Logistisches Wachstum
Erfahre, wie logistisches Wachstum in der Mathematik funktioniert. Von der exponentiellen Phase bis zur Stagnation – wir erläutern die drei Wachstumsphasen anhand eines Beispiels mit einer Hefekultur. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Logistisches Wachstum
Das logistische Wachstum in der Mathematik
In der Mathematik gibt es verschiedene Modelle, mit denen wir Wachstumsprozesse beschreiben können. Es gibt viele Prozesse, die mit dem linearen Wachstum oder dem exponentiellen Wachstum beschrieben werden können. Für manche Prozesse braucht man allerdings ein anderes Modell: das Modell des logistischen Wachstums. Ein Beispiel dafür ist das Wachstum einer Hefekultur in einer Petrischale. Wir wollen uns im Folgenden anschauen, wie das logistische Wachstum aussieht. Wir werden dabei feststellen, dass es drei unterschiedliche Wachstumsphasen gibt.
Logistisches Wachstum – Beispiel
Wir betrachten eine Hefekultur in einer Petrischale. Bei der Hefe handelt es sich um eine spezielle Form einzelliger Pilze, die sich durch Teilung vermehren. Die Hefekultur hat zu Beginn der Beobachtung eine Masse von $10~\pu{mg}$. Ihre Masse $m$ wird über $26$ Stunden hinweg stündlich bestimmt und die Werte werden in einer Tabelle eingetragen.
Exponentielle Phase
Wir betrachten zunächst die ersten vier gemessenen Werte.
| $t/\pu{h}$ | $ m / \pu{mg} $ |
|---|---|
| $ 0 $ | $ 10,0 $ |
| $1 $ | $16,8 $ |
| $2 $ | $ 28,1 $ |
| $3 $ | $ 46,4 $ |
| $4$ | $ 75,3 $ |
Wir können den Wachstumsfaktor für jeden Schritt berechnen, indem wir den Wert $f(t+1)$ jeweils durch seinen Vorgänger $f(t)$ teilen.
| $t/\pu{h} $ | $f(t) = m / \pu{mg} $ | $f(t+1)/f(t)$ |
|---|---|---|
| $ 0 $ | $ 10,0 $ | |
| $ 1 $ | $16,8 $ | $ 1,68 $ |
| $ 2$ | $28,1 $ | $1,672619048 $ |
| $ 3 $ | $46,4 $ | $1,651245552 $ |
| $ 4$ | $75,3$ | $1,622844828$ |
Wir sehen, dass der Wachstumsfaktor bei allen vier Schritten ungefähr bei $1,6$ liegt, also in etwa konstant ist. Ein konstanter Wachstumsfaktor deutet auf ein exponentielles Wachstum hin. Die Hefekultur scheint sich also exponentiell zu vermehren.
Verlangsamtes Wachstum
Wir betrachten nun die Messwerte für einen Zeitraum zwischen $10$ und $15$ Stunden nach Beginn des Experiments. Für jeden Messwert berechnen wir wie in der vorigen Tabelle den entsprechenden Wachstumsfaktor.
| $t/\pu{h} $ | $f(t) = m / \pu{mg} $ | $f(t+1)/f(t)$ |
|---|---|---|
| $10 $ | $ 520,0 $ | |
| $11 $ | $581,4 $ | $ 1,118076923 $ |
| $12 $ | $625,0 $ | $ 1,0749914 $ |
| $13 $ | $653,8 $ | $ 1,04608 $ |
| $14 $ | $672 $ | $1,027837259 $ |
| $15$ | $683,2$ | $1,016666667$ |
Der Wachstumsfaktor ist jetzt nicht mehr ungefähr $1,6$, sondern wesentlich kleiner. Und er scheint auch mit der Zeit abzunehmen.
Stagnation
Wir schauen uns also auch noch die letzten fünf Werte an.
| $t/\pu{h} $ | $f(t) = m / \pu{mg} $ | $f(t+1)/f(t)$ |
|---|---|---|
| $ 21 $ | $ 699,3 $ | |
| $ 22 $ | $699,6 $ | $ 1,000429 $ |
| $ 23$ | $699,8 $ | $1,000285878 $ |
| $ 24$ | $699,9 $ | $1,000142898$ |
| $ 25 $ | $699,9 $ | $1 $ |
| $ 26$ | $699,9 $ | $ 1$ |
Die Werte verändern sich kaum noch. Das spiegelt sich auch im Wachstumsfaktor wider, der in etwa $1$ beträgt. Die Masse von etwa $700~\pu{mg}$ scheint eine obere Grenze für das Wachstum der Hefe darzustellen. Man spricht auch von einem Sättigungsgrenzwert.
