Proportionale Funktionen – Einführung
Proportionale Funktionen in der Mathematik erklären, wie Preis und Menge zusammenhängen. Mithilfe von Wertetabellen und Graphen kannst du die Funktionsgleichung bestimmen. Möchtest du wissen, wie viel Arwin für $51$ Drinks bezahlen muss? Klingt interessant? Das und noch vieles mehr erwartet dich im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Proportionale Funktionen – Einführung
Proportionale Funktionen in der Mathematik
Ricky, der Barmann, verkauft Drinks im Outback. Heute sind Kokosdrinks im Angebot: Drei Stück kosten neun Bananen. Wie viele Bananen muss sein Kunde Arwin bezahlen, wenn er $51$ Drinks benötigt?
Das können wir mit einer proportionalen Funktion berechnen. Aber was ist eine proportionale Funktion? Das wollen wir uns im Folgenden genauer anschauen.
Proportionale Funktion – Erklärung
Einführung
Wir beginnen damit, eine Wertetabelle aufzustellen. Wir wissen, dass drei Kokosdrinks neun Bananen kosten. Für null Drinks muss Arwin natürlich auch nichts, also null Bananen, bezahlen. Da der Verkauf eine proportionale Zuordnung ist, müssen alle Wertepaare quotientengleich sein. Wenn wir also den Preis für einen Drink bestimmen wollen, müssen wir sowohl die Anzahl der Drinks als auch den Preis durch dieselbe Zahl dividieren. Um von drei auf eins zu kommen, müssen wir durch drei teilen. Also müssen wir auch neun durch drei teilen. Damit erhalten wir einen Preis von drei Bananen für einen Kokosdrink. Nach diesem Muster können wir die folgende Tabelle aufstellen:
| Anzahl Kokosdrinks $(x)$ | Preis in Bananen $f(x)$ |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 3 | 9 |
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
Die Anzahl der Kokosdrinks nennen wir $x$ – das ist die unabhängige Variable. Den Preis nennen wir Funktionswert $f(x)$. Er ist abhängig von der Variablen $x$, also der Anzahl an Kokosdrinks.
Proportionale Funktion – Graph
Wir wollen nun den Graphen der proportionalen Funktion zeichnen. Die Graphen proportionaler Funktionen sind immer Geraden. Wir können die Wertepaare einzeichnen und durch eine gerade Linie miteinander verbinden.
Die Steigung $m$ der Geraden gibt an, wie steil der Graph ansteigt. Wir können sie grafisch bestimmen, indem wir einen Punkt auswählen und die Schritte nach oben durch die Schritte nach rechts teilen. Dabei zählen wir vom Koordinatenursprung, also dem Punkt $(0|0)$, aus:
$m = \frac{ \text{ Schritte nach oben} }{ \text{ Schritte nach rechts } }$
Als Beispiel betrachten wir den Punkt $(2|6)$. Der $x$-Wert beträgt zwei, also gehen wir vom Koordinatenursprung zwei Schritte nach rechts. Der $y$-Wert beträgt sechs, weshalb wir vom Koordinatenursprung sechs Schritte nach oben gehen müssen. Wir setzen beide Werte in die Gleichung ein:
$m = \frac{6}{2} = \frac{3}{1} = 3$
Die Steigung $m$ ist also $3$. Diesen Wert würden wir mit jedem anderen Wertepaar ebenso erhalten. Wählen wir beispielsweise den Punkt $(1|3)$:
$m = \frac{3}{1} = 3$
Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion
Um den Preis für $51$ Kokosdrinks zu bestimmen, wollen wir die Funktionsgleichung bestimmen. Die Gleichung einer proportionalen Funktion hat immer die folgende Form:
$f(x) = m \cdot x$
Die Steigung $m$ haben wir schon bestimmt. Wir müssen sie also nur noch einsetzen und erhalten so die spezifische Funktionsgleichung:
$f(x) = 3 \cdot x$
Mit dieser Gleichung können wir den Preis $f(x)$ für jede beliebige Anzahl $x$ von Drinks bestimmen. Dazu müssen wir nur den entsprechenden Wert $x$ in die Gleichung einsetzen. Da Arwin $51$ Drinks benötigt, setzen wir $x=51$ in die Gleichung ein:
$f(51) = 3 \cdot 51 = 153$
Arwin muss also $153$ Bananen bezahlen. Ganz schön teuer!
