Grenzwertsätze für Folgen – Beispiele

Grenzwertsätze für Folgen – Beispiele Übung

• Ergänze die Grenzwertsätze zur Berechnung eines Grenzwertes.

  Tipps

  Die Grenzwertsätze ermöglichen die Berechnung von Folgen, welche durch die vier Grundrechenarten aus konvergenten Folgen zusammengesetzt sind.

  Lösung

  Die Grenzwertsätze ermöglichen die Berechnung der Grenzwerte von Folgen, welche die Verknüpfung von konvergenten Folgen über die vier Grundrechenarten ($+$, $-$, $\cdot$ und $:$) sind.

  Die beiden Folgen $a_n$ und $b_n$ konvergieren:

  • $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=a$
  • $\lim\limits_{n \to \infty}b_n=b$.

  1. $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n±b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n±\lim\limits_{n \to \infty}b_n=a±b$. Also konvergiert die Summenfolge gegen die Summe der Grenzwerte und die Differenzfolge gegen die Differenz der Grenzwerte.
  2. $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n \cdot \lim\limits_{n \to \infty}b_n=a \cdot b$. Also konvergiert die Produktfolge gegen das Produkt der Grenzwerte.
  3. $\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{a_n}{b_n} \right)=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}a_n}{\lim\limits_{n \to \infty}b_n}=\frac{a}{b}}$. Also konvergiert die Quotientenfolge gegen den Quotienten der Grenzwerte. Hier muss zusätzlich noch gelten, dass sowohl alle Folgenglieder $b_n≠0$ sind, als auch der Grenzwert $b≠0$ ist.

• Gib die Grenzwerte der Folgen an.

  Tipps

  Um die Grenzwertsätze anwenden zu können, sollten konvergente Folgen vorhanden sein, welche durch die vier Grundrechenarten verknüpft werden.

  Bei jeder der Folgenterme handelt es sich um einen Bruch. Sind die Folgenglieder im Nenner und auch der Grenzwert ungleich $0$?

  Das Potenzieren mit $10$ ist eine abkürzende Schreibweise für das 10-malige Multiplizieren.

  Lösung

  1. Durch Erweitern der Folge $\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{7n^3+3}{n^3-10} \right)}$ mit $\frac{1}{n^3}$, erhältst du sowohl im Zähler als auch im Nenner konvergente Folgen. Der Grenzwert der Zählerfolge ist $7$ und der der Nennerfolge ist $1$. Hier wendest du die Sätze über Quotientenfolgen, Summenfolgen und Differenzenfolgen an.
  2. Die Folge $\displaystyle{\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}} \right)}$ wird mit $n$ erweitert. Die Zählerfolge lautet dann $6+\frac{1}{n}$ und konvergiert gegen $6$. Die Nennerfolge ist konstant $1$. Also ist der Grenzwert der gesamten Folge $\frac{6}{1}=6$. Verwendet werden die Grenzwertsätze für Quotientenfolgen und Summenfolgen.
  3. $\displaystyle{\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{2^n-1}{2^{n-1}} \right)=2}$. Hier kannst du den Bruch aufteilen und die jeweiligen Grenzwerte betrachten. Dabei wendest du noch eine Rechenregel für Potenzen an. Der Minuend ist $\frac{2^n}{2^{n-1}}=2$, also konstant, und der Subtrahend ist $\frac{1}{2^{n-1}}$ mit dem Grenzwert $0$.
  4. $\displaystyle{\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{(1+2n)^{10}}{(1+n)^{10}} \right)=1024}$. Das Potenzieren mit $10$ kannst du mit der Regel für Produktfolgen umschreiben. Also musst du noch den Grenzwert in der Basis ausrechnen: Dies geht ebenso wie bei den beiden ersten Beispielen. Du erweiterst den Bruch, hier mit $\frac{1}{n}$, und erhältst somit sowohl im Zähler $\frac{1}{n}+2$ als auch im Nenner $\frac{1}{n}+1 $ eine konvergente Folge. Die Basis geht also gegen $\frac{2}{1}=2$ und der Grenzwert lautet $2^{10}=1024$.

• Untersuche die Folge auf Konvergenz und gib den Grenzwert an.

  Tipps

  Um die Grenzwertsätze anwenden zu können, müssen sowohl im Nenner als auch im Zähler konvergente Folgen stehen.

  Alle Folgenglieder der Nennerfolge und auch deren Grenzwert dürfen nicht $0$ sein.

  Du kannst die Grenzwertsätze anwenden:

  1. $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n±b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n±\lim\limits_{n \to \infty}b_n=a±b$
  2. $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n \cdot \lim\limits_{n \to \infty}b_n=a \cdot b$
  3. $\displaystyle{\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{a_n}{b_n} \right)=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}a_n}{\lim\limits_{n \to \infty}b_n}=\frac{a}{b}}$. Hier muss noch gelten, dass sowohl die Folgenglieder $b_n≠0$ als auch der Grenzwert $b≠0$ sind.

  Lösung

  Um die Grenzwertsätze anwenden zu können, müssen sowohl im Zähler als auch im Nenner konvergente Folgen stehen. Deshalb kannst du zunächst den Bruch mit $\frac{1}{n}$ erweitern. In der folgenden Rechnung wendest du zuerst die Grenzwertsätze für Quotienten- und Produktfolgen an und danach im Zähler den Grenzwertsatz für Summenfolgen und im Nenner den für Differenzfolgen.

