Lineare Abbildungen durch Matrizen – Abbildungen im Raum

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Abbildungen im Raum Übung

• Ermittle die Matrix $a$, welche die Spiegelung an der x-z-Ebene beschreibt.

  Tipps

  Wenn du eine Matrix mit einem Vektor multiplizierst, multiplizierst du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor.

  Schaue dir hierfür das nebenstehende Beispiel an. Exemplarisch kannst du in der ersten Koordinate die Berechnung sehen. In der zweiten und dritten ist jeweils das Ergebnis angegeben.

  Schaue dir ein weiteres Beispiel für einen gespiegelten Punkt an.

  Noch nicht ganz klar, wie das mit der Multiplikation von Matrizen und Vektoren funktioniert? Dann schau mal hier:

  $\begin{pmatrix} 1&0&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}$

  Du erhältst:

  $\begin{pmatrix} 1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \end{pmatrix}$

  Lösung

  Um an der x-z-Ebene zu spiegeln, muss nur das Vorzeichen in der y-Koordinate vertauscht werden:

  $\vec x=\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}~\rightarrow~\vec{x'}=\begin{pmatrix} x \\ -y\\ z \end{pmatrix}$

  Die erste und dritte Koordinate bleiben dabei gleich. Wir kennen die erste und dritte Zeile von $A$ also bereits:

  $A=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ & \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

  Nun fehlt nur noch die mittlere Zeile von $A$. Da bei der y-Koordinate das Vorzeichen vertauscht wird, muss dies auch in der mittleren Zeile so sein. Damit ist die Matrix $A$ wie folgt gegeben

  $A=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

• Gib die Matrix $A$ an, welche die Projektion auf die x-y-Ebene beschreibt.

  Tipps

  Berechne jeweils das Produkt der Matrix mit dem Vektor $\vec x$ und prüfe, ob bei dem Ergebnisvektor die beiden ersten Koordinaten die gleichen wie bei $\vec x$ sind und die dritte $0$ ist.

  Diese Matrix beschreibt die Projektion auf die x-z-Ebene.

  Da die x- sowie y-Koordinate gleich bleiben, müssen die entsprechenden Zeilen der Matrix aus Nullen bestehen bis auf die der Koordinate entsprechende Stelle. Dort muss eine $1$ stehen.

  Lösung

  Die Projektion auf die x-y-Ebene ist allgemein gegeben durch

  $\vec x=\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}~\rightarrow~\vec{x'}=\begin{pmatrix} x \\ y\\ 0 \end{pmatrix}$.

  Die erste und zweite Koordinate bleiben gleich

  $A=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ && \end{pmatrix}$

  und die dritte Koordinate wird $0$. Das bedeutet, dass die letzte Zeile der Matrix $A$ eine Nullzeile ist:

  $A=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}$

  Machen wir den Test:

  $\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot x + 0\cdot y + 0 \cdot z\\ 0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z\\ 0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\\ 0 \end{pmatrix}$

  Perfekt! Alles richtig gemacht.

• Bestimme die Matrix, welche die Projektion auf die y-z-Ebene beschreibt.

  Tipps

  Diese Matrix beschreibt eine Projektion auf die x-z-Ebene.

  Die zweite Zeile, durch welche du die y-Koordinate des Bildpunktes erhältst, ist eine Nullzeile.

  Da die y- sowie z-Koordinaten erhalten bleiben, muss an der dieser Koordinate entsprechenden Stelle eine $1$ stehen.

  In der gesuchten Matrix stehen bis auf zwei Stellen überall nur Nullen.

  Lösung

  Die Projektion auf die y-z-Ebene ist gegeben durch

  $\vec x=\begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}~\rightarrow~\vec{x'}=\begin{pmatrix} 0 \\ y\\ z\end{pmatrix}$.