Proportionale Funktion – Beispiel mit negativer Steigung
Das Känguru Thorsten möchte $16$ Melonendrinks kaufen. Zwei Melonendrinks kosten zwei Bananen. Leider hat Thorsten momentan gar keine Bananen, aber er darf seinen Einkauf bei Ricky anschreiben – er bekommt also Melonendrinks, hat dafür aber Schulden bei Ricky. Wir erstellen auch für dieses Beispiel eine Wertetabelle. Die Anzahl der Bananen tragen wir allerdings mit einem Minuszeichen ein, da es sich um Schulden handelt.
| Anzahl Melonendrinks $(x)$ | Anzahl Bananen $f(x)$ |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 2 | −5 |
| 4 | −10 |
Wir wollen auch hier die Steigung bestimmen – dieses Mal allerdings rechnerisch. Dazu stellen wir die Funktionsgleichung für proportionale Funktionen nach $m$ um:
$f(x) = m \cdot x ~ ~ ~ |:x$
$\Leftrightarrow m = \frac{f(x)}{x}$
So können wir die Steigung mithilfe der Wertepaare berechnen. Wir dürfen nur $x=0$ nicht verwenden – denn durch null können wir nicht teilen. Nutzen wir zunächst das Wertepaar $(2|-5)$, erhalten wir:
$m = \frac{-5}{2}$
Wir setzen auch das Wertepaar $(-10|4)$ ein, um unser Ergebnis zu überprüfen:
$m = \frac{-10}{4} = \frac{-5}{2}$
Die Steigung der Geraden beträgt also $m = - \frac{5}{2}$. Eingesetzt in die Geradengleichung erhalten wir:
$f(x) = - \frac{5}{2} \cdot x$
Wir können auch hier den Graphen der Funktionsgleichung zeichnen, indem wir die Wertepaare als Punkte auftragen und sie mit einer Geraden verbinden.
Da die Steigung in diesem Fall negativ ist, ist der Graph eine fallende Gerade. Je mehr Melonendrinks Thorsten kauft, desto mehr Schulden hat er. Wie hoch seine Schulden genau sind, wenn er $16$ Melonendrinks kauft, können wir berechnen, indem wir $x=16$ in die Funktionsgleichung einsetzen:
$f(16) = - \frac{5}{2} \cdot 16 = 40$
Nach dem Kauf schuldet Thorsten Ricky also $40$ Bananen. Eine ganze Menge!
Transkript Proportionale Funktionen – Einführung
Ricky, der Barmann, verkauft Drinks im Outback ein tolles Geschäft. Sein heutiges Angebot: Für drei Kokosdrinks, verlangt er nur neun Bananen. Sein Kunde, Arwin, plant eine Party, für die er genau 51 Kokosdrinks benötigt. Wie viele Bananen muss Arwin dafür bezahlen? Der Verkauf ist ein proportionaler Zusammenhang - und solche Zusammenhänge, berechnen wir auch mit proportionalen Funktionen. Hierzu erstellen wir zunächst eine Wertetabelle. In die erste Spalte, tragen wir die Anzahl der Kokosdrinks ein und in die zweite Spalte die Anzahl der Bananen. "Wir gehen von 0 und 3 Kokosdrinks aus... und wollen noch die Bananenpreise für einen und zwei Kokosdrinks berechnen." Die bekannten Bananenpreise schreiben wir in die zweite Spalte. Die Kosten für Null Kokosdrinks betragen dabei natürlich Null Bananen. Doch wie kommen wir auf die unbekannten Werte? Wir betrachten zunächst, um welchen Faktor sich der Wert in der ersten Spalte von einem Schritt zum anderen verändert. Hier teilen wir "durch drei"! Der Wert in der zweiten Spalte muss dann ebenfalls, "durch drei" geteilt werden. Ein Kokosdrink kostet also drei Bananen. Für zwei Kokosdrinks nehmen wir in der Spalte "mal zwei" also auch in der anderen "mal zwei" und so erhalten wir den Preis von 6 Bananen! Da wir eine proportionale Funktion aufstellen möchten, ersetzen wir hier unsere beiden