  $\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{n+3n^2}{2-3n^2}\right)^2&= \lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{\frac{1}{n}+3}{\frac{2}{n^2}-3}\right)^2\\ &=\left(\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{1}{n}+3\right)}{\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{2}{n^2}-3\right)}\right)^2\\ &=\left(\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{1}{n}\right) +\lim\limits_{n \to \infty}3}{\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{2}{n^2}\right)-\lim\limits_{n \to \infty}3}\right)^2\\ &=\left(\frac{0+3}{0-3}\right)^2=(-1)^2=1 \end{align*}$.

  Der Grenzwert der Folge ist also $1$.

• Weise nach, dass die Folge einen Grenzwert besitzt.

  Tipps

  Zunächst kannst du den Bruch in zwei Summanden aufteilen.

  Beide Summanden kannst du nun auf Konvergenz untersuchen.

  Bei einem der beiden Summanden kannst du Rechenregeln der Potenzrechnung anwenden $a^b:a^c=a^{b-c}$.

  Eine Folge der Form $a^n$ konvergiert für $-1<a<1$ und divergiert sonst.

  Lösung

  Die Folge $\frac{3^n+1}{3^{n+1}}$ ist konvergent. Der Grenzwert ist $\frac{1}{3}$.

  $\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{3^n+1}{3^{n+1}}\right)&=\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{3^n}{3^{n+1}}+\frac{1}{3^{n+1}}\right) \\ &=\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3}+\frac{1}{3^{n+1}}\right)\\ &=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{3}+ \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3^{n+1}}\right)\\ &=\frac{1}{3}+0=\frac{1}{3} \end{align*}$

  Die zweite Zeile erhältst du durch das Anwenden des Potenzgesetzes $a^b:a^c=a^{b-c}$. In diesem Fall rechnet man $\frac{3^n}{3^{n+1}}=3^n:3^{n-1}=3^{n-(n-1)}=3^{n-n+1}=3^1=3$.

• Benenne die Grenzwertsätze, die bei der Berechnung des Grenzwertes angewendet werden.

  Tipps

  Die Grenzwertsätze werden auf Folgen angewendet, welche Verknüpfungen von konvergenten Folgen sind.

  Es gibt drei Grenzwertsätze:

  1. $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n±b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n±\lim\limits_{n \to \infty}b_n=a±b$
  2. $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)=\lim\limits_{n \to \infty}a_n \cdot \lim\limits_{n \to \infty}b_n=a \cdot b$
  3. $\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{a_n}{b_n} \right)=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}a_n}{\lim\limits_{n \to \infty}b_n}=\frac{a}{b}$. Hier muss noch gelten, dass sowohl die Folgenglieder $b_n≠0$ als auch der Grenzwert $b≠0$ sind.

  Lösung

  Zur Berechnung des Grenzwertes der Folge

  $\displaystyle{\frac{\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}}$

  musst du die Grenzwertsätze anwenden:

  $\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}\right)&=\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{6+\frac{1}{n}}{1} \right) \\ &=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\left(6+\frac{1}{n} \right)}{\lim\limits_{n \to \infty}1}\\ &=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}6+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}}{\lim\limits_{n \to \infty}1}\\ &=\frac{6+0}{1}=6 \end{align*}$.

  In der ersten Zeile wird der Bruch mit $n$ erweitert. In der zweiten Zeile wird der Grenzwertsatz zur Quotientenfolge (QF) angewendet. In der dritten Zeile im Zähler wird der Grenzwertsatz der Summenfolge (SF) angewendet. Der Grenzwert der Folge ist $6$.

• Entscheide, ob die Folge konvergent ist.

  Tipps

  Erweitere den Bruch mit $\frac{1}{n^2}$. Dadurch erhältst du sowohl im Zähler, als auch im Nenner konvergente Folgen.

  Nun kannst du die Grenzwertsätze anwenden.

  Betrachte das Beispiel der Folge $\frac{2n^2}{3-n^2}$. Diese Folge konvergiert. Berechne einige Folgenglieder und gib den Grenzwert an.

  Lösung

  Die Folge $\displaystyle{\frac{a \cdot n^2+b \cdot n+c}{d \cdot n^2+e \cdot n+f}}$ kann, je nachdem welche Werte $a$ und $d$ annehmen, konvergieren und auch divergieren.

  1. $a=0$ und $d≠0$, dann ist die Folge eine Nullfolge.
  2. $a≠0$ und $d=0$, dann divergiert die Folge.
  3. $a≠0$ und $d≠0$, dann konvergiert die Folge gegen $\frac{a}{d}$.

  Den dritten Fall zeige ich dir hier:

  $\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{a \cdot n^2+b \cdot n+c}{d \cdot n^2+e \cdot n+f}\right)&= \lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{\frac{1}{n^2}(a \cdot n^2+b \cdot n+c)}{\frac{1}{n^2}(d \cdot n^2+e \cdot n+f)}\right) \\ &=\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^2}}{d+\frac{e}{n}+\frac{f}{n^2}}\right)\\ &=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\left( a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^2}\right)}{\lim\limits_{n \to \infty}\left( d+\frac{e}{n}+\frac{f}{n^2}\right)}\\ &=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}a+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{b}{n}+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{c}{n^2}}{\lim\limits_{n \to \infty}d+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{e}{n}+\lim\limits_{n \to \infty}\frac{f}{n^2}}\\ &=\frac{a+0+0}{d+0+0}=\frac{a}{d} \end{align*}$.

  Mit diesem Nachweis kannst du auch erkennen, dass die Folge für $a=0$ eine Nullfolge ist.