Orthogonale Affinität

Orthogonale Affinität Übung

• Gib die $(2 \times 2)$-Matrix an, die zu der orthogonalen Affinität gehört.

  Tipps

  Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer orthogonalen Affinität.

  Durch diese Matrix wird eine Spiegelung an der x-Achse beschrieben. Auch dies ist eine orthogonale Affinität zur x-Achse.

  Berechne das Produkt der Matrix mit dem Vektor. Du musst dann

  • $x'=x$ und
  • $y'=k\cdot y$

  erhalten.

  Lösung

  Sei $P(x|y)$ ein beliebiger Punkt und $P'(x'|y')=P'(x|k\cdot y)$ dessen Bildpunkt. Dann kann dieser wie folgt als Produkt einer Matrix mit einem Vektor aufgeschrieben werden:

  $\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ k\cdot y \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 1\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+k\cdot y \end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& k \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$

  Das bedeutet, dass die Matrix

  $A=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& k \end{pmatrix}$

  die orthogonale Affinität zur x-Achse beschreibt.

• Beschreibe die Bedeutung des Affinitätsfaktors $k$.

  Tipps

  Mache dir jede der Abbildungen an einem Beispiel klar.

  Verwende hierfür zum Beispiel drei Punkte, die ein Dreieck bilden.

  Bei der orthogonalen Affinität zur x-Achse bleibt die $x$-Koordinate erhalten. Die $y$-Koordinate wird mit dem Faktor $k$ multipliziert: $y'=k \cdot y$.

  Durch diese Matrix wird jeder Punkt $P(x|y)$ auf den Bildpunkt $P'(x'|y')=P'(x|-y)$ abgebildet.

  Zeichne dir einige Punkte in ein Koordinatensystem.

  Lösung

  Wir wollen die Affinitätsfaktor $k$ etwas besser kennenlernen.

  $k=1$: Dies führt zu der sogenannten Einheitsmatrix:

  $A=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$

  Wenn man diese mit einem beliebigen Vektor multipliziert, bleibt dieser Vektor erhalten. Diese Abbildung nennt man Identität.

  $k=-1$: Die $x$-Koordinate bleibt gleich und bei der $y$-Koordinate wird das Vorzeichen vertauscht. Dies ist eine Spiegelung an der x-Achse.

  $k>1$: Schauen wir uns das Beispiel $k=3$ an. In der Abbildung kannst du zu verschiedenen Punkten die Bildpunkte erkennen:

  • $P(2|2)~\rightarrow~P'(2|6)$
  • $Q(3|1)~\rightarrow~Q'(3|3)$
  • $R(5|2)~\rightarrow~R'(5|6)$

  Es handelt sich um eine Streckung.

  $0<k<1$: Dies entspricht einer Stauchung.

  Was passiert, wenn $k$ zusätzlich negativ wird? Es findet außerdem eine Spiegelung an der x-Achse statt:

  $k<-1$ entspricht einer Streckung und Spiegelung an der x-Achse.

  $-1<k<0$ entspricht einer Stauchung und Spiegelung an der x-Achse.

• Bestimme die zur orthogonalen Affinität zur y-Achse gehörende Matrix.

  Tipps

  Beachte, dass bei der orthogonalen Affinität zur y-Achse die $y$-Koordinate erhalten bleibt.

  Zwei Koordinaten der Matrix sind gleich $0$. In dieser Hinsicht ähneln sich die beiden Matrizen.

  Hier siehst du den Ansatz, wie du die Matrix bestimmen kannst.

  Lösung

  Bei der orthogonalen Affinität zur y-Achse wird die $x$-Koordinate mit dem Faktor $k$ multipliziert. Die $y$-Koordinate ändert sich nicht.

  Sei also $P(x|y)$ ein beliebiger Punkt und $P'(x'|y')=P'(k\cdot x|y)$ dessen Bildpunkt, dann gilt

  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k\cdot x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k\cdot x+0\cdot y \\ 0\cdot x+1\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

  Somit ist die Matrix

  $A=\begin{pmatrix} k &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix}$

  die Matrix ist, welche die orthogonale Affinität zur y-Achse beschreibt.

• Untersuche, welche Art von Abbildung vorliegt.

  Tipps

  Durch diese Matrix wird eine orthogonale Affinität zur x-Achse beschrieben.

  Wenn die Positionen von $1$ und $k$ vertauscht sind, handelt es sich um eine orthogonale Affinität zur y-Achse.