Wie erkennt man logistisches Wachstum?
Wir haben anhand unseres Beispiels gesehen, dass es beim logistischen Wachstum drei unterschiedliche Phasen gibt:
- In der ersten Phase liegt exponentielles Wachstum vor.
- In der zweiten Phase verlangsamt sich das Wachstum und ist zeitweise etwa linear.
- In der dritten Phase stagniert das Wachstum und nähert sich einem Grenzwert an.
Die verschiedenen Phasen können wir auch deutlich erkennen, wenn wir den Verlauf des Wachstums grafisch auftragen.
Die Kurve hat einen Wendepunkt, an dem sich ihr Krümmungsverhalten ändert. Sie geht von einer Links- in eine Rechtskurve über. Das Wachstum beginnt mit der exponentiellen Phase, die über die lineare Phase in die Stagnation übergeht. Die rote, gestrichelte Linie markiert den Grenzwert.
Logistisches Wachstum können wir in vielen verschiedenen Bereichen der Natur finden. Das Wachstum von Bakterien oder von bestimmten Algenarten folgt beispielsweise diesem Wachstumsmodell – ebenso die Ausbreitung von Krankheiten und das Wachstum einer Kaninchenpopulation auf einer abgelegenen Insel.
Dieses Video
In diesem Video wird dir das logistische Wachstum einfach erklärt. Du erfährst, was logistisches Wachstum ist und wie du es erkennen kannst. Text und Video werden durch interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt mit Aufgaben ergänzt.
Transkript Logistisches Wachstum
Logisches Wachstum
Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um das logistische Wachstum. Damit du dieses Video gut verstehst, solltest du schon Vorwissen über die beiden wichtigsten Wachstumsfunktionen im Schulunterricht - das lineare und das exponentielle Wachstum - haben.
Wir werden uns in diesem Video eine Hefekultur näher ansehen und ihr Wachstum graphisch darstellen. Der klassische Verlauf des Wachstums der Hefekultur führt uns dann zum Logistischen Wachstum.Zum Abschluss werden wir noch weitere Beispiele kennenlernen, die gut mit dem Logistischen Wachstum beschrieben werden können.
Kommen wir nun zu unserer Hefekultur. Die Hefekultur wird über einen Zeitraum von 26 Stunden beobachtet und jede Stunde wird die Hefemenge in mg gemessen. Diese Werte werden in einer Tabelle festgehalten. Die Tabelle sieht so aus:
Betrachten wir nur die ersten fünf Einträge der Tabelle, dann ließe sich vermuten, dass die Hefekultur exponentiell mit einem Wachstumsfaktor von ca. 1,6 wächst. Du erinnerst dich sicherlich, dass du den Wachstumsfaktor ausrechnest, indem du den Quotienten von f von t plus 1 und f von t bildest.
Aber schon bei den Einträgen ab Stunde 10 wird deutlich, dass diese Annahme nicht tragbar ist, denn der Quotient von f von zwölf und f von 11 ist gleich 625 durch 581,4 und somit ungefähr 1,07. Die letzten sechs Einträge lassen vermuten, dass das Wachstum beschränkt ist - auf ca. 700 mg.
Um das Wachstum unserer Hefekultur besser zu verstehen, tragen wir die Werte im Koordinatensystem ab und stellen sie graphisch dar: Wir erkennen, dass das Wachstum nach oben beschränkt ist mit der Grenze 700. Außerdem verläuft das Wachstum zu Beginn ungefähr exponentiell steigend, um am Wendepunkt des Graphen in ein verlangsamtes Wachstum überzugehen.
Für alle die, die nicht wissen, was ein Wendepunkt ist: der Wendepunkt gibt an, wo der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Unser Graph ist zunächst linksgekrümmt und dann rechtsgekrümmt. Stellt euch einfach den Graphen als Straßenverlauf vor, wie er auf einer Landkarte erscheint und folgt dem Straßenverlauf mit dem Fahrrad. An der Stelle an der ihr euren Lenker für einen kurzen Moment gerade haltet, findet ihr den Wendepunkt. Unser Wendepunkt liegt im Punkt mit den Koordinaten 8 und 350,3.
