Maßstab – Verkleinerungen

Maßstab – Verkleinerungen Übung

• Zeige auf, wie du Maßstäbe von Verkleinerungen angibst.

  Tipps

  Im Maßstab einer Vergrößerung steht links eine größere Zahl als rechts.

  Bei einer Abbildung im Maßstab $1:4$ entspricht der Länge $2~\text{cm}$ im Bild die Länge $8~\text{cm}$ im Original.

  Bei dem Maßstab $1:2$ ist die Flügelspannweite im Original doppelt so groß wie im Bild.

  Lösung

  Die Größenverhältnisse einer Abbildung und des zugehörigen Originals kannst du mithilfe des Maßstabs vergleichen. Ein Bild in Originalgröße hat die gleiche Größe wie das Original und daher den Maßstab $1:1$. Da die beiden Zahlen links und rechts im Maßstab gleich groß sind, entspricht jeder Länge im Bild die gleiche Länge im Original. Bei dem Maßstab einer Verkleinerung ist die linke Zahl kleiner als die rechte. Bei einer Vergrößerung hingegen ist die linke Zahl größer als die rechte. Ist ein Schmetterling im Bild halb so groß wie im Original, so ist der zugehörige Maßstab $1:2$, denn die $1$ links ist halb so groß wie die $2$ rechts.

  Die am einfachsten zu verstehenden Maßstäbe haben links oder rechts eine $1$. Steht im Maßstab links eine $1$ und rechts eine größere Zahl, so beschreibt der Maßstab eine Verkleinerung. Die Zahl rechts gibt dann an, um wievielmal das Original größer ist als das Bild. Steht umgekehrt rechts eine $1$ und links eine größere Zahl, so handelt es sich um eine Vergrößerung. Bei dem Maßstab $1:3$ steht links eine $1$ und rechts eine $3$. Daher ist das Original dreimal so groß wie das Bild.

  Der Maßstab einer Abbildung bezieht sich stets auf einander entsprechende Längen in Bild und Original, nicht etwa auf die Flächen. Du kannst den Maßstab benutzen, um einander entsprechende Längen zu berechnen. Einer Flügelspannweite von $18~\text{cm}$ im Original entspricht bei dem Maßstab $1:3$ eine kleinere Spannweite im Bild. Der Maßstab gibt an, dass das Original dreimal so groß ist wie das Bild. Dividierst du die Flügelspannweite im Original durch $3$, so erhältst du die Spannweite im Bild:

  $18~\text{cm} :3 = 6~\text{cm}$

• Gib den Maßstab an.

  Tipps

  Bei einem Maßstab steht die Zahl links für das Bild, die Zahl rechts für das Original.

  Diese Abbildung hat den Maßstab $5:2$, denn der Länge $2~\text{cm}$ im Original entspricht die Länge $5~\text{cm}$ im Bild.

  Ist das Bild kleiner als das Original, so ist die Zahl links im Maßstab kleiner als die Zahl rechts.

  Lösung

  Bei einer Verkleinerung ist die Zahl links im Maßstab kleiner als die Zahl rechts, denn die Zahl links steht stets für das Bild. Bei einem Maßstab mit einer $1$ links gibt die Zahl rechts das Maß der Verkleinerung an. Der Maßstab $1:2$ steht also für eine Verkleinerung, bei der das Bild halb so groß ist wie das Original.

  Im Bild hier siehst du all diejenigen Bildpaare von oben, bei denen der Maßstab nicht korrekt angegeben ist:

  1. Da Bild und Original gleich groß sind, ist der korrekte Maßstab $1:1$.
  2. Das Bild ist genau halb so groß wie das Original. Der korrekte Maßstab ist also $1:2$.
  3. Dieses Bild ist viel kleiner als das Original. Jeder Länge im Bild entspricht die dreifache Länge im Orignal, daher ist der korrekte Maßstab $1:3$.

• Erschließe die Längen und den zugehörigen Maßstab.

  Tipps

  Bestimme den Maßstab durch Vergleich der Größenverhältnisse von Bild und Original.

  Ist das Bild halb so groß wie das Original, so ist der Maßstab $1:2$.

