Kreisgleichungen in der Ebene

Kreisgleichungen in der Ebene Übung

• Stelle die Koordinatengleichung des Kreises auf.

  Tipps

  Berechne zunächst die Länge des Verbindungsvektors eines beliebigen Randpunktes $P(x|y)$ zum Mittelpunkt.

  Hier siehst du die Vektorgleichung des Kreises

  $k:~\begin{pmatrix} x-2 \\ y-1 \end{pmatrix}^2=2^2$

  Hier kannst du sehen, wie du das Quadrat eines Vektors berechnest.

  Verwende die 2. binomische Formel.

  Lösung

  Die Vektorgleichung des Kreises lautet

  $k:~\begin{pmatrix} x-2 \\ y-1 \end{pmatrix}^2=2^2$

  Wenn man auf der rechten Seite das Skalarprodukt des Verbindungsvektors mit sich selbst berechnet, erhält man

  $k:~(x-2)^2+(y-1)^2=4$.

  Mit Hilfe der 2. binomischen Formel kann wie folgt ausmultipliziert werden:

  $k:~x^2-4x+4+y^2-2y+1=4$.

  Subtraktion von $4$ auf beiden Seiten führt zu

  $k:~x^2-4x+y^2-2y+1=0$.

• Gib den Mittelpunkt und den Radius des Kreises an.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel für eine quadratische Ergänzung:

  $x^2+6x=x^2+6x+3^1-3^2$.

  • Der Faktor vor dem $x$ wird halbiert.
  • Die Hälfte des Faktors wird quadriert. Dann wird das Quadrat einmal addiert und wieder subtrahiert.

  Verwende die 1. und 2. binomische Formel.

  Die Koordinatengleichung eines Kreises ist gegeben durch

  $k:~(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$.

  Sei die Koordinatengleichung

  $k:~(x+1)^2+(y-3)^2=9$,

  dann ist

  • $M(-1|3)$ der Mittelpunkt und
  • $r=\sqrt 9=3$ der Radius des Kreises.

  Lösung

  Um den Mittelpunkt und Radius des Kreises zu bestimmen, musst du zunächst die Koordinatengleichung des Kreises aufstellen. Dazu gehst du so vor.

  Halbiere den Faktor vor den Variablen $x$ ($y$). Dann wird das Quadrat des halbierten Faktors addiert und wieder subtrahiert. Dies ist sicher noch von der quadratischen Ergänzung bekannt. Dann ist $x^2-2x=x^2-2x+1-1$ und $y^2+4y=y^2+4y+4-4$. Diese Terme werden in der Koordinatengleichung eingesetzt $k:~x^2-2x+1-1+y^2+4y+4-4+4=0$. Mit $x^2-2x+1=(x-1)^2$ und $y^2+4y+4=(y+2)^2$ erhält man dann $k:~(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+4=0$. Zuletzt können die Konstanten auf der linken Seite zusammengefasst werden zu $-1$. Addition von $1$ führt zu der Kreisgleichung

  $k:~(x-1)^2+(y+2)^2=1$.

  Nun können sowohl der Mittelpunkt $M(1|-2)$ also auch der Radius $r=\sqrt 1=1 $ abgelesen werden.

• Bestimme zu dem Mittelpunkt und Radius die zugehörige Vektor- und Koordinatengleichung.

  Tipps

  Beachte das Vorzeichen in der Vektorgleichung:

  $k:~\begin{pmatrix} x-m_1 \\ y-m_2 \end{pmatrix}^2=r^2$

  Der Radius wird quadriert.

  Durch Ausmultiplizieren der linken Seite der Vektorgleichung erhältst du die Koordinatengleichung eines Kreises.

  Lösung

  Die Kreisgleichung beschreibt alle Punkte, welche auf dem Rand eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ liegen. Das bedeutet, dass der Abstand jedes dieser Punkte zu dem Mittelpunkt gleich dem Radius sein muss. Dies ist aufgrund der Tatsache, dass sowohl der Abstand als auch der Radius positiv sind, äquivalent dazu, dass der quadrierte Abstand gleich dem quadrierten Radius ist.

  $k:~\begin{pmatrix} x-3 \\ y+2 \end{pmatrix}^2=4^2=16$

  Dies ist die sogenannte Vektorgleichung eines Kreises.

  Nun wird die linke Seite ausmultipliziert zu der Koordinatengleichung:

  $k:~(x-3)^2+(y+2)^2=16$.

  Mit Hilfe der 1. und 2. binomischen Formel kann noch weiter umgeformt werden

  $k:~x^2-6x+9+y^2+4y+4=16$.

  Zuletzt wird auf beiden Seiten $13$ subtrahiert zu

  $k:~x^2-6x+y^2+4y=3$.

• Ermittle den Mittelpunkt und den Radius des Kreises.

  Tipps

  Die x-Koordinate des Mittelpunktes ist die Hälfte des Koeffizienten von $x$ mit umgekehrtem Vorzeichen.

  Ebenso kannst du die y-Koordinate des Mittelpunktes bestimmen.

  Um $r$ zu erhalten, musst du quadratisch ergänzen.

  Hier siehst du ein Beispiel für eine quadratische Ergänzung:

  $x^2-8x=x^2-8x+(-4)^2-(-4)^2$.

