Halbwertszeit – C-14-Methode (Radiokarbonmethode)

Halbwertszeit – C-14-Methode (Radiokarbonmethode) Übung

• Bestimme die Modellierungsfunktion für den $^{14}C$-Bestand.

  Tipps

  Die Halbwertzeit bedeutet, dass nach dieser Zeit der Bestand halbiert ist.

  Die Unbekannte Größe $k$ steht im Exponenten. Zu lösen ist also eine Exponentialgleichung. Das heißt, dass in der Rechnung der natürliche Logarithmus angewendet werden muss.

  Lösung

  Es soll eine Funktionsgleichung der Form

  $f(t)=a\cdot e^{kt}$

  aufgestellt werden. Da die Halbwertzeit $T_{1/2}=5730$ Jahre bekannt ist, erhält man

  $0,5\cdot a=f(5730)=a\cdot e^{k\cdot 5730}$.

  Indem man durch $a$ dividiert, gelangt man zu

  $0,5=e^{k\cdot 5730}$.

  Nun wird auf beiden Seiten logarithmiert zu

  $\ln(0,5)=\ln(e^{k\cdot 5730})=k\cdot 5730$.

  Zuletzt wird durch $5730$ dividiert. Damit erhält man

  $k=\frac{\ln(0,5)}{5730}\approx-0,000121$.

  Somit lautet die Funktion

  $f(t)=a\cdot e^{-0,000121t}$, $t$ in Jahren.

  Da $a$ der Anteil zu Beginn der Beobachtung ist, kann man also

  $f(t)=100\% \cdot e^{-0,000121t}$

  als Modellierung angeben.

• Berechne das Alter der Höhlenmalerei.

  Tipps

  Die Funktion lautet $f(t)=100\% \cdot e^{-0,000121t}$.

  Das bedeutet, dass der Bestand zum Zeitpunkt $t>0$ weniger als $100\%$ beträgt, da $-0,000121<0$ ist.

  Gesucht ist der Zeitpunkt $T$ mit $f(T)=2,35\%$.

  Es gilt $\ln(1)=0$ und $\ln(b)<0$, wenn $0<b<1$ ist.

  Lösung

  In einer Grotte in Südfrankreich entdecken Höhlenforscher eine Höhlenmalerei, welche mit organischen Stoffen angefertigt wurde.

  Der Anteil der $^{14} C$ Atome beträgt noch $2,35\%$.

  Gesucht ist also der Zeitpunkt $T$, zu dem $f(T)=2,35\%$ gilt.

  Dies führt zu der Gleichung

  $\begin{align*} 100\% \cdot e^{-0,000121\cdot T}&=2,35\%&|&:100\%\\ e^{-0,000121\cdot T}&=0,0235&|&\ln(~)\\ -0,000121\cdot T&=\ln(0,0235)&|&:0,000121\\ T&\approx 309998. \end{align*}$

  Das bedeutet, dass die Höhlenmalerei ungefähr $31000$ Jahre alt ist.

• Prüfe, wie groß der $^{14}C$ Anteil des Grabtuches ist.

  Tipps

  Die oben angegebene Funktion gibt den $^{14}C$ Anteil nach $t$ Jahren an.

  Setze den korrekten Zeitpunkt in die Funktionsgleichung $f(t)$ ein.

  Lösung

  Das Leichentuch Christi sollte sicher $1988$ älter als $728$ Jahre alt sein. Das heißt, dass bei einem messbaren Bestand des $^{14}C$ Atoms des Tuches das Alter nach der Radiokarbonmethode berechnet werden konnte. Aber wie hoch ist der Anteil nun?

  Das Alter ist mit $728$ bekannt, das bedeutet, dass dieses in der obigen Gleichung eingesetzt werden muss:

  $f(728)=100\%\cdot e^{-0,000121\cdot 728}\approx 91,6\%$.

• Berechne das Alter des Buches von Jesaja.

