Kommutativgesetz und Vertauschungsgesetz

Kommutativgesetz und Vertauschungsgesetz Übung

• Vervollständige den Text zum Kommutativgesetz.

  Tipps

  Die Zahlen, die man multipliziert, heißen Faktoren.

  Die Zahlen, die man addiert, heißen Summanden.

  Betrachte diese beiden Additionsaufgaben:

  $1+5=6$ und $5+1=6$.

  Betrachte diese beiden Subtraktionsaufgaben:

  $12-4=8$ aber $4-12=-8$.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz oder auch Vertauschungsgesetz besagt, dass man in manchen Rechenarten die Reihenfolge der Zahlen vertauschen darf. Das gilt zum Beispiel für die Addition und die Multiplikation:

  $1+5=6=5+1$

  $3\cdot 4 =12 =4\cdot 3$

  Für die Subtraktion und Division gilt das Kommutativgesetz jedoch nicht:

  $9-4=5\quad\neq\quad4-9={-5}$

  $12:6=2\quad\neq\quad6:12=\frac{1}{2}$

• Ergänze die Gleichungen so, dass das Kommutativgesetz richtig angewendet wird.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt.

  $11+7=18$

  Vergleiche diese Rechnung mit dem Ergebnis von $7+11$.

  $15 \cdot 4 \cdot 6 = 360 = 6 \cdot 4 \cdot 15$

  Lösung

  Bei der Addition können Summanden und bei der Multiplikation Faktoren beliebig vertauscht werden.

  Beispiele:

  $3+4=4+3$
  $2\cdot3=3\cdot2$

  Das Kommutativgesetz gilt auch bei mehr als zwei Summanden bei der Addition und mehr als zwei Faktoren bei der Multiplikation. Die Anordnung der Summanden bzw. Faktoren ist dabei beliebig.

  Beispiele:

  $3+8+4=8+4+3$
  $2\cdot3\cdot9=3\cdot9\cdot2$

• Bilde Paare von Termen mit gleichem Ergebnis.

  Tipps

  Beachte, dass das Kommutativgesetz nicht für die Subtraktion und Division gilt.

  Die Anzahl der Fenster sind bei dem lila und bei dem orangenen Haus gleich.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz gilt für Addition und Multiplikation:

  $4+19+11=34=11+19+4$

  $4\cdot 19 =76 =19 \cdot 4$

  $2\cdot 14\cdot 5=140 = 5\cdot 2\cdot 14$

  Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion und Division.
  Das bedeutet, dass man bei den Termen $15-9$ und $19:4$ die Reihenfolge der Zahlen nicht einfach vertauschen darf.

• Wende das Kommutativgesetz an.

  Tipps

  Rechne die Terme einfach aus, um diejenigen mit gleichem Ergebnis zu bestimmen.

  Beachte: Punktrechnung vor Strichrechnung. In Termen wird also erst multipliziert, dann addiert.

  $1\cdot2+3=3+2\cdot1\neq3\cdot1+2$

  Lösung

  Das Kommutativgesetz gilt auch, wenn sowohl Addition als auch Multiplikation zusammen in einem Term angewendet werden.
  Manchmal muss man die Multiplikationen auch ausführen, um die Terme mit gleichem Ergebnis zu erkennen.
  Dabei ist jedoch zu beachten, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt, Multiplikationen also vor Additionen ausgerechnet werden.

  Damit gilt:

  $4 \cdot 13 \cdot 1 +3=4 \cdot 13 +3=52+3=55$

  Der zweite Term entspricht schon diesem hier: $4\cdot13+3$

  Der dritte Term kann umgeformt werden zu: $3+ 52$

  Und dieser Term kann dann umgeformt werden zu: $3+13\cdot4$

  Damit ergibt sich: $4 \cdot 13 \cdot 1+3=4\cdot13+3=3+13\cdot4=3+ 52 =55$

  Die anderen Zuordnungen gelingen analog.

• Bestimme, in welcher der folgenden Situationen die Reihenfolge der Handlung nicht wichtig ist.

  Tipps

  Beim Lesen eines Buches ist die Reihenfolge wichtig: Um die Geschichte eines Buches zu verstehen, muss man die Seiten, die Sätze und Wörter in der richtigen Reihenfolge lesen.

  Wenn du Wäsche zum Trocknen aufhängst, ist es manchmal ganz schön, dabei eine Reihenfolge einzuhalten: Gleiche Socken hängt man am besten nebeneinander auf.

  Aber auch wenn du die Wäsche ganz ungeordnet aufhängst: Trocken wird sie trotzdem.

  Häufig steht in Rezepten, dass man erst die Zwiebeln andünsten soll, bevor man andere Zutaten in die Pfanne tut.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz oder auch Vertauschungsgesetz besagt, dass man in manchen Rechenarten die Reihenfolge der Zahlen vertauschen darf. Das gilt zum Beispiel für die Addition und die Multiplikation:

  $1+5=6=5+1$

  $3\cdot 4 =12 =4\cdot 3$

  Es ist auch auf verschiedene Alltagssituationen übertragbar.

  Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge man Birnen in den Einkaufswagen legt – erst zwei und dann drei Birnen oder erst drei und dann zwei Birnen. Am Ende hat man trotzdem insgesamt fünf Birnen im Einkaufswagen.

  Auch wenn du Wäsche zum Trocknen aufhängst, ist es egal, welche Wäschestücke nebeneinander hängen: Trocken wird die Wäsche immer.

  Für manche Rechenarten wie Subtraktion und Division gilt das Kommutativgesetz jedoch nicht:

  $9-4=5\quad\neq\quad4-9={-5}$

  $12:6=2\quad\neq\quad6:12=\frac{1}{2}$

  Genauso gibt es auch Alltagssituationen, in denen man die Reihenfolge der einzelnen Handlungsschritte genau beachten muss:

  Das gilt bspw. beim Kochen, beim Lesen und Schreiben und beim Aufbau von Möbeln.

• Ergänze die Gleichung so, dass sich das Ergebnis nicht verändert.

  Tipps

  Eine Subtraktion kannst du auch als Addition negativer Zahlen darstellen.

  Für die Addition gilt das Kommutativgesetz.

  Manchmal musst du negative Zahlen, manchmal aber auch nur Vorzeichen oder Rechenzeichen eintragen.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz gilt, wie wir bereits wissen, nicht für die Subtraktion.

  Aber man kann die Subtraktion als Addition mit negativen Zahlen darstellen.

  In diesem Fall kannst du das Kommutativgesetz wie gewohnt anwenden:

  $5-6= 5+(-6) =-6+5$

  Auch wenn mehrere Subtraktionen vorkommen, kannst du jede davon in eine Addition negativer Zahlen umwandeln und die Reihenfolge beliebig vertauschen:

  $-35+5-13=-35+5+(-13)= 5+(-13)+(-35)=-13+5+(-35)$