Numerische Integrationsverfahren – Rechteckverfahren

Hallo, hier ist Mandy. Wir starten in dieses Video mit einer Textaufgabe. Ein Glaser soll ein kaputtes Kirchenfenster neu verglasen. Um den Materialbedarf einschätzen zu können, benötigt er den Flächeninhalt der Fenster. Er hat die Fenster ausgemessen und erhielt die folgenden Werte: Den Flächeninhalt der rechteckigen blauen Fenster kann er leicht berechnen. Aber wie kann man den Flächeninhalt der oberen orangenen Fenster bestimmen? Dazu hilft und das Rechteckverfahren. Es ist ein vergleichsweise einfaches, numerisches Integrationsverfahren. Mit Hilfe eines solchen Verfahrens kann man den Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche näherungsweise bestimmen. Diese Methode ist genau dann sinnvoll, wenn man zum Beispiel die Integralfunktion einer Funktion nicht kennt. Das ist bei bestimmten Funktionsgleichungen der Fall. Damit wir herausfinden können, wie das Rechteckverfahren genau funktioniert, berechnen wir die Fläche einerseits mit Hilfe des Rechteckverfahrens und andererseits mit dem bestimmten Integral. Die obere Begrenzungslinie der gekrümmten, orangenen Fensterflächen kann man zum Beispiel mit Hilfe der Funktionsgleichung f(x)= -15/8 * x² + 0,3 angeben. Zur weiteren Berechnung konzentrieren wir uns auf die Funktion im Koordinatensystem. Ziel ist es, den Inhalt der Fläche zu bestimmen, die von der Funktion und der x-Achse eingeschlossen ist. Beginnen wir mit dem Rechteckverfahren. Der Name des Verfahrens gibt uns schon direkte Hinweise darauf, wie wir vorgehen müssen. Ähnlich wie bei der Streifenmessung zeichnet man mehrere Rechtecke mit gleicher Breite in das Koordinatensystem ein. Die Mittellinien der Rechtecke schneiden hierbei den Funktionsgraphen. Die abgeschnittenen orangenen Flächen lassen sich durch die überstehenden Rechteckteile nahezu kompensieren. Man wählt eine geeignete Anzahl an Rechtecken und damit die geeignete Breite der Rechtecke, indem man folgendes bedenkt: je geringer die Breite der Rechtecke ist, umso genauer wird die näherungsweise bestimmte Lösung. Aber je geringer die Breite der Rechtecke ist, umso aufwendiger ist auch der Rechenweg. Wie berechnet man nun mit Hilfe solcher Rechtecke den Flächeninhalt näherungsweise? f sei eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion. In der Zeichnung sehen wir bereits eine stetige Funktion in dem Intervall [a, b] mit mehreren Rechtecken. Allgemein bezeichnet man die Anzahl der Rechtecke mit n. Wenn wir nun die Rechtecke einzeln betrachten, dann heißen die x-Werte der Schnittpunkte der Mittellinien mit der x-Achse jeweils x₀, x₁...x_(n-1). Beziehungsweise allgemein x_i. Die Breite der Rechtecke kann man allgemein durch (b - a)/n berechnen. Diese x-Werte lassen sich durch die Formel x_i = a + i * ((b - a)/n) + ((b - a)/2n) berechnen, wobei 0 ≤ i ≤ n-1 liegen muss. Von a aus erreichen wir x_i, indem wir als erstes zu a die i-fache Rechteckbreite (b - a)/n addieren und dann noch eine halbe Rechteckbreite hinzufügen. Damit landen wir zum Beispiel für x₀ hier und für x₁ hier und so weiter. Die x_i benötigen wir insbesondere, um die dazugehörige Länge der Rechtecke zu bestimmen. Die Länge bezeichnen wir dann entsprechend mit y₀, y₁ und so weiter bis y_n-1 beziehungweise allgemein y_i. Sie können wir allgemein berechnen durch y_i = f(x_i) = f(a + i * ((b - a)/n) + ((b - a)/2n)). Den Flächeninhalt der Rechtecke erhalten wir, indem wir die Länge und Breite multiplizieren. Also A(Rechteck) = ((b - a)/n) * y_i. Nun müssen wir die einzelnen Rechtecksflächen noch addieren, also = ((b - a)/n) * y₀ + ((b - a)/n) * y₁ + … + ((b - a)/n) y_n-1. Den Faktor (b - a)/n kann man ausklammern. = ((b - a)/n) * (y₀ + y₁ + … + y_n-1). Das entspricht näherungsweise dem bestimmten Integral: Integral von [a, b] f(x)dx. Mit Hilfe dieser Formel kann das zugehörige bestimmte Integral näherungsweise berechnet werden. Die allgemeine Näherungsformel zum Rechteckverfahren lautet: f sei eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion. Dann gilt die Näherungsformel : Integral von [a, b] f(x)dx ist rund (b - a)/n * (y₀ + y₁ + … + y(n-1)) mit y_i = f(x_i) = f(a + i * ((b - a)/n) + ((b - a)/2n)), wobei 0 ≤ i ≤ n-1. Wenden wir jetzt die Formel auf unser obiges Beispiel an. Gegeben ist das Intervall [-0,4; 0,4]. Dies können wir den Angaben des Glases entnehmen. Wir wählen für die Anzahl der Rechtecke n = 8. Damit ergibt sich die folgende Zeichnung. Um den Überblick über die Werte zu behalten, legen wir zunächst eine Tabelle an. Dazu tragen wir im Tabellenkopf i, x_i und y_i = f(x_i) ein. Da 0 ≤ i ≤ n-1 liegt, tragen wir in der ersten Spalte die Werte null bis sieben ein. Nun berechnen wir x_i = a + i * ((b - a)/n) + ((b - a)/2n), wobei 0 ≤ i ≤ n-1 liegt. Wir rechnen zuerst (b - a)/n = (0,4 - (-0,4))/8 = 0,1. x₀ = -0,4 + 0 * 0,1 + 0,05 = -0,35. In unserem Beispiel kann man das auch schnell von der Achse ablesen. Die restlichen x-Werte ergeben sich analog. Den dazugehörigen y-Wert erhalten wir dann, indem wir den x-Wert in die Funktionsgleichung f(x) einsetzen, y_i = f(x_i). Machen wir nun das Beispiel y₀ gemeinsam. Dafür setzen wir x₀ mit -0,35 in die Funktionsgleichung ein und erhalten = (-15/8) * (-0,35)² + 0,3, was rund 0,070 ist. Die anderen y-Werte erhalten wir analog. Jetzt setzen wir alle Werte in die Näherungsgleichung ein: 0,1 * (0,070 + 0,183 + ... und so weiter bis + 0,070). Was rund 0,1612 ist. Zum Vergleich berechnen wir nun diesen Flächeninhalt mit Hilfe des bestimmten Integrals: Wir berechnen Integral von [-0,4; 0,4] f(x)dx = Integral von [-0,4, 0,4] ((-15/8)x² + 0,3)dx = 0,16. Wir sehen, dass das Rechteckverfahren eine sehr genaue Lösung liefert. Der Flächeninhalt des orangenen Fensters beträgt demnach in etwa 0,1612 m². Das war es schon wieder von mir. Daher sag ich nun Bye Bye und bis zum nächsten mal.