Grenzwertsätze für Funktionen – Beispiele (1)

Grenzwertsätze für Funktionen – Beispiele (1) Übung

• Gib den Grenzwert der Funktion an.

  Tipps

  Damit ein Grenzwert existiert, muss der Term $(x-2)$ gekürzt werden. Ist das bei diesem Beispiel möglich?

  Da beide Brüche den gleichen Nenner haben, können sie addiert werden. Ordne den Zähler nach den Exponenten.

  Verwende die 2. binomische Formel $x^2-4x+4=(x-2)^2$.

  Lösung

  Da der Definitonsbereich $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ ist, hat die Funktion eine potentielle Definitionslücke bei $x_0=2$.

  Falls der Term $(x-2)$ gekürzt werden kann, existiert ein Grenzwert. Man spricht dann auch von einer hebbaren Definitionslücke, andernfalls von einer Polstelle.

  Bei dem zu berechnenden Grenzwert $\lim\limits_{x \to 2}\left( \frac{x^2}{x-2} + \frac{4-4x}{x-2}\right)$ kannst du sehen, dass die beiden Brüche den gleichen Nenner besitzen. Du kannst die Brüche addieren. Im Zähler steht dann die 2. binomische Formel:

  $\begin{array}{lll} \lim\limits_{x \to 2}\left( \frac{x^2}{x-2} + \frac{4-4x}{x-2}\right)&= & \lim\limits_{x \to 2}\left( \frac{x^2-4x+4}{x-2}\right)\\ &=& \lim\limits_{x \to 2}\left( \frac{(x-2)^2}{x-2}\right)\\ &=& \lim\limits_{x \to 2}(x-2)=\lim\limits_{x \to 2}x-\lim\limits_{x \to 2}2=2-2=0 \end{array}$

  Also existiert der Grenzwert $A=0$ und die Stelle $x_0=2$ ist eine hebbare Definitionslücke.

• Berechne den Grenzwert der Funktion.

  Tipps

  Um die Grenzwertsätze anwenden zu können, musst du von den behandelten Funktionen, welche multipliziert werden, Grenzwerte kennen.

  Gegebenenfalls musst du die Funktionen umformen.

  Der Grenzwert des Produktes zweier Funktionen ist das Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen.

  Lösung

  Um den Grenzwert $\lim\limits_{x\to \infty}\left( \frac{x}{2-x} \cdot \frac{5x^2}{2+x^2}\right)$ zu berechnen, musst du beide Brüche erweitern. Dies geschieht so, dass bei den Brüche jeweils im Zähler und Nenner eine Funktion steht, die einen Grenzwert besitzt. Der erste Bruch wird mit $\frac1x$ und der zweite mit $\frac1{x^2}$ erweitert.

  Dann kannst du die Grenzwertsätze anwenden.

  $\begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{x}{2-x} \cdot \frac{5x^2}{2+x^2}\right)&=\lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}x}{\frac{1}{x}(2-x)} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}5x^2}{\frac{1}{x^2}(2+x^2)}\right)\\ &=\lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{1}{\frac{2}{x}-1} \cdot \frac{5}{\frac{2}{x^2}+1}\right)\\ &=\lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{1}{\frac{2}{x}-1}\right) \cdot \lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{5}{\frac{2}{x^2}+1}\right)\\ &=\frac{\lim\limits_{x \to \infty}1}{\lim\limits_{x \to \infty}\frac{2}{x}-\lim\limits_{x \to \infty}1}\cdot \frac{\lim\limits_{x \to \infty}5}{\lim\limits_{x \to \infty}\frac{2}{x^2}+\lim\limits_{x \to \infty}1}\\ &=\frac{1}{0-1} \cdot \frac{5}{0+1}=(-1)\cdot 5=-5 \end{align*}$

  In der dritten Zeile wird der Grenzwertsatz zur Produktfunktion, in der vierten der zur Quotientenfunktion und in der fünften die zur Summen- und Differenzfunktion angewendet. Schließlich kann der Grenzwert berechnet werden.

• Berechne den Grenzwert und wende die Grenzwertsätze an.

