenden Halbebenen.

  Lösung

  Jeder der Punkte kann in die Ungleichungen eingesetzt werden:

  $P(4|4)$:

  • $-2\cdot4+4=-4\le 5$, die erste Gleichung ist erfüllt,
  • $4\cdot 4-4\cdot 4=0>-16$, die zweite Gleichung ist ebenfalls erfüllt.

  $Q(2|9)$:

  • $-2\cdot2+9=5\le 5$, die erste Gleichung ist erfüllt,
  • $4\cdot 2-4\cdot 9=-28\not>-16$, die zweite Gleichung ist nicht erfüllt.

  $R(-2|10)$:

  • $-2\cdot(-2)+10=14\not\le 5$, die erste Gleichung ist nicht erfüllt,
  • $4\cdot (-2)-4\cdot 10=-48\not>-16$, die zweite Gleichung ist ebenfalls nicht erfüllt.

  $S(-4|-1)$:

  • $-2\cdot(-4)-1=7\not\le 5$, die erste Gleichung ist nicht erfüllt,
  • $4\cdot (-4)-4\cdot (-1)=-12>-16$, die zweite Gleichung ist erfüllt.

  Dies für jeden Punkt zu überprüfen ist recht aufwändig.

• Leite das Planungsgebiet grafisch her.

  Tipps

  Stelle die beiden Ungeraden jeweils nach $y$ um und zeichne die Randgeraden in ein Koordinatensystem.

  Mache dir an Beispielpunkten klar, auf welcher Seite der Halbgeraden die Lösungen liegen.

  Bei den Relationen $\le$ und $\ge$ gehören die Punkte der Randgeraden zu den Lösungen dazu.

  Unter anderem müssen folgende Begriffe eingesetzt werden:

  I, Nein, II und Ja.

  Lösung

  Zunächst werden die einzelnen Ungleichungen des Systems

  $\begin{align*} &\text{I}&-2x+y&\le5\\ &\text{II}&4x-4y&>-16 \end{align*}$

  jeweils nach $y$ umgeformt:

  • Die erste Gleichung ist äquivalent zu $y\le2x+5$, die entsprechende Randgerade ist blau gezeichnet,
  • die Zweite kann wie folgt umgeformt werden:

  $\begin{align*} 4x-4y&>-16&|&-4x\\ -4y&>-4x-16&|&:(-4)\\ y&<x+4 \end{align*}$

  Hierbei ist unbedingt zu beachten, dass das Relationszeichen in der letzten Zeile umgekehrt wurde. Warum? Dies muss man tun, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert wird oder durch eine negative Zahl dividiert wird. Die hierzu gehörende Randgerade ist rot gezeichnet.

  Nun können die beiden Randgeraden eingezeichnet werden.

  Diese Randgeraden teilen die Koordinatenebene jeweils in Halbebenen:

  • Eine, in der die Lösungen der Ungleichung liegen. Bei der Ersten gehört die Randgerade dazu, bei der Zweiten nicht,
  • sowie die jeweils andere, entgegengesetzte, Halbebene.

  Die zu I gehörende Halbebene mit den Lösungen ist A1 und die zu II ist B2.

  Dort, wo die Halbebenen sich schneiden, ist des Planungsgebiet, also die Menge aller Punkte, die die beiden Ungleichungen gleichzeitig erfüllen. Dieser Bereich ist in dem Bild mit F bezeichnet.

  Man könnte nun auch die Punkte $P(4|4)$, $Q(2|9)$, $R(-2|10)$ und $S(-4|-1)$ in das Koordinatensystem einzeichnen, um herauszufinden, welcher der Punkte das lineare Ungleichungssystem erfüllt.

• Beschreibe das allgemeine Vorgehen beim grafischen Lösen von linearen Ungleichungssystemen.

  Tipps

  Das Vorgehen ist analog zu dem zum grafischen Lösen von linearen Gleichungssystemen.

  Die Lösung von zwei linearen Gleichungen ist der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden.

  Grafisch liegt die Lösung einer Ungleichung „oberhalb“ oder „unterhalb“ einer Geraden.

  Lösung

  Bei einem System mit zwei linearen Ungleichungen erfolgt das grafische Lösen in den folgenden Schritten, welche auch auf mehrere Ungleichungen übertragen werden können:

  1. Die Ungleichungen werden so umgeformt, dass $y$ alleine steht. Man erhält eine Ungleichung der Form $y<ax+b$. Statt $<$ kann auch jedes andere Relationszeichen dort stehen.
  2. Die Gleichung $y=ax+b$ führt zu einer Geraden, der sogenannten Randgeraden.
  3. Die beiden Randgeraden werden in ein Koordinatensystem gezeichnet.
  4. Jede dieser Halbgeraden teilt die Koordinatenebene in zwei Halbebenen. In einer dieser Halbebenen ist die Ungleichung erfüllt, in der anderen nicht.
  5. Der Schnitt dieser Halbebenen, sofern vorhanden, ist die Lösungsmenge. Man nennt diese auch Planungsgebiet.

  Wenn das lineare Ungleichungssystem auch die Relationen $\le$ oder $\ge$ enthält, so gehören die Punkte der Randgeraden der entsprechenden Ungleichung zu der Lösungshalbebene dazu, ansonsten nicht.

• Bestimme das Planungsgebiet des Systems mit mehr als zwei Ungleichungen.

  Tipps

  Trage in die Lücken I, II, III und IV ein.

  Eine Lösung eines linearen Ungleichungssystems muss alle Gleichungen erfüllen.

  Übertrage dir dieses Bild auf ein Blatt und schraffiere die zugehörigen Halbebenen verschieden.

  Du könntest auch umgekehrt schauen, welche Bereiche in welchen Halbebenen liegen.

  Lösung

  Entweder kann man sich jeden Bereich einzeln anschauen oder aber die Ungleichungen.

  Hier werden die Ungleichungen argumentiert:

  • Die Ungleichung I wird erfüllt von C, D, F, G und H.
  • Die Ungleichung II wird erfüllt von B, C, D, F und G.
  • Die Ungleichung III wird erfüllt von A, B, D, E, F und H.
  • Die Ungleichung IV wird erfüllt von E, F, G und H.

  Das bedeutet, dass

  • A nur III erfüllt,
  • B II und III,
  • C I und II,
  • D I, II und III,
  • E III und IV,
  • F I, II, III und IV,
  • G I, II und IV sowie
  • H I, III und IV.

  F ist somit das Planungsgebiet, da hier alle Ungleichungen erfüllt sind.

  Das bedeutet, dass das Verfahren zum grafischen Lösen bei mehr als zwei Ungleichungen ähnlich verläuft. Das Finden des Planungsgebietes gestaltet sich vielleicht etwas schwieriger.