Größen mit Variablen: Für die Anzahl der Kokosdrinks wählen wir die Variable x und davon abhängig schreiben wir f von x für die Anzahl der Bananen. Diese Variablen ergänzen wir in der Wertetabelle. Nun wollen wir den Funktionsgraphen zeichnen. Merke dir: Der Graph einer proportionalen Funktion ist immer, eine gerade durch den Koordinatenursprung. Deshalb muss auch unser Graph, eine Gerade sein er stellt alle möglichen Paare von Kokosdrinks und Bananen dar. Wie stark die Gerade steigt, gibt die sogenannte Steigung an. Ausgehend von den Paaren unserer Wertetabelle, wollen wir nun Punkte zur Bestimmung unseres Graphen einzeichnen. Unser erstes Wertepaar (0,0), ist der Koordinatenursprung. Das Wertepaar (3,9), ist DIESER Punkt. Der Punkt (1,3), liegt hier und (2,6), hier. Durch diese Punkte zeichnen wir nun unsere Gerade. Die Steigung dieser Geraden können wir graphisch bestimmen, indem wir die "Anzahl der Schritte nach oben", durch die "Anzahl der Schritte nach rechts" teilen. Wir betrachten hierzu die Punkte " Null-Null" und "Zwei-Sechs". Ausgehend vom ersten Punkt gehen wir zwei Schritte nach rechts und sechs Schritte nach oben. So erhalten wir ein Steigungsdreieck mit einem Seitenverhältnis von "sechs Halben". Die übernehmen wir in unsere Rechnung und das ergibt 3. Ebenso könnten wir auch die Punkte (0,0) und (1,3) betrachten. Dann würden wir einen Schritt nach rechts und drei Schritte nach oben machen und somit eine Steigung von drei einteln also wieder 3 erhalten. Doch wie lesen wir nun die erforderliche Bananenanzahl für 51 Kokosdrinks ab? Jede Funktion kannst du mit der zugehörigen Funktionsgleichung beschreiben. Proportionale Funktionen haben immer die Form "f von x" gleich "m mal x". Den ermittelten Wert für unsere Steigung, also 3 setzen wir nun für m in die Funktionsgleichung ein. Wir haben unsere spezifische Funktionsgleichung gefunden und können damit für jeden x-Wert den zugehörigen Funktionswert "f von x" berechnen. Dabei steht das x immer noch für die Anzahl der Kokosdrinks und das "f von x" für die zugehörige Bananenanzahl. Nun wollen wir für 51 Kokosdrinks den Bananenpreis "f von 51" ermitteln. Setzen wir für x den Wert 51 in die Gleichung ein, erhalten wir 3 mal 51, also 153 Bananen. Das wird wohl eine teure Party für Arwin - gut, dass er vorgesorgt hat. Rickys nächster Kunde ist das Känguru Thorsten. Thorsten möchte gern 16 Melonendrinks haben. zwei Melonendrinks kosten fünf Bananen. Da Thorsten jedoch keine Bananen hat, muss er für seinen Einkauf wohl oder übel Schulden bei Ricky aufnehmen. Auch für diesen Fall erstellen wir uns eine Wertetabelle. Diesmal steht die Variable x, für die Anzahl der Melonendrinks und die abhängige Variable "f von x" wieder für die Bananenanzahl. Diesmal wollen wir aber miteinbeziehen, dass Thorsten sich mit dieser Bananenanzahl verschuldet. Um dies kenntlich zu machen, werden wir alle zugehörigen Werte mit einem negativem Vorzeichen versehen. Für die Anzahl der Melonendrinks tragen wir null, zwei und vier in unsere Tabelle ein. Die Bananen, die Thorsten dafür bezahlen muss, sind für Null Drinks auch Null Bananen! Und für 2 Melonendrinks fünf Bananen! Weil es aber Schulden sind, mit negativem Vorzeichen. Um die Bananenanzahlo für 4 Drinks zu berechnen, schauen