  Tipps

  Wenn man einen Bruch erweitert, dann multipliziert man im Nenner und im Zähler den gleichen Faktor. Das Kürzen ist das Gegenteil. Im Nenner und im Zähler wird durch die gleiche Zahl dividiert.

  Es werden drei Grenzwertsätze verwendet. Der Grenzwert der Funktion ist negativ.

  Lösung

  Wenn du den Grenzwert $\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{2-x^2}{2x^2+3} \right)$ berechnen möchtest, musst du den Zähler und Nenner erweitern. Somit hast du eine Zählerfunktion und eine Nennerfunktion, welche beide einen Grenzwert besitzen.

  $\begin{align*} \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{2-x^2}{2x^2+3} \right)&=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{\frac2{x^2}-1}{2+\frac3{x^2}} \right)\\ &=\frac{\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac2{x^2}-1\right)}{\lim\limits_{x\to \infty}\left(2+\frac3{x^2}\right)}\\ &=\frac{\lim\limits_{x\to \infty}\frac2{x^2}-\lim\limits_{x\to \infty}1}{\lim\limits_{x\to \infty}2+\lim\limits_{x\to \infty}\frac3{x^2}}\\ &=\frac{0-1}{2+0}=-\frac12 \end{align*}$

  In der zweiten Zeile wird der Grenzwertsatz (QF), in der dritten Zeile im Zähler der Grenzwertsatz (DF) und im Nenner der Grenzwertsatz (SF) angewendet. Der Grenzwertsatz (PF) wird nicht angewendet. Die Grenzwerte sind $\lim\limits_{x\to \infty}\frac2{x^2}=0$ und $\lim\limits_{x\to \infty}\frac3{x^2}=0$.

  De Grenzwert der Funktion $f(x)=\frac{2-x^2}{2x^2+3}$ ist für $x$ gegen $\infty$ also $-\frac12$.

• Untersuche die Funktionen f, g, h und k auf hebbare Definitionslücken.

  Tipps

  Alle potentiellen Definitionslücken in den Beispielen sind einfache Nullstellen des Nenners.

  Setze diese Nullstellen jeweils in den Zähler ein. Was fällt dir auf?

  Kannst du gegebenenfalls den Term $(x-x_0)$, wobei $x_0$ die Definitionslücke ist, kürzen?

  Falls ja, ist die Definitionslücke hebbar.

  Andernfalls handelt es sich um eine Polstelle. Das heißt, es existiert kein endlicher Grenzwert.

  Du kannst bei einer Funktionsgleichung ausklammern. Es gilt:

  $4+12=4\cdot(1+3)$

  Lösung

  Wenn die Nullstelle des Nenners eine einfache ist, kannst du überprüfen, ob sie auch eine Nullstelle des Zählers ist. Ist dies der Fall, so ist die Definitionslücke hebbar. Du kannst sie zum Beispiel durch eine binomische Formel oder Polynomdivision beheben.

  Bei einer hebbaren Definitionslücke kannst du einen Grenzwert berechnen. Bei einer Polstelle geht die Funktion gegen $+\infty$ oder $-\infty$.

  • $f(x)=\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{(x^2+x+1)(x-1)}{x-1}=x^2+x+1$. Also wäre der Grenzwert $\lim\limits_{x \to 1}\left(\frac{x^3-1}{x-1} \right)=\lim\limits_{x \to 1}(x^2+x+1)=1^2+1+1=3$. $x_0=1$ ist also eine hebbare Definitionslücke.

  • $g(x)=\frac{2x+1}{x},~x_0=0$: Der Zähler ist für $x_0=0$ ausgewertet $2\cdot0+1=1 \neq 0$. Diese Definitionslücke ist nicht hebbar.

  • $h(x)=\frac{x^2+4x}{x},~x_0=0$: Du erkennst, dass du hier kürzen kannst. Es gilt also $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2+4x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\cdot(x+4)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}(x+4)=0+4=4$. $x_0=0$ ist also eine hebbare Definitionslücke.