Kommen wir nun zur Erklärung, warum das Hefewachstum zunächst exponentiell wächst und dann aber sein Wachstum verlangsamt, um schließlich zu stagnieren. Mit zunehmender Menge an Hefe steigt auch der Alkoholgehalt. Dies führt zu dem verlangsamten Wachstum, da der Alkohol das Wachstum bremst. An der oberen Schranke ist der Alkoholgehalt so hoch, dass kein Wachstum mehr stattfindet.
Fassen wir also noch einmal zusammen, wie sich das Wachstum unserer Hefekultur beschreiben lässt: Ganz wichtig zur Beschreibung des logistischen Wachstums ist die obere Schranke und die Änderungsrate vom Zeitpunkt t zum Zeitpunkt t+1.
Der Name “logistisches Wachstum” stammt von einem belgischen Mathematiker namens Pierre-François Verhulst, der von 1804 bis 1849 gelebt hat, der dieses Modell anhand des Bevölkerungswachstums entwickelte und es 1845 veröffentlichte. Leider ist nicht bekannt, warum er ausgerechnet den Begriff “logistisches Wachstum” gewählt hat.
In der Natur finden wir viele Beispiele, deren Wachstum sich so verhält wie unsere Hefekultur: Kaninchen auf einer einsamen Insel, Algen in einem Teich, Salmonellen im Speiseeis, Pflanzenwachstum, Bakterien in einer Nährlösung oder die Ausbreitung der Grippe in einem abgelegenen Dorf.
Die wachsende Population benötigt immer allgemeine Ressourcen, (z.B. Nahrung, Lebensraum) die bei größer werdendem Bestand immer schneller knapp werden und so dem Wachstum immer stärker entgegenwirken. Hier kann immer das Modell des logistischen Wachstums unterstellt werden. Der Verlauf hängt im Wesentlichen von der oberen Schranke und der Änderungsrate von t nach t+1 ab.
Fassen wir noch einmal zusammen, womit wir uns beschäftigt haben: Wir haben am Beispiel unserer Hefekultur gesehen, wie der Graph bei logistischem Wachstum verläuft. Wir wissen, dass die obere Schranke und die Änderungsrate von t -> t+1 das logistische Wachstum bestimmen.
Seinen Namen hat das logistische Wachstum vom Belgier Verhulst, der 1845 einen Artikel hierzu veröffentlichte. Nur, wie Verhulst auf den Namen des logistischen Wachstums kam, dass wissen wir bis heute nicht.
Ich wünsche euch viel Spaß mit dem logistischen Wachstum. Tschüß!
Logistisches Wachstum Übung
-
Ergänze die Erklärung zum logistischen Wachstum.
TippsEin logistisches Wachstum ist kein unbegrenztes Wachstum wie zum Beispiel das lineare oder das exponentielle Wachstum.
Ein typischer Verlauf ist
- am Anfang exponentiell steigend,
- dann verlangsamt sich die Steigung,
- um schließlich zu stagnieren.
LösungDer Name „logistisches Wachstum“ stammt von einem belgischen Mathematiker namens Pierre-Francois Verhulst, dessen Bild hier zu sehen ist.
Er lebte von 1804 bist 1849.
Er entwickelte dieses Modell anhand des Bevölkerungswachstums und veröffentlichte es 1845.
Es ist nicht bekannt, wieso Verhulst diesem Modell den Namen „logistisches Wachstum“ gegeben hat.
Von besonderer Bedeutung ist beim logistischen Wachstum
- zum einen die obere Schranke und
- zum anderen die Änderungsrate vom Zeitpunkt $t$ zum Zeitpunkt $t+1$.
-
Beschreibe den Verlauf eines logistischen Wachstums.
TippsSowohl beim linearen als auch beim exponentiellen Wachstum gibt es keine obere Schranke.
Beim linearen Wachstum ist die Steigung des Graphen immer gleich.
Beim exponentiellen Wachstum steigt der Graph immer schneller.
LösungWenn man ein logistisches Wachstum in ein Koordinatensystem zeichnet, erhält man einen charakteristischen S-förmigen Verlauf:
- Am Anfang steigt der Graph exponentiell,
- dann wird das Wachstum immer langsamer,
- um schließlich zu stagnieren.
-
Entscheide, ob logistisches Wachstum vorliegt oder nicht.