wir uns den Faktor auf dieser Seite an: hier nehmen "mal zwei". das machen wir auch auf der anderen Seite und erhalten die zu vier Melonendrinks gehörigen Schulden von "minus zehn" Bananen. In einer dritten Spalte berechnen wir diesmal die Steigung m, indem wir Funktionsgleichung f von x gleich m mal x, nach m umstellen. Null durch Null geht nicht, denn durch null dürfen wir nicht teilen. Aus dieser Zeile erhalten wir den Quotienten "minus 5, geteilt durch 2", also "minus 5 Halbe! Aus dieser Zeile ergibt sich der Quotient "minus 10, geteilt durch 4" gekürzt also ebenfalls "minus 5 Halbe! Somit erhalten wir für alle Wertepaare den gleichen Quotienten. Da Quotientengleichheit vorliegt, haben wir hier auf jeden Fall eine proportinale Zuordnung! Zudem entspricht der Quotient m, der Steigung der zugehörigen proportionalen Funktion! - Diesmal haben wir sie also nicht graphisch über das Steigungsdreieck ermittelt sondern rechnerisch! Aber auch so können wir wieder die Steigung, "minus 5 halbe", in die allgemeine Funktionsgleichung "f von x" gleich "m mal x" einsetzen und erhalten so unsere spezifische Funktionsgleichung. Dabei steht das x hier für die Anzahl der Melonendrinks und das "f von x" für die zugehörige Bananenanzahl. Wir wollen für 16 Melonendrinks den Bananenpreis "f von 16" ermitteln. Dafür setzen wir für x, in die Gleichung den Wert 16 ein, diesen Ausdruck können wir noch kürzen und so erhalten wir "minus 40" Bananen als Ergebnis! - Ob es klug ist, so viele Schulden aufzunehmen? Schauen wir uns der Vollständigkeit halber noch den zugehörigen Funktionsgraphen an. Zum Zeichnen einer Geraden genügen uns bereits zwei Punkte. - Die entnehmen wir der Tabelle! Wir verbinden die Punkte (0,0) und (2, -5) im Koordinatensystem. Es ergibt sich eine fallende Gerade. Merke dir: Eine negative Steigung liefert immer eine fallende Gerade. Lass uns das alles noch kurz zusammenfassen. Eine Darstellungsmöglichkeit, ist eine Wertetabelle zwischen den Werten einer Variablen x, und den davon abhängigen Werten "f von x". Hier kannst du noch den Quotienten der Einträge "f-von-x geteilt duch x" betrachten wenn der Quotient überall gleich ist, handelt es sich um die Wertepaare einer proportionalen Funktion und der Quotient, entspricht der Steigung der Funktion. Den Funktionsgraphen einer proportionalen Funktion kannst du anhand von zwei Punkten einzeichnen und der Graph ist immer eine gerade durch den Koordinatenursprung. Zu jeder Geraden kannst du ein Steigungsdreieck einzeichnen. Das Seitenverhältnis entspricht dabei ebenfalls der Steigung der Funktion. Ist die Steigung positiv, so liegt eine steigende Gerade vor. Bei einer negativen Steigung ist die Gerade fallend. Eine proportionale Funktion, kannst du bei bekannter Steigung m, auch mit der Funktionsgleichung "f von x" gleich "m mal x" darstellen. Dafür setzt du den Wert für m in die allgemeine Gleichung ein und schon hast du deine Funktionsgleichung! So genug von proportionalen Funktionen! Was hat Ricky wohl mit den vielen Bananen vor? Tja das Geschäft hat seinen Proportionen wohl nicht besonders gut getan!
Proportionale Funktionen – Einführung Übung
-
Vervollständige die Wertetabelle und stelle die zugehörige Funktionsgleichung der proportionalen Funktion auf.