  • $k(x)=x+1+\frac2{x-2}, ~x_0=2$: Du kannst hier den Grenzwert $\lim\limits_{x\to 2}(x+1)=3$ berechnen, allerdings besitzt der Term $\frac2{x-2}$ keinen endlichen Grenzwert. Diese Definitionslücke ist nicht hebbar.

• Benenne die Grenzwertsätze für Funktionen.

  Tipps

  Die Grenzwertsätze behandeln die vier Grundrechenarten. Zum Beispiel ist der Grenzwert der Summe zweier Funktionen die Summe der Grenzwerte der Funktionen.

  Lösung

  In den Grenzwertsätze für Funktionen wird vorausgesetzt, dass die betrachteten Funktionen, welche addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden, Grenzwerte besitzen. Zusätzlich muss bei der Division gelten, dass sowohl der Grenzwert als auch die Funktionswerte der Nennerfunktion ungleich 0 sind.

  $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=A$ und $\lim\limits_{x\to \infty}g(x)=B$

  Die Grenzwertsätze gelten auch für die Grenzwerte $\lim\limits_{x\to -\infty}$ sowie $\lim\limits_{x\to x_0}$, wobei $x_0$ eine Definitionslücke ist.

  Die Grenzwertsätze lauten:

  $\begin{align*} \lim\limits_{x \to \infty}(f(x)+g(x))&=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)+\lim\limits_{x \to \infty}g(x)=A+B\\ \lim\limits_{x \to \infty}(f(x)-g(x))&=\lim\limits_{x \to \infty}f(x)-\lim\limits_{x \to \infty}g(x)=A-B \\ \lim\limits_{x \to \infty}(f(x) \cdot g(x))&=\lim\limits_{x \to \infty}f(x) \cdot \lim\limits_{x \to \infty}g(x)=A \cdot B\\ \lim\limits_{x \to \infty}\left( \frac{f(x)}{g(x)}\right)&=\frac{\lim\limits_{x \to \infty}f(x)}{\lim\limits_{x \to \infty}g(x)}=\frac{A}{B} \end{align*}$

• Berechne den Grenzwert der Funktion.

  Tipps

  Du wendest zunächst die Grenzwertsätze für Summen- und Differenzfunktionen an.

  Kannst du jeden der vier Grenzwerte anwenden?

  Zur Berechnung des Grenzwertes $\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x-1}{x^2+1} \right)$ musst du den Bruch erweitern.

  Lösung

  Unter Verwendung der Grenzwertsätze für Summen oder Differenzen von Funktionen, kann der Grenzwert bereits so weit berechnet werden:

  $\begin{array}{lll} \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac2x-3+\frac{x-1}{x^2+1} \right) &=& \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac2x\right) -\lim\limits_{x\to \infty}3+\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x-1}{x^2+1} \right)\\ \\ &=& 0-3+\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x-1}{x^2+1} \right) \end{array}$

  Nun muss noch der Grenzwert von $\left(\frac{x-1}{x^2+1} \right)$ berechnet werden. Hierfür wird der Bruch mit $\frac1{x^2}$ erweitert. Dann stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner Funktionen, deren Grenzwerte berechnet werden können. Verwendet werden dabei die Grenzwertsätze für Quotienten von Funktionen sowie noch einmal die Grenzwertsätze für Summen und Differenzen von Funktionen.

  $\begin{array}{lll} \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x-1}{x^2+1} \right) &=& \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{\frac1x-\frac1{x^2}}{1+\frac1{x^2}} \right)\\ \\ &=& \frac{\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac1x-\frac1{x^2}\right)}{\lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\frac1{x^2}\right)}\\ \\ &=& \frac{\lim\limits_{x\to \infty}\frac1x-\lim\limits_{x\to \infty}\frac1{x^2}}{\lim\limits_{x\to \infty}1+\lim\limits_{x\to \infty}\frac1{x^2}}\\ \\ &=& \frac{0-0}{1+0}=0 \end{array}$

  Insgesamt gilt also: $\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac2x-3+\frac{x-1}{x^2+1} \right)=0-3+0=-3$.