  Das Bild (rechts) des Käfers ist doppelt so groß wie der Käfer im Original (links). Daher ist der Maßstab $2:1$ und die Länge des Käfers im Bild beträgt $1,4~\text{cm} \cdot 2 = 2,8~\text{cm}$.

  Lösung

  Du siehst hier Paare von Bildern und Originalen, deren Länge du anhand der Kästchen bestimmen kannst. Ein quadratisches Kästchen hat die Seitenlänge $0,5\ \text{cm}$. Den Maßstab erhältst du durch Vergleich der Größenverhältnisse:

  Violetter Schmetterling

  Der Schmetterling hat im Original eine Spannweite von $4\ \text{cm}$ ($8$ Kästchen) und im Bild eine Spannweite von $2\ \text{cm}$ ($4$ Kästchen). Damit ist der Schmetterling im Bild halb so groß wie im Original. Es liegt also eine Verkleinerung im Maßstab $1:2$ vor.

  Blauer Schmetterling

  Der Schmetterling hat im Original eine Spannweite von $5\ \text{cm}$ ($10$ Kästchen) und im Bild eine Spannweite von $1\ \text{cm}$ ($2$ Kästchen). Damit liegt also eine Verkleinerung im Maßstab $1:5$ vor.

  Libelle

  Die Libelle hat im Original eine Größe von $8\ \text{cm}$ ($16$ Kästchen) und im Bild eine Größe von $2\ \text{cm}$ ($4$ Kästchen). Damit ist die Libelle im Bild ein Viertel so groß wie im Original. Es liegt also eine Verkleinerung im Maßstab $1:4$ vor.

  Raupe

  Die Raupe hat im Original eine Größe von $6\ \text{cm}$ ($12$ Kästchen) und im Bild eine Größe von $2\ \text{cm}$ ($4$ Kästchen). Damit ist die Raupe im Bild ein Drittel so groß wie im Original. Es liegt also eine Verkleinerung im Maßstab $1:3$ vor.

• Ermittle den Maßstab.

  Tipps

  Ist eine Länge im Original eineinhalbmal ($1,5$-mal) so groß wie die entsprechende Länge im Bild, so ist der Maßstab $2:3$.

  Der Maßstab dieser Abbildung ist nicht $3:4$.

  Lösung

  Du kannst die Maßstäbe der Abbildungen aus den angegebenen Maßen erschließen. Dividierst du jeweils den größeren Wert durch den kleineren, so erhältst du im Fall der beiden grünen Käfer sowie der Blume jeweils eine ganze Zahl. Diese ganze Zahl ist jeweils die Zahl im Maßstab rechts. Links im Maßstab steht in diesen Fällen jeweils $1$. Dividierst du z. B. die Länge $3,6~\text{cm}$ des hellgrünen Käfers im Original durch die Länge $1,2~\text{cm}$ im Bild, so erhältst du $3,6:1,2=3$. Der Maßstab der Abbildung ist also $1:3$.

  Ist das Verhältnis der größeren Zahl zur kleineren keine ganze Zahl, so steht im Maßstab weder links noch rechts die Zahl $1$. Du bestimmst den Maßstab, indem du für das Verhältnis der beiden Zahlen einen ganzzahligen Ausdruck findest. Im Bild hier siehst du für diese beiden Fälle die korrekten Maßstäbe:

  • Der Länge $5~\text{cm}$ im Original-Schmetterling entspricht die Länge $2~\text{cm}$ im Bild. Daher ist der Maßstab hier schlicht $2:5$.
  • Die grünblaue Fliege ist im Bild fast genauso groß wie im Original. Daher müssen auch die beiden Zahlen im Maßstab fast gleich groß sein. Die Länge $4,8~\text{cm}$ im Original ist das Vierfache von $1,2~\text{cm}$ und die Länge $3,6~\text{cm}$ im Bild ist das Dreifache von $1,2~\text{cm}$. Daher ist der Maßstab hier $3:4$.

• Bestimme den Maßstab.

  Tipps

  Der Maßstab $1:1$ beschreibt ein Bild derselben Größe wie das Original.

  Je größer die Zahl rechts im Maßstab im Vergleich zur Zahl links ist, desto kleiner ist das Bild im Verhältnis zum Original.

