Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen – Übung

Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen – Übung Übung

• Stelle die Gleichungen der Randgeraden für die beiden Ungleichungen auf.

  Tipps

  Die Umformung der Ungleichung erfolgt wie bei Gleichungen durch Äquivalenzumformungen.

  Beachte, dass sich

  • beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl und
  • beim Dividieren durch eine negative Zahl

  das Relationszeichen umkehrt.

  Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet $y=mx+n$. Ersetze zum Schluss das Relationszeichen durch $=$.

  Lösung

  Gelöst werden soll das folgende Ungleichungssystem:

  $\begin{align*} &\text{I}&2x-2y&\le 4\\ &\text{II}&-3x-y&> -3 \end{align*}$

  Hierfür werden die Randgeraden benötigt, welche in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden können. Die jeweiligen Lösungen liegen, je nach Relationszeichen, ober- oder unterhalb dieser Randgeraden. Gegebenenfalls gehört die Randgerade dazu. Der Schnitt der Lösungen ist der Planungsbereich.

  Die Randgeraden werden bestimmt, indem jede der Ungleichung nach der Variablen $y$ aufgelöst wird. Dabei ist zu beachten, dass das Dividieren durch eine negative Zahl das Relationszeichen umkehrt:

  $\begin{align*} &\text{I}&2x-2y&\le4&|&-2x\\ &&-2y&\le-2x+4&|&:(-2)\\ &&y&\ge x-2. \end{align*}$

  sowie

  $\begin{align*} &\text{II}&-3x-y&>-3&|&+3x\\ &&-y&>3x-3&|&\cdot (-1)\\ &&y&<-3x+3. \end{align*}$

  Durch Ersetzen des jeweiligen Relationszeichens der Ungleichung durch ein Gleichheitszeichen erhält man die Gleichungen der Randgeraden:

  (I) $y=x-2$

  (II) $y=-3x+3$

• Benenne den Planungsbereich.

  Tipps

  Forme zunächst alle Ungleichungen um und erstelle die Gleichungen der Randgeraden.

  Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet $y=mx+n$. Dabei ist

  • $m$ die Steigung und
  • $n$ der y-Achsenabschnitt.

  Geraden der Form $y=n$ oder $x=k$ verlaufen parallel zu den Koordinatenachsen.

  Lösung

  Um das lineare Ungleichungssystem zu lösen, müssen erst die Gleichungen der Randgeraden aufgestellt werden:

  $\begin{align*} &\text{I}&2x&>8\\ &\text{II}&4y&<16\\ &\text{III}&2x+4y&>8 \end{align*}$

  $(I)$ ist äquivalent zu $x>4$; die Randgerade lautet $x=4$.

  $(II)$ ist äquivalent zu $y<4$; die Randgerade lautet $y=4$.

  $(III)$ muss zunächst umgeformt werden:

  $\begin{align*} 2x+4y&>8&|&-2x\\ 4y&>-2x+8&|&:4\\ y&>-0,5x+2. \end{align*}$

  Die Gleichung der Randgeraden lautet $y=-0,5x+2$.

  Die Randgeraden sind in dem Bild zu erkennen. Die blaue gehört zu $(I)$, die grüne zu $(II)$ und die rote zu $(III)$.

  • Rechts von der blauen Randgeraden wird $(I)$ gelöst.
  • Unterhalb der grünen wird $(II)$ gelöst.
  • Oberhalb der roten wird $(III)$ gelöst.

  Der Schnitt ist in diesem Bild mit $P$ bezeichnet. Dies ist das Planungsgebiet.

• Leite die Gleichungen der Randgeraden her und benenne diese in einem Koordinatensystem.

  Tipps

  Forme jede der Ungleichungen so um, dass $y$ auf der linken Seite isoliert steht.

  Die Gleichung der Randgeraden erhältst du, indem du das Relationszeichen in der umgeformten Ungleichung durch ein Gleichheitszeichen ersetzt.

  Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet $y=mx+n$, wobei $m$ die Steigung und $n$ der y-Achsenabschnitt ist.

  Beide Geraden sind am y-Achsenabschnitt eindeutig zu erkennen.

  Lösung

  Für das System linearer Ungleichungen

  $\begin{align*} &\text{I}&-2x-2y&\ge -10\\ &\text{II}&-x+4y&> 4 \end{align*}$

  werden die Gleichungen der Randgeraden gesucht.

  Hierfür wird jede der Gleichungen äquivalent umgeformt, sodass die Variable $y$ isoliert auf der linken Seite der Ungleichung steht. Falls durch eine negative Zahl dividiert wird oder mit einer negativen Zahl multipliziert, so dreht sich das Relationszeichen um:

  $\begin{align*} &\text{I}&-2x-2y&\ge -10&|&+2x\\ &&-2y&\ge2x-10&|&:(-2)\\ &&y&\le -x+5. \end{align*}$

  Die zugehörige Gleichung der Randgeraden lautet: $y=-x+5$. Am y-Achsenabschnitt $5$ ist zu erkennen, dass die entsprechen Gerade die rote ist.