TippsDa es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, musst du in der Wertetabelle rechts das Gleiche machen wie links: Um von $3$ auf $1$ zu kommen, dividierst du $3$ durch $3$. Also musst du auch $9$ durch $3$ dividieren.
Der Verkauf ist ein proportionaler Zusammenhang. Solche Zusammenhänge berechnest du mit proportionalen Funktionen. Diese setzen sich wie folgt zusammen:
$f(x)=mx$
Dabei ist $m$ die Steigung.
Den Funktionswert $f(x)$ zu einem bestimmten $x$-Wert berechnest du, indem du die Variable $x$ in der Funktionsgleichung durch den Wert ersetzt und $f(x)$ berechnest.
Schaue dir hierzu folgendes Beispiel an:
$\begin{array}{ll} \text{gegeben:} & f(x)=5x \\ \text{gesucht:} & f(3) \\ \\ \text{Lösung:} & f(3)=5\cdot 3=15 \end{array}$
LösungDa es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, müssen wir in der Wertetabelle rechts das Gleiche machen wie links: Um von $3$ auf $1$ zu kommen, dividieren wir $3$ durch $3$. Also müssen wir auch $9$ durch $3$ dividieren. Das ergibt $3$.
Anschließend bestimmen wir den Funktionswert zu $2$. Da wir $1$ mit $2$ multiplizieren, müssen wir auch $3$ mit $2$ multiplizieren. So erhalten wir für die zweite Lücke in der Wertetabelle $6$. Die vollständige Wertetabelle lautet dann:Wertetabelle
$\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Kokosdrinks } x & \text{Anzahl Bananen } f(x) \\ \hline 0 & 0 \\ 3 & 9 \\ 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array}$
Funktionsgleichung
Um die Funktionsgleichung aufzustellen, müssen wir zunächst die Steigung bestimmen. Diese berechnen wir mit der folgenden Beziehung:
$m=\frac{f(x)}{x}$
Wir können die Steigung für ein beliebiges Wertepaar aus der Wertetabelle berechnen. So erhalten wir den folgenden Wert:
$m=\frac{3}{1}=3$
Demnach lautet die gesuchte spezifische Funktionsgleichung:
$f(x)=3x$
Berechnung des gesuchten Funktionswertes $f(51)$
Mit der Funktionsgleichung können wir nun berechnen, wie viele Bananen Arwin für $51$ Kokosdrinks benötigt. Hierzu ersetzen wir die Variable $x$ mit $51$ und erhalten:
$f(51)=3\cdot 51=153$
Arwin muss also für $51$ Kokosdrinks $153$ Bananen ausgeben. Das wird wohl eine teure Party für Arwin!
-
Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne den gesuchten Funktionswert.
TippsHat eine proportionale Funktion negative Funktionswerte, so ist ihre Steigung negativ.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet:
$f(x)=mx$
Stellst du diese nach der Steigung $m$ um, kannst du mit einem bekannten Wertepaar die Steigung berechnen:
$m=\frac{f(x)}{x}$
LösungWir betrachten diese proportionale Zuordnung:
$\text{Anzahl Melonendrinks} \rightarrow \text{Anzahl Bananen}$
Im Folgenden vervollständigen wir zunächst die Wertetabelle und leiten dann die zugehörige spezifische Funktionsgleichung her, um schließlich den Funktionswert für $x=16$ zu bestimmen.
Wertetabelle
Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, müssen wir in der Wertetabelle rechts das Gleiche machen wie links: Um von $2$ auf $4$ zu kommen, multiplizieren wir $2$ mit $2$. Also müssen wir auch $-5$ mit $2$ multiplizieren. Das ergibt $-10$. Die vollständige Wertetabelle lautet dann:
$\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Melonendrinks } x & \text{Anzahl Bananen } f(x) \\ \hline 0 & 0 \\ 2 & -5 \\ 4 & -10 \end{array}$
Funktionsgleichung
Die Steigung der proportionalen Funktion erhalten wir wie folgt:
$m=\frac{f(x)}{x}=\frac{-5}{2}=-\frac 52$
Demnach lautet die spezifische Funktionsgleichung:
$f(x)=-\frac 52\cdot x$
Berechnung des gesuchten Funktionswertes $f(16)$
Mit der Funktionsgleichung kann nun berechnet werden, wie viele Bananen Thorsten für $16$ Melonendrinks benötigt:
$f(16)=-\frac 52\cdot 16=-5\cdot 8=-40$
Ob es klug ist, so viele Schulden aufzunehmen?