  Der Maßstab der Abbildung ist $3:1$, denn der Käfer ist im Bild genau dreimal so groß wie im Original.

  Lösung

  Bei zwei Abbildungen ist das Bild kleiner als das Original. Dazu gehören jeweils Maßstäbe, bei denen rechts eine größere Zahl steht als links. Die Größe der Zahl links gibt das Maß der Verkleinerung an.

  Nur bei der Abbildung des rotbraunen Schmetterlings ist das Bild größer als das Original. Zu diesem Bild gehört also ein Maßstab, bei dem die Zahl links größer ist.

  Hier im Bild siehst du exemplarisch die Bestimmung des Maßstabs für der Vergrößerung des rotbraunen Schmetterlings. Du kannst den genauen Maßstab aus den angegebenen Maßen erschließen: Die Länge im Bild ist dreimal so groß wie die Länge im Original. Daher ist der Maßstab $3:1$.

  Bei den Bildern der Aufgabe sind keine Maße angegeben, dennoch kannst du den jeweiligen Maßstab erschließen:

  • $1:4$ ist der Maßstab für die Abbildung des blauen Schmetterlings mit dem kleinsten Bild.
  • $3:1$ ist der Maßstab für die Abbildung wie in diesem Bild.
  • $1:2$ gehört zu der Abbildung des blauen Schmetterlings, bei der das Bild halb so groß ist wie das Original.
  • $1:1$ bedeutet, dass Bild und Original dieselbe Größe haben.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Links siehst du eine Verkleinerung des mittleren Schmetterlings, rechts eine Vergrößerung. Du kannst auch das linke Bild als doppelte Verkleinerung des rechten Bilds beschreiben. Überlege, welcher Maßstab diese Verkleinerung beschreibt.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Bei einer Verkleinerung eines Rechtecks im Maßstab $1:2$ bedecken vier verkleinerte Rechtecke zusammen genau das originale Rechteck.“ Das kannst du gut mit einem Blatt Papier nachprüfen: Faltest du es in beiden Richtungen in der Mitte, so erhältst du eine Einteilung in vier gleich große Teile. Jede Seite eines Teils ist halb so lang wie die entsprechende Seite des ursprünglichen Blatts. Daher handelt es sich bei der Vierteilung um eine Verkleinerung im Maßstab $1:2$.

  • „Zwei nacheinander ausgeführte Verkleinerungen im Maßstab $1:2$ sind dasselbe wie eine Verkleinerung im Maßstab $1:4$.“ Das siehst du, wenn du die Längenverhältnisse vergleichst: Bei der ersten Verkleinerung wird jede Länge des Originals halbiert, bei der zweiten Verkleinerung wird sie nochmals halbiert. Insgesamt wird jede Länge auf ein Viertel der ursprünglichen Länge verkleinert. Es handelt sich also um eine Verkleinerung im Maßstab $1:4$.

  • „Eine Verkleinerung im Maßstab $2:3$ wird durch eine anschließende Vergrößerung im Maßstab $3:2$ wieder rückgängig gemacht.“ Bei der Verkleinerung wird eine Länge von $3~\text{cm}$ im Original zu einer Länge von $2~\text{cm}$ im Bild. Bei der anschließenden Vergrößerung wird eine Länge von $2~\text{cm}$ wieder zu einer Länge von $3~\text{cm}$, also zur ursprünglichen Länge.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Faltest du ein Blatt Papier in der Mitte, so entspricht dies einer Verkleinerung im Maßstab $1:2$.“ Beim Falten in der Mitte wird nur eine der beiden Längen halbiert. Es handelt sich also gar nicht um eine maßstäbliche Verkleinerung. Faltest du z. B. ein Quadrat in der Mitte, so sind die beiden Hälften keine Quadrate mehr.

  • „Verkleinerst du ein Original zweimal hintereinander im Maßstab $1:3$, so hat das doppelt verkleinerte Bild zum Original den Maßstab $1:6$.“ Bei der ersten Verkleinerung wird jede Länge im Original durch $3$ geteilt, bei der zweiten Verkleinerung ebenfalls. Insgesamt wird also jede Länge im Vergleich zum Original durch $9$ geteilt. Es handelt sich daher um eine Verkleinerung im Maßstab $1:9$.