  Da die x-Koordinate des Bildpunktes $0$ ist, muss die erste Zeile der Matrix $A$ eine Nullzeile sein. Die beiden übrigen Zeilen enthalten jeweils an der dieser Koordinate entsprechenden Stelle eine $1$. Damit ist die Matrix $A$ gegeben durch

  $A=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

• Untersuche, welche Abbildung durch das Multiplizieren zweier Matrizen beschrieben wird.

  Tipps

  Multipliziere die Matrix $A$ mit einem allgemeinen Vektor

  $\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$.

  Was fällt dir auf?

  Bei $B$ bleiben durch Multiplikation die y- sowie z-Koordinate erhalten. Bei der x-Koordinate wird das Vorzeichen vertauscht.

  Bei der Multiplikation mit $C$ bleibt die y-Koordinate erhalten. Bei der x- sowie z-Koordinate wird jeweils das Vorzeichen vertauscht.

  Lösung

  Welche lineare Abbildung wird durch die Matrix $A$ dargestellt?

  $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}$

  Hier liegt also eine Spiegelung an der x-y-Ebene vor.

  Welche lineare Abbildung wird durch die Matrix $B$ dargestellt?

  $\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\y\\z\end{pmatrix}$

  Hier liegt eine Spiegelung an der y-z-Ebene vor.

  Welche lineare Abbildung wird durch die Matrix $C$ dargestellt?

  Wenn man die beiden Matrizen miteinander multipliziert, erhält man die Matrix $C$. Somit beschreibt diese Matrix eine Spiegelung sowohl an der x-y- als auch an der y-z-Ebene.

  $\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\y\\-z\end{pmatrix}$

• Ergänze die Erklärung zu linearen Abbildungen.

  Tipps

  Sei $B(2|2|3)$ ein Punkt im $\mathbb{R}^3$, dann ist

  $\vec b=\vec{OB}=\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$

  der zugehörige Ortsvektor.

  Die Spiegelung an der x-z-Ebene ist eine lineare Abbildung.

  Die zugehörige Matrix kannst du hier sehen.

  Lösung

  Was ist eine lineare Abbildung und wie hängt diese mit Matrizen zusammen?

  Eine Zuordnung

  $f:~\mathbb{R}^n~\rightarrow~\mathbb{R}^m;~(n,~m~\in\mathbb{N})$

  heißt lineare Abbildung, wenn sie jedem Punkt $P\in\mathbb{R}^n$ einen (Bild-)Punkt $P'\in\mathbb{R}^m$ zuordnet und eine $(m\times n)$-Matrix existiert, so dass $\vec{x'}=A\cdot \vec x$ gilt.

  Dabei ist $\vec x$ der Ortsvektor von $P$ und $\vec {x'}$ der Ortsvektor von $P'$.

• Ermittle die Matrix, welche die beschriebene lineare Abbildung darstellt.

  Tipps

  Beachte, dass die Korrdinaten auch vertauscht werden.

  Die y-Koordinate des Bildpunktes ist $0$. Das bedeutet, dass die zugehörige Zeile der Matrix eine Nullzeile sein muss.

  Prüfe deine Matrix, indem du diese mit dem Vektor

  $\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

  multiplizierst.

  Lösung

  • Da die y-Koordinate des Bildpunktes $0$ ist, ist die zweite Zeile der Matrix $A$ eine Nullzeile.
  • Die x-Koordinate des Bildpunktes ist $-2y$. Die erste Zeile der Matrix lautet also $0~~-2~~0$.
  • Die z-Koordinate des Bildpunktes ist $3x$. Damit lautet die dritte Zeile der Matrix $A$ $3~~0~~0$.

  Gesamt ist die Matrix $A$ gegeben durch

  $A=\begin{pmatrix} 0&-2&0 \\ 0&0&0 \\ 3&0&0 \end{pmatrix}$

  Dies kann durch Multiplikation mit $\vec x$ noch überprüft werden:

  $\begin{pmatrix} 0&-2&0 \\ 0&0&0 \\ 3&0&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y\\0\\3x\end{pmatrix}$ $~~~~\surd$.