  Tipps

  In dieser Aufgabe ist der prozentuale Anteil bekannt und die Zeit gesucht.

  Die Modellierungsfunktion lautet $ f(t) = 100\% \cdot e ^ {-0,000121}$.

  Die Unbekannte $t$ für die Zeit steht im Exponenten. Eine solche Gleichung wird durch Logarithmieren gelöst.

  Das Buch ist jünger als Jesaja.

  Lösung

  Jesaja, einer der großen Propheten des Alten Testaments, hat im 8. Jahrhundert v. Chr. gelebt.

  Am historischen Exemplar des "Buches von Jesaja" hat man noch einen $^{14} C$-Anteil von $78,4\%$ gemessen.

  Gesucht ist also der Zeitpunkt $T$, zu dem $f(T)=78,4\%$ gilt.

  Dies führt zu der Gleichung

  $\begin{align*} 100\% \cdot e^{-0,000121T}&=78,4\%&|&:100\%\\ e^{-0,000121T}&=0,784&|&\ln(~)\\ -0,000121T&=\ln(0,784)&|&:0,000121\\ T&\approx 2011. \end{align*}$

  Das bedeutet, dass das Buch ungefähr $2011$ Jahre alt ist. Es wird wohl doch nicht von Jesaja sein.

• Ergänze die Erklärung zur Radiokarbonmethode.

  Tipps

  Unter dem Einfluss von kosmischer Strahlung wird $^{14}N$ zu $^{14}C$ umgebaut, welches mit Sauerstoff eine Verbindung zu Kohlendioxid $CO_2$ eingeht. Dieses wird von Tieren oder Pflanzen aufgenommen und nach deren Tod abgebaut.

  Wenn man weiß, wie schnell $^{14}C$ zerfällt, kann man damit berechnen, wie lange ein Tier bereits tot ist.

  Lösung

  Wofür benötigt man die Radiokarbonmethode?

  Mithilfe der Radiokarbonmethode kann das Alter abgestorbener organischer Stoffe bestimmt werden.

  Wie macht man das?

  Unter dem Einfluss von kosmischer Strahlung wird $^{14}N$ zu $^{14}C$ umgebaut, welches mit Sauerstoff eine Verbindung zu Kohlendioxid $CO_2$ eingeht. Dieses wird von Tieren oder Pflanzen aufgenommen.

  Wenn ein Lebewesen stirbt, dann nimmt der Gehalt an $CO_2$ ab. Dabei zerfällt $^{14}C$ radioaktiv mit einer Halbwertzeit von $T_{1/2}=5730$ Jahren.

  Um das Alter einer Probe herauszufinden, benötigt man nur noch den Anteil der $^{14}C$-Atome.

  Mit einer geeigneten Modellierung kann das Alter des Stoffes bestimmt werden.

• Ermittle das maximale Alter eines Stoffes, damit die Radioklarbonmethode noch anwendbar ist.

  Tipps

  Gesucht ist das $T$, für welches

  $f(T)=0,1\%$ gilt.

  Ab diesem $T$ ist der Bestand kleiner als $0,1\%$, da ein Zerfallsprozess vorliegt.

  Lösung

  Gesucht ist das $T$, für welches

  $f(T)=0,1\%$ gilt. Ab diesem $T$ ist der Bestand kleiner als $0,1\%$, da ein Zerfallsprozess vorliegt.

  $\begin{align*} 100\% \cdot e^{-0,000121T}&=0,1\%&|&:100\%\\ e^{-0,000121T}&=0,001&|&\ln(~)\\ -0,000121T&=\ln(0,001)&|&:0,000121\\ T&\approx 57089. \end{align*}$

  Das bedeutet, dass nach ungefähr $57100$ Jahren der Bestand, ab welchem die Methode nicht mehr anwendbar ist, unterschritten ist. Anders ausgedrückt: Es können nur Stoffe untersucht werden, die maximal $57100$ Jahre alt sind. Dies entspricht ungefähr $10$ Halbwertzeiten.