Potenzgleichungen lösen – Beispiele

Potenzgleichungen lösen – Beispiele Übung

• Vervollständige den Lückentext zu Potenzgleichungen.

  Tipps

  Bei der Unterscheidung von Potenzgleichungen wird immer der Exponent betrachtet.

  Der Exponent ist entweder eine natürliche Zahl $(n)$ oder eine rationale Zahl $(\frac{m}{n})$.

  Potenzgleichungen mit natürlichen Exponenten können zwei, eine oder keine Lösung haben, was davon abhängt, ob der Exponent gerade oder ungerade ist, und ob das Ergebnis der Potenzgleichung größer, kleiner oder gleich Null sein soll.

  Lösung

  Potenzgleichungen können mit einem natürlichen oder einem rationalen Exponenten auftreten (Bild).

  Ist der Exponent natürlich, so ist er ein Element der natürlichen Zahlen. Solche Potenzgleichungen können zwei, eine oder keine Lösung haben, je nach dem, ob n gerade oder ungerade ist. Außerdem muss man betrachten, ob a positiv, negativ oder gleich Null ist.

  Bei Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten gehören sowohl m als auch n zur Zahlenmenge der ganzen Zahlen. Der rationale Exponent kann positiv oder negativ sein.

  Beachte, dass Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten nur für $x\ge 0$ definiert sind.

• Gib die Lösungsmenge der Potenzgleichung an.

  Tipps

  Der Exponent ist eine gerade natürliche Zahl. Somit kann die Potenzgleichung eine, zwei oder keine Lösung haben.

  Das Ergebnis ist positiv, daher muss es genau zwei Lösungen geben.

  Lösung

  Um hier auf die Lösung zu kommen, müssen wir nur die passende Wurzel ziehen.

  Ziehen wir in diesem Fall die vierte Wurzel aus $81$, so erhalten wir zwei Ergebnisse:

  $x_1=3$ und $x_2=-3$.

  Somit sieht die Lösungsmenge so aus:

  $\mathbb{L}=\{ -3 ; 3 \}$.

• Ermittle die Potenzgleichung, deren Lösungsmenge leer ist.

  Tipps

  Leere Lösungsmengen kann es nur bei Potenzgleichungen mit natürlichem Exponenten geben.

  Keine Lösung bedeutet, dass während der Rechnung (meist beim Ziehen der Wurzel) ein Widerspruch oder Fehler auftritt.

  Aus negativen Zahlen lässt sich nur unter bestimmten Umständen eine Wurzel ziehen.

  Lösung

  Erinnern wir uns an die Merkregeln für Potenzgleichungen.

  Bei Potenzgleichungen mit einem geraden natürlichen Exponenten kann es eine, zwei oder keine Lösung geben. Wenn keine Lösung existiert, ist die Lösungsmenge leer.

  Wichtig ist zu beachten, dass man aus negativen Zahlen nur die n-te Wurzel ziehen kann, wenn n ungerade ist. Das bedeutet, die Gleichungen mit ungeradem natürlichem Exponenten haben alle mindestens eine Lösung.

  Ist der Exponent ein Bruch, so haben wir in jedem Fall eine Lösung, egal ob dieser positiv oder negativ ist.

  Es bleiben die zwei Gleichungen mit einem geraden natürlichen Exponenten übrig.

  Wir erinnern uns weiter daran, dass eine solche Potenzgleichung keine Lösung haben kann, wenn ihr Ergebnis kleiner ist als Null.

  Die Gleichung $x^4 = -124$ besitzt daher keine Lösung und hat somit eine leere Lösungsmenge.

  Das Lösen solcher Aufgaben durch das Ausschlussverfahren kann dir viel Zeit und Rechnen sparen.

• Ordne jeder Potenzgleichung ihre Lösungsmenge zu.

  Tipps

  Versuche den Bruch aus dem Exponenten in eine natürliche Zahl umzuwandeln, indem du beide Seiten der Gleichung mit der selben Zahl potenzierst. Natürlich bringen nur ganz bestimmte Zahlen (entsprechend der Form des Bruches) den gewünschten Effekt.

  Beachte die abgebildete Potenzregel.

  Ein Beispiel:

  $(x^\frac12)^2 = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^1 =x$

  Unter bestimmten Umständen existieren leere Lösungsmengen. Das passiert zum Beispiel, wenn sich innerhalb der Rechnung ein Widerspruch ergibt.

