Oktaeder im Raum – Oberflächeninhalt und Volumen

Oktaeder im Raum – Oberflächeninhalt und Volumen Übung

• Berechne mithilfe des Vektorprodukts der beiden Vektoren den Flächeninhalt eines Seitendreiecks.

  Tipps

  Du erhältst den Verbindungsvektor zweier Punkte $P$ und $Q$, indem du die Ortsvektoren wie folgt subtrahierst:

  $\vec{PQ}=\vec q-\vec p$.

  Hier siehst du ein Beispiel für die Berechnung des Vektorproduktes:

  • Schreibe bei beiden Vektoren die ersten beiden Koordinaten nochmals unter die Vektoren.
  • Multipliziere über Kreuz die Elemente der zweiten und dritten Zeile.
  • Subtrahiere von dem Produkt der Elemente von oben links nach unten rechts das Produkt der Elemente von unten links nach oben rechts.
  • Ebenso berechnest du, wie hier zu sehen, die übrigen Koordinaten.

  Der Betrag oder die Länge eines Vektors berechnest du, indem du

  • jede einzelne Koordinate quadrierst,
  • die Quadrate addierst und
  • die Wurzel aus der Summe ziehst.

  Lösung

  Eines der Seitendreiecke hat die Ecken $A$, $B$ und $S$.

  Um die Fläche dieses Dreiecks zu berechnen, muss das Vektorprodukt der beiden Vektoren

  $\vec u=\vec{AB}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

  sowie

  $\vec W=\vec{AS}=\begin{pmatrix}0,5\\0,5\\1\end{pmatrix}$

  berechnet werden:

  $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,5\\0,5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot 1-0\cdot 0,5\\0\cdot 0,5-1\cdot 1\\1\cdot 0,5-0\cdot 0,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0,5\end{pmatrix}$

  Die Hälfte des Betrages dieses Vektors ist der Flächeninhalt eines Seitendreiecks:

  $A=\frac12\cdot \sqrt{0^2+(-1)^2+0,5^2}=\frac12\cdot \sqrt{1,25}$.

  Damit kann die Gesamtoberfläche des Oktaeders berechnet werden:

  $O=8\cdot \frac12\cdot \sqrt{1,25}=4\cdot \sqrt{1,25}\approx 4,47$.

  Die Oberfläche beträgt $4,47~cm^2$.

• Bestimme das Volumen des Oktaeders.

  Tipps

  Beachte, dass der Ortsvektor des Punktes $A$ der Nullvektor ist.

  Damit ist der Verbindungsvektor von diesem Punkt zu einem anderen Punkt $P$ gerade der Ortsvektor des anderen Punktes

  $\vec{AP}=\vec{OP}=\vec p$.

  Das Vektorprodukt zweier Vektoren wird wie folgt berechnet:

  • Für die erste Koordinate: Multipliziere die zweite Koordinate des linken Vektors mit der dritten des rechten und ziehe davon das Produkt der dritten Koordinate des linken Vektors und der zweiten des rechten ab.
  • Für die zweite Koordinate: Multipliziere die dritte Koordinate des linken Vektors mit der ersten des rechten und ziehe davon das Produkt der ersten Koordinate des linken Vektors und der dritten des rechten ab.
  • Für die dritte Koordinate: Multipliziere die erste Koordinate des linken Vektors mit der zweiten des rechten und ziehe davon das Produkt der zweiten Koordinate des linken Vektors und der ersten des rechten ab.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren erhältst du so:

  1. Multipliziere die Koordinaten der beiden Vektoren miteinander und
  2. addiere die Produkte.

  Lösung

  Der Vektor $\vec w$ ist bereits zu sehen. Bleiben noch die beiden anderen Vektoren

  $\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

  sowie

  $\vec v=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

  Das Vektorprodukt $\vec u\times \vec v$ lässt sich so berechnen

  $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot 0-0\cdot 1\\0\cdot 0-1\cdot 0\\1\cdot 1-0\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

  Zuletzt muss noch das Skalarprodukt

  $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0,5\\0,5\\1\end{pmatrix}=1$

  berechnet werden.

  Damit ist das Volumen des Oktaeders $V=\frac23\cdot 1=\frac23$ [$cm^3$].

• Leite den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Punkten $P(3|2|1)$, $Q(1|-1|-3)$ sowie $R(-2|2|2)$ her.

  Tipps

  Der Verbindungsvektor zweier Punkte ist die Differenz des Ortsvektors des Endpunktes und des Ortsvektors des Anfangspunktes.

  Verwende diese Rechnung für das Vektorprodukt.

  Der Betrag (oder die Länge) eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe aus den Koordinatenquadraten.

  Lösung

  Mit den Punkten $P(3|2|1)$, $Q(1|-1|-3)$ sowie $R(-2|2|2)$ erhält man

  $\vec a=\vec{PR}=\begin{pmatrix} -2 \\2\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\\ 0\\\ 1 \end{pmatrix}$.

  Ebenso kann der andere Vektor bestimmt werden:

  $\vec b=\vec{PQ}=\begin{pmatrix} -2 \\\ -3\\\ -4 \end{pmatrix}$.

  Mit diesen Vektoren und der Formel

  $A_{\text{Dreieck}}=\frac12\cdot\left|\vec a\times \vec b\right|$

  kann nun der Flächeninhalt berechnet werden:

  $\vec a\times \vec b=\begin{pmatrix} -5 \\\ 0 \\\ -1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -2 \\\ -3\\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0-3 \\\ 2-20\\\ 15-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\\ -18\\\ 15 \end{pmatrix}$.