TippsWichtig bei logistischem Wachstum ist
- die obere Grenze und
- die Änderungsrate vom Zeitpunkt $t$ zum Zeitpunkt $t+1$.
Jedes unbegrenzte Wachstum kann kein logistisches Wachstum sein.
LösungDas Beispiel der Telefongesellschaft stellt ein lineares Wachstum dar. Das heißt, es ist unbegrenzt und kann somit nicht logistisch sein.
Selbiges gilt für das Beispiel mit Pauls angelegtem Geld. Hier liegt ein exponentieller Prozess vor.
Alle übrigen Beispiele genügen den Bedingungen von logistischem Wachstum:
- Es existiert eine obere Grenze und
- das Wachstum ist anfangs sehr schnell, exponentiell,
- wird dann langsamer und
- stagniert schließlich.
Seerose: Die Ausbreitung der Seerosen ist dadurch begrenzt, dass nur eine gewisse Fläche und somit auch Nährstoffe zur Verfügung stehen.
-
Überprüfe anhand der Graphen, ob logistisches Wachstum vorliegt.
TippsWichtig bei logistischem Wachstum sind
- eine obere Grenze und
- die Änderungsrate.
- Anfangs steigt der Graph exponentiell,
- dann verlangsamt sich die Steigung und
- stagniert schließlich.
Ein unbegrenzter Wachstumsprozess kann kein logistisches Wachstum sein.
Beispiele für unbegrenztes Wachstum sind
- lineares Wachstum und
- exponentielles Wachstum.
LösungDer grüne Graph gehört zu einer Exponentialfunktion. Es ist keine Grenze erkennbar. Hier liegt kein logistisches Wachstum vor.
Der rote Graph gehört zu einer quadratischen Funktion. Auch hier werden die Werte immer größer. Es kann kein logistisches Wachstum vorliegen.
Der violette Graph zeigt ein logistisches Wachstum:
- Am Anfang eine exponentielle Steigung,
- dann verlangsamt sich die Steigung und
- stagniert schließlich.
- Eine obere Grenze ist erkennbar.
Insgesamt ist nur $1$ Graph zu erkennen, welcher ein logistisches Wachstum aufweist.
-
Gib an, bei welchem der Beispiele logistisches Wachstum vorliegt.
TippsMach dir bei jedem Beispiel klar, ob eine obere Schranke existiert.
Sowohl beim linearen als auch beim exponentiellen Wachstum existiert eine solche obere Schranke nicht. Es handelt sich dabei jeweils um unbegrenztes Wachstum.
LösungBei den folgenden Beispielen handelt es sich um logistische Wachstumsprozesse:
- die Ausbreitung einer Grippe in einem begrenzten Gebiet,
- die Entwicklung von Algen in einem Teich und
- die Entwicklung einer Bakterienkultur.
- Am Anfang ist das Wachstum exponentiell,
- nimmt dann wieder ab und stagniert schließlich.
- Der Bestand hat eine obere Schranke.
- Die Kosten für gefahrene Kilometer bei einem Auto sind linear und unbegrenzt. Das heißt, je mehr gefahren wird, umso höher sind die Kosten.
- Bei der Zinsrechnung handelt es sich um ein unbegrenztes exponentielles Wachstum.
-
Überlege, ob es sich bei der Verbreitung des Gerüchts um ein logistisches Wachstum handelt.
TippsTrage die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Ist ein charakteristischer S-förmiger Verlauf des Graphen zu erkennen?
Gelten die folgenden Bedingungen?
- am Anfang exponentiell steigend,
- dann verlangsamt sich die Steigung,
- um schließlich zu stagnieren.
Das Gerücht kann sich nicht bei mehr Personen verbreiten als sich Leute auf der Party befinden.
LösungAm Anfang, also zum Zeitpunkt $t=0$, wissen $3$ Personen von dem Gerücht. Sie erzählen es weiter. Nach einer Stunde sind bereits $12$ Personen informiert, nach $2$ Stunden $48$. Die Werte kann man der obigen Tabelle entnehmen.
Es ist zu erkennen, dass die Zahl am Anfang sehr schnell steigt, dann etwas langsamer und schließlich kaum mehr steigt.
Die obere Grenze ist $350$, da sich nicht mehr Personen auf der Party befinden.
Es handelt sich bei diesem Beispiel um ein logistisches Wachstum.
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