  • Der Faktor vor dem $x$ wird halbiert.
  • Die Hälfte des Faktors wird quadriert. Dann wird das Quadrat einmal addiert und wieder subtrahiert.

  Lösung

  Zunächst wird $x^2-12x$ quadratisch ergänzt:

  1. Der Faktor vor der Variablen $x$ wird halbiert.
  2. Dann wird das Quadrat des halbierten Faktors addiert und wieder subtrahiert.

  $x^2-12x=x^2-12x+(-6)^2-(-6)^2=x^2-12x+36-36=(x-6)^2-36$

  Zusätzlich ist $y^2=(y-0)^2$.

  Nun werden diese Terme in der Koordinatengleichung eingesetzt

  $k:~(x-6)^2-36+(y-0)^2=-11$.

  Addition von $36$ führt zu

  $k:~(x-6)^2+(y-0)^2=25=5^2$.

  Nun können sowohl $M$ als auch $r$ abgelesen werden:

  • $M(6|0)$ und
  • $r=5$

• Beschreibe, was eine Kreisgleichung ist.

  Tipps

  Durch

  $\begin{pmatrix} x-m_1 \\ y-m_2 \end{pmatrix}$

  ist der Verbindungsvektor des Mittelpunktes $M(m_1|m_2)$ sowie eines Punktes $P(x|y)$ gegeben.

  Wenn du einen Vektor skalar mit sich selbst multiplizierst, erhältst du die quadrierte Länge des Vektors:

  $\vec a\cdot \vec a=|\vec a|^2$.

  Der Abstand zweier Punkte ist die Länge des Verbindungsvektors dieser beiden Punkte.

  Lösung

  Die Kreisgleichung beschreibt alle Punkte des Kreisrandes. Ein Punkt liegt auf dem Rand eines Kreises, wenn der Abstand dieses Punktes zu dem Mittelpunkt gleich dem Radius ist.

  Der Abstand des Punktes zu dem Mittelpunkt ist die Länge des Verbindungsvektors:

  $\left|\begin{pmatrix} x-m_1 \\ y-m_2 \end{pmatrix}\right|$

  Dieser Abstand muss gleich dem Radius sein. Dies führt zu der Gleichung

  $\left|\begin{pmatrix} x-m_1 \\ y-m_2 \end{pmatrix}\right|=r$

  Um die Wurzel bei der Berechnung der Länge zu vermeiden, werden beide (positive) Seiten quadriert:

  $k:~\begin{pmatrix} x-m_1 \\ y-m_2 \end{pmatrix}^2=r^2$

  Dies ist die sogenannte Vektorgleichung eines Kreises.

  Durch Ausmultiplizieren der linken Seite erhält man die Koordinatengleichung eines Kreises:

  $k~(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$.

• Prüfe, welche der Gleichungen eine Kreisgleichung ist.

  Tipps

  Die quadratische Ergänzung von $x^2+4x$ führt zu

  • $x^2+4x=x^2+4x+\left(\frac 42\right)^2-\left(\frac 42\right)^2$
  • $x^2+4x=\left(x+2\right)^2-4$

  Ebenso kannst du $y^2+6y$ quadratisch ergänzen zu

  $y^2+6y=\left(y+3\right)^2-9$.

  Damit kannst du die Gleichung $x^2+4x+y^2+9y=c$ wie folgt umformen:

  $\left(x+2\right)^2-4+\left(y+3\right)^2-9=c$.

  Addiere $13$ auf beiden Seiten:

  $\left(x+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=c+13$.

  Die rechte Seite muss positiv sein.

  Für $c>0$ liegt auf jedem Fall eine Kreisgleichung vor.

  Lösung

  Wenn man ganz allgemein durch (zwei!) quadratische Ergänzungen die obige Gleichung umformt, erhält man

  1. $x^2+4x=\left(x+\frac 42\right)^2-\left(\frac 42\right)^2$ und ebenso $y^2+6y=\left(y+\frac 62\right)^2-\left(\frac 62\right)^2$ also
  2. $x^2+4x+y^2+6y=\left(x+2\right)^2-2^2+\left(y+3\right)^2-3^2=c$
  3. Addition von $4+9$ führt zu

  $\left(x+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=c+4+9=c+13$

  Die rechte Seite muss positiv sein.

  Nun können wir uns die Beispiele anschauen:

  $x^2+4x+y^2+6y=12$.

  • Wenn man zur rechten Seite $13$ addiert, erhält man $12+13=25$.
  • Zum einen liegt also eine Kreisgleichung vor und zum anderen ist bereits $r=5$ bekannt.

  $x^2+4x+y^2+6y=-4$

  Auch hier kann zu der rechten Seite $13$ addiert werden und man kommt zu $-4+13=9$. Damit ist auch dies eine Kreisgleichung mit dem Radius $r=3$.

  $x^2+4x+y^2+6y=-14$

  Hier ist die rechte Seite im Betrag größer als $13$. Damit steht auf der rechten Seite $-14+13=-1$. Dies kann keine Kreisgleichung sein.

  $x^2+4x+y^2+6y=9$

  Hier steht nach Addition von $13$ auf der rechten Seite $9+13=22$. Der Radius ist dann $r=\sqrt{22}$.

  Übrigens: Sofern eine Kreisgleichung vorliegt, ist der Mittelpunkt jeweils $M(-2|-3)$.