Grenzwerte von Folgen

Grenzwerte von Folgen Übung

• Stelle die Folgen im Koordinatensystem dar.

  Tipps

  Erstelle jeweils eine Wertetabelle und vergleiche deine Werte mit den abgebildeten.

  Folgen, die den Term $(-1)^n$ enthalten, sind alternierende Folgen, da die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ werden.

  Da wir die Folgenglieder für $n \in \mathbb{N}$ darstellen wollen, kannst du die Punkte nicht verbinden.

  Lösung

  Um Folgen anschaulich darzustellen, berechnen wir jeweils die Folgenglieder für $n \in \mathbb{N}$ und vergleichen unsere Werte anschließend mit den gegebenen Darstellungen.

  Die Folge $a_n=1+n^2$ hat die Folgenglieder $a_1=2, a_2 =5, a_3 = 10$ und $a_4=17$. In einer Wertetabelle kannst du übersichtlich für jedes gewählte n deine Folgenglieder notieren und anschließend mit den gegebenen Darstellungen vergleichen. Da die Folge $a_n$ niedrig beginnt und mit größer werdendem n ständig anwächst, also divergent ist, stellt das erste Diagramm die Folge dar.

  Auf dieselbe Weise gehen wir bei den restlichen Folgen vor.

• Unterscheide zwischen konvergenten und divergenten Folgen. 

  Tipps

  Was versteht man unter einer konvergenten bzw. einer divergenten Folge?

  Berechne jeweils Folgenglieder und überprüfe, ob sie sich einem bestimmten Wert annähern.

  Lösung

  Wir berechnen einige Folgenglieder der gegebenen Folgen, um herauszufinden, ob die Folgen einen Grenzwert haben, also konvergent sind, oder keinen Grenzwert besitzen, und somit divergent sind.

  Die Folge $r_n = \frac{1}{2^n}$ hat die Folgenglieder $r_0=1, r_1=\frac{1}{2}, r_2=\frac{1}{4}$ und $r_3=\frac{1}{8}$. Die Folgenglieder werden immer kleiner und streben gegen Null, also ist die Folge $r_n$ konvergent.

  Auch die Folge $c_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ strebt gegen Null und ist somit konvergent.

  Betrachten wir die Folgenglieder der Folge $d_n = \frac{2n-1}{n}$ mit $d_1=1, d_2=\frac{3}{2}, d_3=\frac{5}{3}$ und $d_4=\frac{7}{4}$, so stellen wir fest, dass die Folge gegen 2 strebt und daher auch konvergent ist.

  Im Gegensatz dazu streben die Folgenglieder der Folgen $s_n = 2^n$, $a_n = 1+n^2$ und $b_n = (-1)^n \cdot (n+2)$ nicht gegen eine bestimmte Zahl. Sie sind folglich divergent.

• Bestimme den Grenzwert der Folgen.

  Tipps

  Berechne die Folgenglieder der jeweiligen Folgen, setze dabei für n auch hohe Zahlen wie $n=100$ ein.

  Du kannst die Folgen auch vereinfachen, wie z.B. durch das Kürzen eines Faktors im Zähler und Nenner eines Bruchs.

  Du kannst einen Buch mit einer Summe im Zähler zerlegen.

  Lösung

  Du kannst den Grenzwert auf verschiedene Weisen bestimmen. Du kannst beispielsweise direkt Folgenglieder berechnen und so auf den Grenzwert schließen oder du kannst vorher erst einmal den Term vereinfachen und anschließend den Grenzwert bestimmen.

  Betrachten wir die Folge $a_n = \frac{3n+2}{3n}$, so stellen wir fest, dass man den Term $3n$ kürzen kann, wenn man die Summe auseinander zieht:

  $a_n = \frac{3n+2}{3n}= \frac{3n}{3n} + \frac{2}{3n} = 1 + \frac{2}{3n} $.

  Nun setzen wir beliebige $n \in \mathbb N$ ein und erhalten z.B. für $n=100$ das Folgenglied.

  $a_{100} = 1 + \frac{2}{300} \approx 1,0067$

  und für $n=2000$ das Folgenglied

  $a_{2000} = 1 + \frac{2}{6000} \approx 1,0003$. Der Grenzwert der Folge liegt somit bei $1$.

  Für $a_n = 5 - \frac{1}{n^2}$ sind die Folgenglieder $a_1=4$, $a_{100}=4,9999$ und $a_{5000}=4,99999996$. Die Folge nähert sich also dem Grenzwert $5$.

  Auf dieselbe Weise kann man auch den Grenzwert der anderen Folgen bestimmen.

• Entscheide, welche Folgen divergent sind.

  Tipps

  Folgen, die nicht gegen eine bestimmte Zahl streben und somit keinen Grenzwert besitzen, nennt man "divergent".