  Nun muss nur noch die Länge dieses Vektors berechnet werden:

  $\left|\begin{pmatrix} -3 \\\ -18\\\ 15 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(-18)^2+15^2}=\sqrt{558}$.

  Dann ist

  $A_{\text{Dreieck}}=\frac12\cdot\sqrt{558}\approx 11,8$ [FE].

• Gib an, wie groß das Volumen der Rampe ist.

  Tipps

  Beachte: $1$ LE entspricht $10~m$. Das bedeutet, das $1$ VE (Volumeneinheit) $(10~m)\cdot (10~m)\cdot(10~m)=1000~m^3$ entspricht.

  Zeichne dir den kompletten Spat auf. Dafür kannst du das Viereck $ABEF$ parallel verschieben, so dass die Seite $\overline{AB}$ auf $\overline{CD}$ liegt.

  Die Vektoren sind

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{AF}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{AD}=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$.

  Lösung

  Die Punkte sind: $A(0|0|0)$, $B(1|0|0)$, $C(2|1|1)$, $D(1|1|1)$, $E(2|2|0$ sowie $F(1|2|0)$.

  Diese Rampe ist die Hälfte eines Spats, auch Parallelepiped genannt. Dessen Volumen wird wie folgt berechnet:

  $V=|(\vec{AB}\times\vec{AF})\cdot \vec{AD}|$.

  Somit ist das Volumen der Rampe

  $V_R=\frac12\cdot|(\vec{AB}\times\vec{AF})\cdot \vec{AD}|$.

  Zunächst bestimmt man die benötigten Vektoren

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{AF}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{AD}=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$.

  Damit ist

  $V_R=\frac12\cdot \left|\left(\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\right|$.

  Nun wird das Vektorprodukt berechnet:

  $V_R=\frac12\cdot \left|\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\right|=\frac12\cdot 2=1$

  Das Volumen der Rampe beträgt also $V=(10~m)\cdot(10~m)\cdot (10~m)=1000~m^3$.

• Gib die Masse des Oktaeders an.

  Tipps

  Die Maßeinheit für ein Volumen ist zum Beispiel $cm^3$ oder $m^3$ .

  Das Volumen steht in der Dichte-Formel im Nenner. Du musst also mit dem Volumen multiplizieren.

  Lösung

  Der Rubin hat ein Volumen von

  $V=\frac23 ~cm^3$

  sowie die Dichte

  $\rho=4~\frac{g}{cm^3}$.

  Diese bekannten Größen werden in der Formel für die Dichte

  $\rho=\frac mV$

  eingesetzt und man erhält

  $4~\frac{g}{cm^3}=\frac m{\frac23 ~cm^3}$.

  Nun multipliziert man mit dem bekannten Volumen und erhält

  $m=4~\frac{g}{cm^3}\cdot \frac23 ~cm^3=\frac83 g$.

  Dies ist die Masse des Rubins.

• Wende die Formel mit dem Vektorprodukt an, um die Oberfläche der Rampe zu berechnen.

  Tipps

  Wenn du alle Flächeninhalte berechnet hast, erhältst du die Oberfläche der Rampe so:

  $O_R=A_1+A_2+A_3+2\cdot A_4$.

  Die Rechtecke sind Parallelogramme.

  Verwende die Formel $A=|\vec u\times \vec v|$,

  wobei $\vec v$ und $\vec v$ die Verbindungsvektoren von jeweils zwei Punkten ist. Die Vektoren dürfen nicht kollinear sein.

  Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Flächeninhaltes eines Parallelogramms.

  Lösung

  Die Oberfläche dieser Rampe besteht aus den Vierecken $ABCD$, $ABEF$ und $CDEF$ sowie den beiden kongruenten Dreiecken $BCE$ und $ADF$.

  Die Eckpunkte sind $A(0|0|0)$, $B(1|0|0)$, $C(2|1|1)$, $D(1|1|1)$, $E(2|2|0)$ sowie $F(1|2|0)$.

  Zunächst werden alle einzelnen Flächen berechnet:

  Berechnen wir zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms $ABCD$:

  $\begin{array}{rcl} A_1&=&|\vec{AB}\times\vec{AD}|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\sqrt{(-1)^2+1^2}\\ &=&\sqrt2\approx1,4 \end{array}$

  Also ist $A_1\approx140~m^2$.

  Schauen wir uns nun den Flächeninhalt von $CDEF$ an:

  $\begin{array}{rcl} A_2&=&|\vec{DC}\times\vec{DF}|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0\\ 1\\-1 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\sqrt{1^2+1^2}\\ &=&\sqrt2\approx1,4 \end{array}$

  Also ist $A_2\approx140~m^2$.

  Ebenso untersuchen wir das Parallelogramm $ABEF$:

  $\begin{array}{rcl} A_3&=&|\vec{AB}\times\vec{AF}|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\0 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\sqrt{4}\\ &=&2 \end{array}$

  Also ist $A_3=200~m^2$.

  Zuletzt betrachten wir das Dreieck $ADF$

  $\begin{array}{rcl} A_4&=&\frac12\cdot|\vec{AD}\times\vec{AF}|\\ &=&\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\ 2\\0 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\frac12\cdot\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}\\ &=&\frac12\cdot\sqrt6\approx1,2 \end{array}$

  Also ist $A_4\approx120~m^2$.

  Die jeweiligen Ergebnisse wurden mit einer FE, also $100~m^2$, multipliziert.

  Zuletzt werden die Flächen addiert:

  $O_R=A_1+A_2+A_3+2\cdot A_4\approx140~m^2+140~m^2+200~m^2+2\cdot120~m^2=720~m^2$.

  Die gesamte Oberfläche beträgt also ungefähr $720~m^2$.