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Minimum, Maximum, Spannweite, Median

Statistische Kennzahlen sind hilfreiche Werkzeuge zur Analyse von Daten. Sie umfassen das Minimum, das Maximum, die Spannweite und den Median. Das Minimum ist der kleinste Wert, das Maximum der größte. Die Spannweite ist die Differenz zwischen Maximum und Minimum, und der Median befindet sich in der Mitte der sortierten Daten. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Was ist das Minimum in einer Zahlenreihe?

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Minimum, Maximum, Spannweite, Median
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Grundlagen zum Thema Minimum, Maximum, Spannweite, Median

Spannweite, Minimum, Maximum und Median einfach erklärt

Alma, Selma und Wilma treffen sich, um online GoRacer zu spielen. Um ihre Platzierungen und Ergebnisse zu vergleichen und zu interpretieren, müssen sie sich mit den statistischen Kennzahlen Minimum, Maximum, Spannweite und Median auskennen. Aber wie erkennt man Maximum und Minimum? Wie bestimmen wir Spannweite und Median? Und was ist der Unterschied zwischen Maximum, Minimum, Spannweite und Median? Das schauen wir uns im Folgenden genauer an.

Statistische Kennzahlen ermitteln

Nach fünf Rennen schauen die Drei das erste Mal auf die Statistik. Die Ergebnisse sind der Größe nach sortiert und in der folgenden Tabelle dargestellt.

Name Platzierungen
Alma 233662 \quad 3 \quad 3 \quad 6 \quad 6
Selma 222252 \quad 2 \quad 2 \quad 2 \quad 5
Wilma 111111 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1

Alma ist einmal auf Platz 22, zweimal auf Platz 33 und zweimal auf Platz 66 gelandet. Das Minimum ist definiert als kleinster Wert in der Zahlenreihe. Was ist in Almas Zahlenreihe der kleinste Wert? Die Zwei ist hier die kleinste Zahl. Sie ist das Minimum. Das Maximum ist definiert als größter Wert in der Zahlenreihe. Was ist in Almas Zahlenreihe der größte Wert? Die Sechs ist die größte Zahl. Sie kommt zweimal vor. Wir wählen eine von beiden aus. Die Sechs ist das Maximum. Rechnen wir Maximum minus Minimum, so erhalten wir die Spannweite. Die Spannweite ist definiert als Differenz von größtem und kleinstem Wert.

MaximumMinimum=SpannweiteMaximum - Minimum = Spannweite

Wir rechnen also: größter Wert minus kleinster Wert. Bei Alma beträgt die Spannweite:

62=46 - 2 = 4

Die Spannweite von Almas Platzierungen beträgt vier.
Sortiert man die Zahlen der Größe nach, dann ist die Zahl, die in der Mitte steht, die Drei. Man nennt sie den Median oder den Zentralwert. Zur Bestimmung des Medians ist es wichtig, dass die Zahlen der Größe nach sortiert sind.

Selma hat viermal den 22. Platz erreicht und einmal den 55. Platz. Die Zwei ist also das Minimum und die Fünf das Maximum. Die Spannweite ergibt sich aus:

52=35 - 2 = 3

Die Spannweite von Selmas Platzierungen beträgt drei. Der Median beträgt zwei. Er ist hier genauso groß wie das Minimum.

Liegt der Median sehr nah an Minimum oder Maximum und ist die Spannweite trotzdem recht groß, so ist das ein Hinweis für einen Ausreißer. Ein Ausreißer ist ein Wert, der stark von den übrigen Werten abweicht. Bei Selma ist das die Zahl Fünf.

Wilma hat fünfmal gewonnen. Das sind fünf Einsen. Wie gehen wir hier vor? Die Eins ist sowohl Minimum als auch Maximum. Daraus ergibt sich die Spannweite null.

11=01 - 1 = 0

Der Median liegt ebenfalls bei eins. Was sagen uns aber Median und Spannweite?


Statistische Kennzahlen interpretieren

Schauen wir uns noch einmal die Mediane von Alma, Selma und Wilma an. Der Median von Alma ist größer als der von Selma. Der Median von Selma ist wiederum größer als der von Wilma. Daraus folgt, dass Wilma im Online-GoRacer am besten ist.

Und was können wir aus der Spannweite erfahren? Auch hier ist Almas Wert größer als der von Selma und Selmas Wert größer als der von Wilma. Daraus folgt, dass Almas Spielerfolg am meisten schwankt. In manchen Rennen schneidet sie sehr gut ab, in anderen aber viel schlechter. Wilmas Spielerfolg ist dagegen sehr stabil.