  Setze für n jeweils beliebig hohe natürliche Zahlen ein und berechne die Folgenglieder. Streben sie gegen eine bestimmte Zahl?

  Eine Folge, deren Zähler eine Konstante ist und deren Nenner für immer größer werdende n beliebig groß wird, strebt stets gegen Null und ist somit konvergent.

  Lösung

  Wir berechnen die Folgenglieder der Folge $a_n=\frac{1}{n^3}$ für $n=1$, $n=100$ und $n=10000$:

  $a_1=1$,

  $a_{100}=\frac{1}{100^3} = 0,000001$,

  $a_{10~000}=\frac{1}{10~000^3} = 0,000000000001$.

  Wir stellen fest, dass eine Folge, deren Zähler konstant ist und deren Nenner immer größer wird, stets gegen Null konvergiert.

  Auch die Folge $d_n=3-\frac{1}{n}$ enthält einen solchen Bruch, der gegen Null konvergiert, daher ist der Grenzwert dieser Folge $3-0=3$.

  Die Folge $e_n=\frac{n^2+3\cdot n}{n^3}$ können wir umformen, sodass $e_n= \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}$ ebenfalls zwei Terme enthält, welche gegen Null konvergieren, somit konvergiert die gesamte Folge $e_n$ gegen $0$.

  Im Gegensatz dazu streben die Folgen $b_n=\frac{n}{3}$ und $c_n=3^n$ nicht gegen eine bestimmte Zahl. Durch das Berechnen beliebiger Folgenglieder kann man dies leicht feststellen:

  $b_{3~000~000}=\frac{3~000~000}{3} = 1~000~000$,

  $b_{3~000~000~000}=\frac{3~000~000~000}{3} = 1~000~000~000$,

  $c_{10}= 3^{10} = 59049$,

  $c_{100}= 3^{100} = 5,153775207 \cdot 10^{47}$.

• Nenne die gesuchten Eigenschaften von Folgen.

  Tipps

  Die abgebildete Folge hat abwechselnd positive und negative Folgenglieder. Wie nennt man diese Eigenschaft?

  Das Wort convergere kommt aus dem lateinischen und bedeutet „zusammenlaufen“.

  Lösung

  Man nennt eine Folge alternierend, wenn die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ sind. Ein Beispiel einer alternierenden Folge ist die Folge $b_n = (-1)^n \cdot (n+2)$.

  Divergente Folgen wachsen beispielsweise ständig an. Sie streben nicht gegen einen bestimmten Wert. Ein Beispiel für eine divergente Folge ist $s_n = 2^n$. Divergente Folgen können auch alternierend sein. Die Folge $b_n = (-1)^n \cdot (n+2)$ ist alternierend und divergent.

  Konvergente Folgen streben gegen einen bestimmten Wert, dem sie sich annähern. Diesen Wert nennt man Grenzwert. Ein Beispiel für eine konvergente Folge ist $r_n = \frac{1}{2^n}$. Ihr Grenzwert ist Null. Konvergente Folgen können auch alternierend sein. Die Folge $c_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ ist alternierend und konvergent. Ihr Grenzwert ist ebenfalls Null.

• Ermittle, welche Folge jeweils beschrieben wird.

  Tipps

  Folgen, die abwechselnd positive und negative Folgenglieder enthalten, nennt man alternierend. Was versteht man unter konvergenten bzw. divergenten Folgen?

  Berechne einige Folgenglieder der gegebenen Folgen und ordne mit Hilfe deiner Schlussfolgerungen die jeweilige Folge einem Text zu.

  Lösung

  Wir betrachten die einzelnen Folgen und ordnen ihnen die passenden Eigenschaften zu.

  • Wir berechnen als Erstes beliebige Folgenglieder der Folge $a_n= \frac{4n+2}{(-1)^n}$: $a_1=-6$, $a_2=10$, $a_{1000}=4002$, $a_{1001}=-4006$.

  Die Folge strebt nicht gegen eine bestimmte Zahl und da sie den Term $(-1)^n$ enthält, ist die Folge $a_n$ auch alternierend.

  • Die Folgenglieder $b_1= 5$, $b_2= 8$,$b_{1~000~000}= 3~000~002$ von $b_n= 3n+2$ streben ebenfalls nicht gegen eine bestimmte Zahl, daher ist auch $b_n$ divergent, jedoch nicht alternierend.

  • Der erste Summand der Folge $c_n= \frac{1}{n} + 5$ strebt gegen Null, der zweite Summand bleibt stets die Konstante 5, daher konvergiert diese Folge gegen 5 und ist nicht alternierend.

  • Auch die Folge $d_n=(-1)^n \cdot \frac{5}{n^2}$ enthält den Term $(-1)^n$ und ist somit alternierend. Der zweite Faktor strebt gegen $0$, also ist der Grenzwert dieser Folge $0$. Man nennt Folgen, die gegen Null konvergieren auch Nullfolgen.