-
Ermittle die Funktionsgleichungen der gegebenen Geraden.
TippsEine proportionale Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=mx$. Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion. Es gilt:
- $m>0$: steigende Gerade
- $m<0$: fallende Gerade
Die Steigung der Geraden kannst du grafisch bestimmen, indem du dir zwei Punkte auf der Geraden aussuchst und dich dann von dem unteren Punkt zu dem oberen Punkt bewegst. Dabei gehst du wie folgt vor:
- $m>0$: Teile die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach rechts.
- $m<0$: Teile die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach links.
LösungEine proportionale Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=mx$. Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion. Es gilt:
- $m>0$: steigende Gerade
- $m<0$: fallende Gerade
Hierfür gehen wir wie folgt vor: Wir wählen zwei Punkte auf der Geraden und wandern von dem unteren Punkt zu dem oberen Punkt. Dabei zählen wir die gemachten Schritte. Wir rechnen mit diesen Schritten:
- $m>0$: Wir teilen die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach rechts.
- $m<0$: Wir teilen die Anzahl der Schritte nach oben durch die Anzahl der Schritte nach links.
Gerade 1
Es handelt sich hierbei um eine fallende Gerade, also ist die Steigung negativ. Wir bewegen uns nun vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(-1\vert 3)$. Wir zählen folgende Schritte:
- Anzahl der Schritte nach oben: $3$
- Anzahl der Schritte nach links: $1$
Gerade 2
Es handelt sich hierbei um eine steigende Gerade, also ist die Steigung positiv. Wir bewegen uns jetzt vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(3\vert 1)$. Wir zählen folgende Schritte:
- Anzahl der Schritte nach oben: $1$
- Anzahl der Schritte nach rechts: $3$
Gerade 3
Die Steigung ist wieder positiv. Wir bewegen uns vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(1\vert 3)$. Wir zählen folgende Schritte:
- Anzahl der Schritte nach oben: $3$
- Anzahl der Schritte nach rechts: $1$
Gerade 4
Die Steigung ist negativ. Wir bewegen uns vom Ursprung $(0\vert 0)$ zu dem Punkt $(-3\vert 1)$. Wir zählen folgende Schritte:
- Anzahl der Schritte nach oben: $1$
- Anzahl der Schritte nach links: $3$
-
Bilde die Funktionsgleichung zu den gegebenen Wertetabellen von proportionalen Funktionen.
TippsDie allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet:
$f(x)=mx$
Kennst du einen Punkt $P(x\ \vert\ f(x))$, kannst du die Steigung $m$ wie folgt berechnen:
$m=\frac{f(x)}{x}$
So dividierst du eine ganze Zahl $a$ durch einen Bruch $\frac bc$:
$a:\frac bc=\frac a1 :\frac bc=\frac a1\cdot \frac cb=\frac{a~ \cdot ~ c}{1~ \cdot ~b}$
So dividierst du einen Bruch $\frac bc$ durch eine ganze Zahl $a$:
$\frac bc:a=\frac bc :\frac a1=\frac bc\cdot \frac 1a=\frac{b~\cdot ~1}{c~\cdot ~a}$
LösungDie allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet:
$f(x)=mx$
Diese können wir mittels Äquivalenzumformung nach der Steigung $m$ umstellen. Es ergibt sich dann folgende Gleichung:
$m=\frac{f(x)}{x}$
Wenn wir nun einen Punkt $P(x\ \vert\ f(x))$ außer $(0\vert 0)$ einer proportionalen Funktion kennen, können wir diesen in die Gleichung einsetzen und die Steigung $m$ bestimmen. Mit dieser können wir dann eine Funktionsgleichung aufstellen. Im Allgemeinen kann man die Funktionsgleichung einer Geraden über zwei Punkte ermitteln. Da wir bei einer proportionalen Funktion bereits den Punkt $(0\vert 0)$ kennen, genügt ein weiterer Punkt für die Bestimmung der Geradengleichung. Wir erhalten dann die folgenden Funktionsgleichungen:
Beispiel 1
Der Punkt $(2\vert 4)$ liefert folgende Steigung:
$m=\frac 42=2$
Die Funktionsgleichung lautet dann $f(x)=2x$.