Statistische Kennzahlen auswerten

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Ein Rennen beim Online-GoRacer besteht immer aus vier Runden. Die drei Freundinnen vergleichen nun die Zeiten, in denen sie die Runden absolviert haben. Dafür schauen sie sich die Zeiten von Alma und Wilma etwas genauer an. Diese sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Name Zeiten in s\pu{s}
Alma 178,6194,4231,2279,6178,6 \quad 194,4 \quad 231,2 \quad 279,6
Wilma 177,2178,6179,2179,4177,2 \quad 178,6 \quad 179,2 \quad 179,4

Bei Wilmas Werten ist 177,2177,2 das Minimum und 179,4179,4 das Maximum. Die Spannweite ist die Differenz beider Zahlen. Sie beträgt:

179,4177,2=2,2179,4 - 177,2 = 2,2

Die Spannweite ist 2,22,2. Aber hier gibt es nun zwei mittlere Werte. Wie ermitteln wir den Median? Dazu werden beide Werte addiert und das Ergebnis wird durch zwei geteilt. Mit dieser Vorgehensweise wird der Median ermittelt, wenn es zwei mittlere Werte gibt.

178,6+179,22=178,9\frac{178,6 + 179,2}{2} = 178,9

Der Median von Wilmas Werten beträgt 178,9178,9.

Schauen wir uns die Zahlen von Alma an. 178,6178,6 ist das Minimum und 279,6279,6 das Maximum.

279,6178,6=101,0279,6 - 178,6 = 101,0

Die Spannweite beträgt 101,0101,0. Den Median berechnen wir wieder mit den beiden mittleren Werten.

194,4+231,22=212,8\frac{194,4 + 231,2}{2} = 212,8

Der Median von Almas Werten beträgt 212,8212,8.

Aber was sagen uns diese Werte jetzt?
Mit den beiden Medianen können wir wieder den Erfolg der beiden vergleichen. Wilmas Median ist der kleinere, sie fährt ihre Runden schneller.
Die Spannweite ist bei Wilma sehr klein. Minimum und Maximum liegen also nahe beieinander. Ihr Spielerfolg wird also nahezu komplett von ihrem Können geprägt. Der Zufall spielt nur eine kleine Rolle. Bei Alma ist die Spannweite gegenüber dem Median recht groß. Minimum und Maximum liegen also weit auseinander. Ihr Spielerfolg hängt viel mehr von Glück oder Pech ab.
Vergleichen wir die Spannweiten der beiden, dann sehen wir, dass Wilmas Spielerfolg wesentlich stabiler ist.

Zusammenfassung Minimum, Maximum, Spannweite und Median

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Hat man eine geordnete Anzahl von Daten gegeben, dann kann man die statistischen Lageparameter Minimum, Maximum, Spannweite und Median angeben.

  • Das Minimum ist der kleinste Wert, der in der Datenreihe auftaucht.
  • Das Maximum ist der größte Wert, der in der Datenreihe auftaucht.
  • Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum.
  • Der mittlere Wert heißt Median.
  • Gibt es zwei mittlere Werte, so werden sie addiert und durch zwei geteilt. Das Ergebnis ist der Median.
  • Diese vier Lageparameter können zur Interpretation genutzt werden.
  • Sie dienen zur Einordnung einer einzelnen Datenreihe, können aber auch zum Vergleich mehrerer Datenreihen genutzt werden.

Zusätzlich zum Video findest du Aufgaben und Übungen zu den statistischen Lageparametern Minimum, Maximum, Spannweite und Median hier auf der Seite.

