Mit Maßstäben rechnen

Mit Maßstäben rechnen Übung

• Bestimme den Maßstab.

  Tipps

  Bei einem Maßstab steht immer die Zahl links für das Bild und die Zahl rechts für das Original.

  Sind die Maße im Bild halb so groß wie die entsprechenden Maße im Original, so ist der Maßstab $1:2$.

  Das Bild hat den Maßstab $1:3$, denn der echte Käfer ist dreimal so groß wie das Bild des Käfers.

  Lösung

  Der Maßstab gibt das Verhältnis der Längen eines Bildes zu den Längen des Originals an. Im Maßstab steht daher die linke Zahl immer für das Bild, die rechte Zahl für das Original. Ist die linke Zahl größer als die rechte Zahl, so beschreibt der Maßstab eine Vergrößerung, ist die Zahl rechts größer, so handelt es sich um den Maßstab einer gleichmäßigen Verkleinerung.

  Du findest die passende Zuordnung, indem du zuerst bestimmst, ob das Bild größer oder kleiner als das Original ist oder genau gleich groß. Dann kannst du das genaue Maß der Vergrößerung oder Verkleinerung bestimmen. Ist das Bild doppelt so groß wie das Original, so ist der Maßstab $2:1$, ist das Original dreimal so groß wie das Bild, so hat dieses den Maßstab $1:3$.

  Im Bild hier siehst du jeweils die korrekte Zuordnung.

• Beschreibe das Rechnen mit Maßstäben.

  Tipps

  Ist bei der Angabe eines Maßstabes die Zahl links größer als die Zahl rechts, so beschreibt der Maßstab eine Vergrößerung.

  Die Längen eines Bildes im Maßstab $3:1$ sind um den Faktor $3$ größer als die Längen bei einem Bild im Maßstab $1:1$.

  Ein im Maßstab $3:1$ vergrößertes Bild ist dreimal so groß wie das Original und neunmal so groß wie ein im Maßstab $1:3$ verkleinertes Bild.

  Lösung

  Der Maßstab einer Abbildung gibt an, in welchem Maße das Bild gegenüber dem Original gleichmäßig vergrößert oder verkleinert wurde. Der Maßstab bezieht sich immer auf einander entsprechende Längen im Bild und im Original. Er ist das Verhältnis solcher Längen.

  An dem Maßstab kannst du daher direkt ablesen, ob ein Bild gegenüber dem Original vergrößert oder verkleinert ist. Da der Maßstab das Verhältnis der Längen von Bild und Original ist, steht die Zahl links im Maßstab immer für das Bild (bzw. die Längen im Bild), die Zahl rechts für das Original. Ist die Zahl rechts also größer als die Zahl links, so ist das Verhältnis dieser beiden Zahlen das Maß der Verkleinerung des Bildes gegenüber dem Original. Der Maßstab $1:2$ bedeutet also, dass das Bild halb so groß ist wie das Original. Jeder Länge im Bild entspricht demnach die doppelte Länge im Original, z. B. entsprechen dann $4~\text{cm}$ im Bild $8~\text{cm}$ im Original.

  Du kannst also aus dem Maßstab eines Bildes zu jeder Länge im Bild oder im Original die jeweils entsprechende Länge berechnen. Umgekehrt kannst du auch aus der Kenntnis zweier einander entsprechender Längen auf den Maßstab schließen. Statt mit nur einem festen Maßstab zu rechnen, kannst du aber auch den Maßstab verändern. Wenn du z. B. ein Bild, das den Maßstab $1:2$ hat, vergrößerst, so wird im Maßstab die linke Zahl größer oder die rechte Zahl kleiner. Verdoppelst du die Längen in einem Bild vom Maßstab $1:2$, während das Original unverändert bleibt, so erhältst du ein Bild im Maßstab $1:1$. Vervierfachst du die Längen eines Bildes vom Maßstab $1:2$, so hat das vergrößerte Bild den Maßstab $2:1$ im Vergleich zum Original.

• Bestimme den Maßstab.

  Tipps

  Entsprechen $3~\text{cm}$ im Original $4~\text{cm}$ im Bild, so ist der Maßstab $4:3$.

  Bei einem Bild im Maßstab $1:1$ sind Bild und Original genau gleich groß.

  Der Länge $1,2~\text{cm}$ im Original entspricht die dreifache Länge $3,6~\text{cm}$ im Bild. Daher ist der Maßstab hier $3:1$.