  Bei positiven $k$ wird entweder gestreckt oder gestaucht, bei negativen $k$ wird zusätzlich noch gespiegelt.

  Für $|k|>1$ wird gestreckt und für $0<|k|<1$ wird gestaucht.

  Lösung

  Die Matrix $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&k \end{pmatrix}$ beschreibt eine orthogonale Affinität zur x-Achse und somit im Falle eines negativen $k$ eine Spiegelung an der x-Achse:

  • $k=-2$ ist eine Streckung und zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.
  • $k=-1$ ist eine Spiegelung an der x-Achse.
  • $k=-0,3$ ist eine Stauchung und zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.

  Die Matrix $\begin{pmatrix} k &0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$ beschreibt eine orthogonale Affinität zur y-Achse und somit im Falle eines negativen $k$ eine Spiegelung an der y-Achse:

  • $k=0,5$ ist eine Stauchung.
  • $k=-1$ ist eine Spiegelung an der y-Achse.
  • $k=-1,5$ ist eine Streckung und zusätzlich eine Spiegelung an der y-Achse.

• Definiere, was eine lineare Abbildung ist.

  Tipps

  Die Spiegelung an der y-Achse ist eine lineare Abbildung.

  Sei $P(3|3)$, dann ist $P'(-3|3)$ der an der y-Achse gespiegelte Bildpunkt $P'$.

  Diese Spiegelung kann auch so geschrieben werden:

  $\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}$

  Dies ist eine $(2\times 2)$-Matrix: Sie hat zwei Zeilen und zwei Spalten.

  Lösung

  Wie lässt sich eine lineare Abbildung definieren?

  Eine Zuordnung $f$, die den Raum $\mathbb{R}^n$ auf den Raum $\mathbb{R}^m$ abbildet, also

  $f:~\mathbb{R}^n~\rightarrow~\mathbb{R}^m$,

  wird als lineare Abbildung bezeichnet, wenn sie jedem Punkt $P$ in $\mathbb{R}^n$ einen Bildpunkt $P'$ in $\mathbb{R}^m$ zuordnet. Diese Zuordnung kann auch wie folgt beschrieben werden: Es existiert eine $(m\times n)$-Matrix $A$, so dass gilt

  $\vec{x'}=A\cdot \vec x$.

  Dabei ist

  • $\vec{x'}$ der Ortsvektor von $P'$ und
  • $\vec x$ der Ortsvektor von $P$.

• Untersuche die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Zeichne die Strecken parallel zu den Koordinatenachsen in ein Koordinatensystem und multipliziere die Endpunkte mit den entsprechenden Matrizen.

  Trage dann auch die Bildpunkte in das gleiche Koordinatensystem ein und verbinde die Bildpunkte.

  Hier siehst du die Matrix $A_x$ für $k=0$.

  Mache dir an Beispielen in einem Koordinatensystem klar, was die Abbildung

  $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}~\rightarrow~\begin{pmatrix} x\\0 \end{pmatrix}$

  bedeutet.

  Lösung

  Bei der orthogonalen Affinität zur x-Achse bleiben Strecken, welche parallel zur x-Achse sind, auch parallel zur x-Achse und gleich lang. Dies ist in der Abbildung für $k=3$, also

  $A_x=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&3 \end{pmatrix}$

  zu sehen:

  • $P(2|2)~\rightarrow~P'(2|6)$
  • $Q(5|2)~\rightarrow~Q'(5|6)$

  Beide Strecken $\overline{PQ}$ (grün) sowie deren Bildstrecke $\overline{P'Q'}$ (rot) sind parallel zur x-Achse.

  Ebenso bleiben zur y-Achse parallele Strecken bei der orthogonalen Affinität zur y-Achse parallel zur y-Achse und gleich lang.

  Interessanter wird es bei der orthogonalen Affinität zur x-Achse (y-Achse), wenn die Strecke parallel zur y-Achse (x-Achse) ist. In diesen beiden Fällen sind die Strecken zwar nach wie vor parallel aber nicht mehr gleich lang.

  Was passiert eigentlich, wenn der Faktor $k$ in der orthogonalen Affinität $0$ ist?

  $A_x=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}$

  Dann ist

  $A_\cdot \vec x=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ 0 \end{pmatrix}$

  Dies ist eine orthogonale Projektion auf die x-Achse.

  Ebenso ist durch

  $A_y=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$

  eine orthogonale Projektion auf die y-Achse gegeben.