Transkript Minimum, Maximum, Spannweite, Median

Alma, Selma und Wilma treffen sich zum Online-Go-Racer-Spielen. Um ihre Platzierungen und Ergebnisse zu vergleichen und zu interpretieren, müssen sie sich mit den statistischen Kennzahlen Minimum, Maximum, Spannweite und Median auskennen. Nach fünf Rennen schauen die drei das erste Mal auf die Statistik: Alma ist einmal auf Platz 2, zweimal auf Platz 3 und zweimal auf Platz 6 gelandet. Die KLEINSTE Zahl ist hier die ZWEI. Sie ist das MINIMUM. Die GRÖßTE Zahl ist die SECHS. Sie kommt zweimal vor. Wir nehmen eine davon. Sie ist das MAXIMUM. Maximum minus Minimum ergibt die Spannweite. Wir rechnen also größter Wert minus kleinster Wert. 6 minus 2 ist 4. Die Spannweite von Almas Platzierungen beträgt also 4. Die MITTLERE Zahl ist die 3. Man nennt sie den MEDIAN... oder den ZENTRALWERT. Selma hat viermal den zweiten Platz erreicht und einmal den fünften Platz. Die 2 ist also das MINIMUM. Die 5 das MAXIMUM. Die Spannweite ergibt sich aus 5 minus 2. Das ist 3. Der Median, also die mittlere Zahl, beträgt 2. Er ist hier genauso groß wie das Minimum. Liegt der Median sehr nah an Minimum oder Maximum... und ist die Spannweite trotzdem recht groß... so ist das ein Hinweis für einen AUSREIßER. Ein Ausreißer ist ein Wert, der stark von den übrigen Werten abweicht. Hier ist die Zahl 5 ein Ausreißer. "Schauen wir uns noch Wilmas Platzierungen an. Sie hat fünfmal gewonnen! Alle Achtung!" Das sind 5 Einsen. Wie gehen wir hier vor? Genau wie bisher: 1 ist sowohl Minimum, als auch Maximum. Die Spannweite ... ist 0. Der Median liegt bei 1. Was sagen uns aber Median und Spannweite? Schauen wir uns zunächst die Mediane an: Der Median von Alma ist größer als der von Selma... und der ist größer als der von Wilma. Daraus folgt, das WILMA im Online-Go-Racer am besten ist. Und was können wir aus der Spannweite erfahren? Auch hier ist Almas Wert größer als der von Selma... und der ist wiederum größer als der von Wilma. Daraus folgt, das Almas Spielerfolg am meisten schwankt. In manchen Rennen schneidet sie gut ab, in anderen aber schlechter. Wilmas Spielerfolg ist dagegen sehr stabil. Sie gewinnt eigentlich immer. Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Ein Rennen beim Online-Go-Racer besteht immer aus 4 Runden. Die drei Freundinnen vergleichen nun die Zeiten, in denen sie die Runden absolviert haben. Wilma hat folgende Zeiten: 177,2 Sekunden, 178,6 Sekunden, 179,2 Sekunden und 179,4 Sekunden. 177,2 ist das Minimum, 179,4 das Maximum. Die Spannweite... ist die Differenz beider Zahlen. Und das ist 2,2. Aber hier gibt es ZWEI mittlere Werte. Wie ermitteln wir den Median? Dazu nehmen wir beide Werte, addieren sie und teilen durch 2. Mit dieser Vorgehensweise kann man IMMER den Median ermitteln, wenn es ZWEI mittlere Werte gibt. Wir erhalten 178,9. Das ist der Median. Schauen wir uns noch die Zahlen von Alma an: 178,6 Sekunden, 194,4 Sekunden, 231,2 Sekunden und 279,6 Sekunden. 178,6 ist das Minimum, 279,6 das Maximum. Die Spannweite beträgt... 101,0. Den Median berechnen wir wieder mit den beiden mittleren Werten. Er beträgt 212,8. Aber was sagen uns diese Werte jetzt? Mit den beiden Medianen können wir wieder den Erfolg der beiden vergleichen. Wilmas Median ist der kleinere. Sie dreht ihre Runden schneller. Die Spannweite ist bei Wilma gegenüber dem Median sehr klein. Minimum und Maximum liegen also nahe beieinander. Ihr Spielerfolg wird also nahezu komplett von ihrem Können geprägt. Der Zufall spielt nur eine kleine Rolle. Bei Alma ist die Spannweite gegenüber dem Median aber recht groß. Minimum und Maximum liegen weit auseinander. Ihr Spielerfolg hängt viel mehr von Glück oder Pech ab. Vergleichen wir die Spannweiten der beiden, dann sehen wir, dass Wilmas Spielerfolg wesentlich stabiler ist. Fassen wir das noch einmal zusammen: Hat man eine geordnete Anzahl von Daten gegeben, dann kann man die statistischen Lageparameter... Minimum, Maximum, Spannweite und Median angeben. Das MINIMUM ist der kleinste Wert, der in der Datenreihe auftaucht. Das MAXIMUM ist der größte Wert, der in der Datenreihe auftaucht. Die Differenz aus Maximum und Minimum heißt SPANNWEITE. Der mittlere Wert heißt MEDIAN. Gibt es ZWEI mittlere Werte, so werden sie addiert und durch zwei geteilt. Das Ergebnis ist dann der Median. Diese 4 Lageparameter können zur Interpretation genutzt werden. Sie dienen zur Einordnung einer einzelnen Datenreihe, können aber auch zum Vergleich mehrerer Datenreihen genutzt werden. Fast schon auf der Zielgeraden... Oh, die 3 hatten ja versprochen, im Garten zu helfen...

6 Kommentare
  1. Super Video! Ich habe alles besser verstanden!

    Von Jasmin, vor fast 2 Jahren
  2. Sehr gut
    Aber ich bin in der 9.klasse und wir hatgen das nicht und den zhema habn wir fertig

    Von ライ・インビクト, vor mehr als 2 Jahren
  3. SUPER

    Von ich will lernen, vor etwa 3 Jahren
  4. Ich finde das alles auf den Interne viel leichter ist zu verstehen als in der Schule und gerade hier versteh ich Themen die wir seit 3 Monaten haben, besser als ein Thema was ich in ein 8 Minuten video mir angeschaut habe
    .

    Von Noah, vor mehr als 3 Jahren
  5. 7 Klasse?! Ich finde Min,Max,Spannweite und Median, nicht so schwer.
    Ich gehe in die 6.Klasse und wir hatten dieses Thema (war nicht schwer).

    Von leqit, vor mehr als 3 Jahren
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