  Lösung

  An dem Maßstab kannst du zuerst ablesen, ob ein Bild gegenüber dem Original vergrößert oder verkleinert ist, oder ob es genauso groß ist wie das Original. Die Zahl links im Maßstab steht immer für das Bild, die Zahl rechts für das Original. Ist die Zahl links kleiner als die Zahl rechts, so beschreibt der Maßstab eine Verkleinerung des Bildes gegenüber dem Original.

  Aus einander entsprechenden Längen im Bild und im Original kannst du den Maßstab ablesen. Sind die beiden Längen gleich, so ist der zugehörige Maßstab $1:1$. Sind die Längen verschieden, so ist der Maßstab eine Beschreibung für das Verhältnis dieser Längen. Ist die Länge im Bild doppelt so groß wie die Länge im Original, so hat die Abbildung den Maßstab $2:1$. Oft sind die beiden Längen aber nicht ganze Vielfache voneinander. In diesem Fall kannst du den Maßstab durch das Verhältnis der Länge im Bild zu der Länge im Original angeben.

  Ist eine der beiden Längen $1~\text{cm}$, so kannst du den Maßstab direkt an den Längen ablesen. Bei der Biene z. B. ist die Länge im Original $1~\text{cm}$, im Bild $4~\text{cm}$, daher ist der Maßstab $4:1$. Auch bei den beiden gelben Blüten kannst du den Maßstab direkt aus den Längen ablesen: Die gelbe Blüte im Bild hat einen Durchmesser von $2~\text{cm}$, die „echte“ gelbe Blüte einen Durchmesser von $3~\text{cm}$. Der Maßstab ist daher $2:3$. Der Schmetterling hat im Bild eine Flügelspannweite von $5~\text{cm}$, der „echte“ Schmetterling hat nur $2~\text{cm}$. Der Maßstab der Abbildung ist also $5:2$.

  Bei den beiden roten Blüten musst du den Maßstab als dem Verhältnis der Längen erschließen. $4,5~\text{cm}$ ist das Dreifache von $1,5~\text{cm}$. Die Blüte ist im Original also dreimal so groß wie im Bild. Der Maßstab der Abbildung ist daher $1:3$.

• Erschließe den Maßstab und die fehlende Länge.

  Tipps

  Ist das Bild fast gleich groß wie das Original, so liegen die beiden Zahlen im Maßstab nahe beieinander.

  Bei dem Maßstab $2:1$ ist das Bild doppelt so groß wie das Original.

  Der Maßstab der Abbildung ist $2:3$, denn dem Durchmesser $2~\text{cm}$ im Bild entspricht der Durchmesser $3~\text{cm}$ im Original.

  Lösung

  Der Maßstab einer Abbildung gibt an, wie sich die Längen im Bild zu denen im Original verhalten. In dieser Aufgabe sollst du anhand der Abbildung sowohl den Maßstab als auch die fehlende Längenangabe erschließen. Das geht, weil die Abbildungen den Maßstab eindeutig erkennen lassen.

  Blätter:

  Die beiden Blätter sind annähernd gleich groß, daher müssen die beiden Zahlen im Maßstab nahe beieinander liegen. Von den vorgegebenen Maßstäben kommt nur $4:3$ in Frage, denn die anderen Maßstäbe beschreiben Vergrößerungen auf mehr als die doppelte Größe oder Verkleinerungen auf die Hälfte. Bei dem Maßstab $4:3$ entspricht der Länge $3~\text{cm}$ im Original die Länge $4~\text{cm}$ im Bild.

  Hellgrüner Käfer:

  Das Bild ist dreimal so groß wie das Original, der Maßstab ist also $3:1$. Teilst du die Länge $3,6~\text{cm}$ im Bild durch $3$, so erhältst du die Länge $1,2~\text{cm}$ des Originals.

  Dunkelgrüner Käfer:

  Das Bild ist viel größer als das Original, der passende Maßstab ist $5:1$. Der Länge $1,2~\text{cm}$ im Original entspricht die fünffache Länge im Bild, also $5 \cdot 1,2~\text{m}= 6~\text{cm}$.

  Blauer Käfer:

  Hier ist das Bild genau halb so groß wie das Original, der Maßstab ist also $1:2$. Du erhältst zu der Länge $2,8~\text{cm}$ im Original die passende Länge im Bild, indem du durch $2$ dividierst: $2,8~\text{cm}:2=1,4~\text{cm}$

• Bestimme die Spannweite und den Maßstab.