Beispiel 2
Der Punkt $(4\vert 2)$ liefert folgende Steigung:
$m=\frac 24=\frac 12$
Die Funktionsgleichung lautet dann $f(x)=\frac 12x$.
Beispiel 3
Der Punkt $(\frac 14\vert -2)$ liefert folgende Steigung:
$m=-2:\frac 14=-\dfrac{2\cdot 4}{1}=-8$
Die Funktionsgleichung lautet dann $f(x)=-8x$.
Beispiel 4
Der Punkt $(\frac 12\vert 4)$ liefert folgende Steigung:
$m=4:\frac 12=\dfrac{4\cdot 2}{1}=8$
Die Funktionsgleichung lautet dann $f(x)=8x$.
-
Gib die Eigenschaften proportionaler Funktionen an.
TippsDie Steigung der Geraden durch die Punkte $(0\vert 0)$ und $(1\vert -1)$ ist negativ.
Der Funktionsgraph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden ist $f(x)=mx+b$, wobei $b$ der $y$-Achsenabschnitt ist. Für $b=0$ verläuft die Gerade durch $(0\vert 0)$.
LösungWir betrachten im Folgenden die Eigenschaften der Funktionsgraphen proportionaler Funktionen:
- Proportionale Funktionen haben die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=mx$.
- Die Funktionsgraphen proportionaler Funktionen sind Geraden, die immer durch den Koordinatenursprung $(0\vert 0)$ verlaufen.
- Die Geraden haben die Steigung $m$. Ist die Steigung positiv, handelt es sich um eine steigende Gerade. Bei einer negativen Steigung fällt die Gerade. Die Abbildung stellt je ein Beispiel für eine steigende und fallende Gerade mit den zugehörigen Steigungen dar.
-
Ermittle den gesuchten $x$-Wert.
TippsDiese Wertetabelle gibt einige Wertepaare zu Lauras Limonaden-Geschäft an:
$\begin{array}{c|c} \text{Anzahl verkaufter} & \text{Einkommen} \\ \text{Limonaden} & \\ \hline 0 & 0,00\ € \\ 1 & 2,50\ € \\ 2 & 5,00\ € \end{array}$
Die Steigung einer proportionalen Funktion ist wie folgt definiert:
$m=\frac{f(x)}{x}$
LösungAus der Aufgabenstellung kennen wir folgendes Wertepaar: $(1\vert 2,5)$. Mit diesem können wir die Steigung der proportionalen Funktion berechnen:
$m=\frac{f(x)}{x}=\frac{2,5}{1}=2,5$
Das Einkommen $f(x)$ in Abhängigkeit von der Anzahl verkaufter Limonaden $x$ kann mit folgender Funktionsgleichung berechnet werden:
$f(x)=2,5\cdot x$
Diese Funktionsgleichung kann mittels Äquivalenzumformung nach der Anzahl verkaufter Limonaden $x$ umgestellt werden:
$x=\frac{f(x)}{2,5}$
Für ein Einkommen von $30\ €$ liefert die Gleichung dann diesen $x$-Wert:
$x=\frac{30}{2,5}=12$
Demnach muss Laura mindestens $12$ Limonaden verkaufen, um sich den Pullover leisten zu können.
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Was würde bei drei rauskommen mit den Bananen und Melonen
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