  Lösung

  Wir berechnen die Lösungsmengen der Gleichungen der Reihe nach. Beginnen wir mit der ersten.

  Dazu formen wir den Bruch in eine ganze Zahl und ziehen anschließend die Wurzel.

  $\begin{align} \large{x^\frac{3}{4}} &= 8 &|& (~)^4 \\ \large{x^\frac{3 \cdot 4}{4}} &= 8^4 && \\ x^3 &= 4096 &|& \sqrt[3]{~} \\ x &= 16 \\ \end{align}$

  Die gesuchte Lösungsmenge lautet demnach:

  $\mathbb{L}=\{16\}$.

  Als nächstes die Potenzgleichung mit Vorfaktor. Diese lässt sich folgendermaßen lösen:

  $\begin{align} 3 \cdot x^3 &= 192 &|& :3 \\ x^3 &= 64 &|& \sqrt[3]{~} \\ x &= 4 && \end{align}$

  Hier lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{4\}$.

  Nun zu der Potenzgleichung mit der Wurzel. Diese muss zunächst eliminiert werden, damit man eine reine Potenzgleichung vorfindet:

  $\begin{align} \sqrt{-3 \cdot x^3} &= -9 &|& (~)^2 \\ -3 \cdot x^3 &= 81 &|& :(-3) \\ x^3 &= -27 &|& \sqrt[3]{~} \\ x &= -3 && \end{align}$

  Aus einer Potenzgleichung mit ungeradem Exponenten und negativem Ergebnis erhält man genau eine Lösung. Die Lösungsmenge hier lautet:

  $\mathbb{L}=\{-3\}$.

  Nun zur letzten Potenzgleichung, bei der man es sich sehr einfach machen kann, wenn man die Regeln genau kennt.

  Für $x^2=-74$ kann es keine Lösung geben, da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen darf. Damit ist die Lösungsmenge hier ein leere Menge:

  $\mathbb{L}=\{~\}$.

• Nenne die richtige Lösungsmenge.

  Tipps

  Der Exponent ist ungerade, es kann also nur eine Lösung in der Lösungsmenge stehen.

  Das Ergebnis der Potenzgleichung ist negativ, die Lösung für $x$ lässt sich also so ermitteln:

  Merke: Aus negativen Zahlen lässt sich die $n$-te Wurzel ziehen, wenn $n$ ungerade ist.

  Lösung

  Wir versuchen die Gleichung umzuformen, um die Wurzel ziehen zu können. Danach betrachten wir das Ergebnis und ziehen eine wichtige Schlussfolgerung.

  $\begin{align} x^3 &= -8 &|&\cdot (-1) \\ -x^3 &= 8 && \\ (-x)^3 &= 8 &|& \sqrt[3]{~} \\ -x &= \sqrt[3]{8} && \\ -x &= 2 &|& \cdot (-1) \\ x &=-2 && \end{align}$

  Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{-2\}$.

  Somit lernen wir, dass wir aus negativen Zahlen die $n$-te Wurzel ziehen können, wenn das $n$ ungerade ist.

• Bestimme die Lösung für $x$.

  Tipps

  Versuche durch geeignetes Potenzieren die Wurzel zu eliminieren.

  Als nächstes muss durch passende Multiplikation der Bruch auf der rechten Seite verschwinden.

  Geschicktes Wurzelziehen führt dich am Ende zur Lösung, aber achte auf die Vorzeichen!

  Beachte diese Potenzregel:

  Lösung

  Hier müssen wir mehrere Umformungen durchführen, um auf das gesuchte Ergebnis zu kommen.

  $\begin{align} \sqrt{-x^3} &= -\frac{42}{x} &|& (~)^2 \\ -x^3 &= (-\frac{42}{x})^2 && \\ -x^3 &= \frac{1764}{x^2} &|& \cdot x^2 \\ -x^3 \cdot x^2 &= 1764 && \\ -x^5 &= 1764 &|& \sqrt[5]{} \\ -x &= \sqrt[5]{1764} &|& \cdot (-1) \\ x &= - \sqrt[5]{1764} && \\ x &= - 4,459639117 && \end{align}$

  Der gerundete Wert für $x$ ist also:

  $x=-4,46$.