  Analog wird die zweite Ungleichung umgeformt:

  $\begin{align*} &\text{II}&-x+4y&>4&|&+x\\ &&4y&>x+4&|&:4\\ &&y&>0,25x+1. \end{align*}$

  Die zu dieser Ungleichung gehörende Randgerade hat die Gleichung $y=0,25x+1$. Dies ist die blaue Gerade.

• Ordne die Lösungsbereiche der einzelnen Ungleichungen sowie den Planungsbereich zu.

  Tipps

  Es gilt bei der umgeformten Ungleichung:

  ($>$) Die Lösungen liegen oberhalb der Randgerade; diese gehört also nicht dazu.

  ($\ge$) Die Lösungen liegen oberhalb oder auf der Randgerade; diese gehört also dazu.

  Dies kannst du auf die Relationen $<$ sowie $\le$ übertragen.

  Dort wo beide Ungleichungen gleichzeitig gelöst werden, ist der Planungsbereich.

  Mach dir den jeweiligen Lösungsbereich mit den Buchstaben klar. Der Buchstabe, der in beiden Lösungsbereichen vorkommt, ist der Planungsbereich.

  Lösung

  Die Gleichungen der Randgeraden zu dem System linearer Ungleichungen

  $\begin{align*} &\text{I}&-2x-2y&\ge -10\\ &\text{II}&-x+4y&> 4 \end{align*}$

  sind gegeben durch:

  (I) $y=-x+5$; dies ist die rote Gerade.

  (II) $y=0,25x+1$; dies ist die blaue Gerade.

  • Die Lösungen zu (I) liegen unterhalb oder auf der roten Randgeraden wegen $\ge$ und
  • die zu (II) oberhalb der blauen. Dabei gehört die Randgerade nicht dazu wegen $>$.

  Dort, wo die beiden Bereiche sich schneiden, liegt das Planungsgebiet. Dieses ist in dem oberen Bild mit $L$ gekennzeichnet.

  In nebenstehendem Bild ist der Planungsbereich daran zu erkennen, dass die Markierungen der Lösungsbereiche sich dort schneiden.

• Gib die wichtigen Schritte zum grafischen Lösen eines linearen Ungleichungssystem an.

  Tipps

  Die Gleichung einer Geraden lautet $y=mx+n$. Alle Punkte, die diese Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden.

  Zeichne die Randgerade zu $y\le 4x+3$. Prüfe, ob die Punkte oberhalb oder unterhalb der Randgeraden diese Ungleichung erfüllen.

  Es gilt $4<6$. Allerdings führt die Multiplikation mit $-3$ zu $-12>-18$.

  Lösung

  Ein System linearer Ungleichungen besteht aus mindestens $2$ linearen Ungleichungen.

  Jede dieser Ungleichungen wird so umgeformt, dass die Variable $y$ auf der linken Seite isoliert steht. Dies geschieht durch Äquivalenzumformungen.

  Vorsicht: Das Multiplizieren mit einer negativen Zahl und das Dividieren durch eine negative Zahl kehrt das Relationszeichen um.

  Additionen oder Subtraktionen haben keinen Einfluss auf das Relationszeichen,

  Die umgeformte Ungleichung führt jeweils zu der Randgeraden, in welcher das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen ersetzt wird.

  Je nach Relationszeichen liegen folgende Fälle vor:

  ($>$) Alle Punkte oberhalb der Randgeraden erfüllen die Ungleichung. Die Randgerade gehört nicht dazu.

  ($\ge$) Alle Punkte oberhalb oder auf der Randgeraden erfüllen die Ungleichung. Die Randgerade gehört dazu.

  ($<$) Alle Punkte unterhalb der Randgeraden erfüllen die Ungleichung. Die Randgerade gehört nicht dazu.

  ($\le$) Alle Punkte unterhalb oder auf der Randgeraden erfüllen die Ungleichung. Die Randgerade gehört dazu.

• Ermittle den Planungsbereich des linearen Ungleichungssystems.

  Tipps

  Mach dir die Lage oberhalb oder unterhalb in Abhängigkeit von dem Relationszeichen an Beispielen klar.

  Die grüne Gerade hat die Form $x>k$ oder $x<k$.

  Du kannst das Bild auf ein Blatt Papier übertragen und die entsprechenden Bereiche schraffieren.

  Lösung

  Bei dieser Aufgabe geht es darum, bei gegebenen Randgeraden zu erkennen, welcher Bereich welche Ungleichungen erfüllt. Dies ist manchmal, insbesondere bei mehr als $2$ Ungleichungen recht kompliziert.

  Im Bereich $G$ werden die Ungleichungen (I) und (II) jeweils mit $<$ die beiden anderen mit $>$ erfüllt.

  Der Bereich $A$ enthält alle die Punkte, die alle Ungleichungen mit $>$ erfüllen und der Bereich $V$ alle mit $<$.

  Dies kann man sich zum Beispiel durch Schraffieren der entsprechenden Bereiche klarmachen.

  Im Bereich $T$ gelten die folgenden Relationen:

  • $<$ für die Ungleichungen (I) und (II) sowie
  • $>$ für die Ungleichungen (II) und (IV).