  Tipps

  Der Maßstab $1:2$ bedeutet eine Verkleinerung auf die halbe Größe.

  Bei einer Verkleinerung im Maßstab $1:3$ werden alle Längen durch $3$ dividiert.

  Der Schmetterling im Bild ist doppelt so groß wie der Schmetterling im Original. Die Spannweite des Schmetterlings im Original ist daher:

  $16~\text{cm}:2=8~\text{cm}$

  Lösung

  Der Maßstab gibt an, wie viel ein Bild gegenüber dem Original vergrößert oder verkleinert wurde. Der Maßstab bezieht sich dabei immer auf einander entsprechende Längen im Bild und im Original. Ist die linke Zahl im Maßstab größer als die rechte Zahl, so ist jede Länge im Bild um dasselbe Maß größer als die zugehörige Länge im Original.

  Der Maßstab $1:2$ beschreibt eine gleichmäßige Verkleinerung des Bildes auf die Hälfte der Größe des Originals. Jeder Länge im Bild entspricht also die doppelte Länge im Original. Aus der Flügelspannweite $4~\text{cm}$ des Schmetterlings im Bild erhältst du dann die Flügelspannweite im Original, in dem du sie mit $2$ multiplizierst:

  $4~\text{cm} \cdot 2=8~\text{cm}$

• Analysiere die Sätze.

  Tipps

  Falte ein Blatt Papier einmal in der Mitte und überlege, ob dabei alle Längen halbiert werden.

  Vergrößerst du ein Bild vom Maßstab $1:6$ auf das Doppelte, so hat die Vergrößerung den Maßstab $1:3$.

  Überlege, wie du beim Falten eines Blattes den Maßstab des kleinen Blattes zum großen Blatt beschreiben kannst.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Faltest du ein Blatt Papier nacheinander an beiden Seiten in der Mitte, so ist der Maßstab des zusammengefalteten zum ursprünglichen Blatt $1:2$.“ Das zusammengefaltete Blatt entsteht, indem du das große Blatt an jeder Seite halbierst. Daher ist das Verhältnis des kleinen Blattes zum großen Blatt $1:2$. Das kleine Blatt passt dann viermal in das große Blatt.

  • „Verkleinerst du ein Quadrat im Maßstab $1:3$, so passen $9$ verkleinerte Quadrate in das große.“ Denn jede Seite des Quadrates wird gedrittelt. Daraus ergeben sich an jeder Kante des großen Quadrates drei kleine Quadrate, und das sind insgesamt neun kleine Quadrate.

  • „Um eine Verkleinerung im Maßstab $2:3$ rückgängig zu machen, multiplizierst du die verkleinerten Längen mit $1,5$.“ Bei dem Maßstab $2:3$ entsprechen $3~\text{cm}$ im Original nur noch $2~\text{cm}$ im Bild. Multiplizierst du die $2~\text{cm}$ wieder mit $1,5$, so erhältst du die ursprünglichen $3~\text{cm}$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Immer, wenn man ein Bild vergrößert, wird auch die linke Zahl im Maßstab größer.“ Wenn du Bilder, die bereits einen anderen Maßstab als $1:1$ haben, vergrößerst oder verkleinerst, so ändert sich der Maßstab. Verdoppelst du die Größe eines Bildes vom Maßstab $1:2$, so ist der neue Maßstab $1:1$, d. h. er hat keine größere Zahl links als der Maßstab vor der Vergrößerung.

  • „Vergrößerst du ein Bild zweimal hintereinander im Maßstab $3:1$, so ist der Maßstab des letzten Bildes $6:1$.“ Die Vergrößerung im Maßstab $3:1$ entspricht einer Verdreifachung aller Längen. Wendest du diese Vergrößerung zweimal nacheinander an, so werden alle Längen um den Faktor $3 \cdot 3 = 9$ vergrößert. Daher wäre der Maßstab $9:1$.

  • „Um ein Blatt Papier im Maßstab $1:2$ zu verkleinern, kannst du es einmal in der Mitte falten.“ Wenn du ein Blatt Papier in der Mitte faltest, wird nur eine der Längen halbiert. Faltest du es nacheinander an beiden Seiten, so erhältst du eine Verkleinerung im Maßstab $1:2$. Das verkleinerte Blatt passt dann viermal in das große Blatt.