Steigung von proportionalen Funktionen

Steigung von proportionalen Funktionen Übung

• Vervollständige die gegebene Wertetabelle einer proportionalen Zuordnung.

  Tipps

  Der Graph einer proportionalen Funktion verläuft stets durch den Ursprung.

  Eine proportionale Funktion hat die Form $f(x) = m \cdot x$ mit dem Proportionalitätsfaktor $m$.

  Bei einer proportionalen Zuordnung wachsen die Funktionswerte in derselben Proportion wie die Variable. Das heißt, die Verdoppelung der Variablen führt auch zur Verdoppelung des Funktionswertes.

  Lösung

  Rudi zerlasert an $2$ Arbeitstagen $25$ Asteroiden.

  An doppelt so vielen Tagen zerstört er auch doppelt so viele Asteroiden, also an $4$ Tagen $50$ Asteroiden.

  An einem Tag schafft er dagegen nur halb so viele Asteroiden wie an zwei Tagen. Das ergibt im Schnitt $12,5$ Asteroiden pro Tag.

  Und wenn Rudi gar nicht, also $0$ Tage, arbeitet, schafft er gar nichts, also $0$ Asteroiden.

  Im Bild siehst du die richtig ausgefüllte Wertetabelle.

• Bestimme die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion und berechne den gesuchten Funktionswert.

  Tipps

  Um die Steigung einer Geraden zu berechnen, die von links nach rechts ansteigt, teilst du die Anzahl der Einheiten nach oben durch die Anzahl der Einheiten nach rechts.

  Fällt die Gerade von links nach rechts ab, so ist die Steigung negativ.

  Die Funktion eines proportionalen Zusammenhangs lautet:

  $f(x) = m \cdot x$

  Hierbei ist $m$ der Proportionalitätsfaktor bzw. die Steigung der Geraden.

  Lösung

  Die Funktion des Space-Kaffee-Verbrauchs ist eine proportionale Funktion. Sie hat also diese Form:

  $f(x) = m \cdot x$

  Hierbei ist $m$ der Proportionalitätsfaktor. Wir berechnen $m$ aus dem Steigungsdreieck. An einem Tag verbraucht Rudi $20$ Tassen Space-Kaffee. Im Steigungsdreieck bedeutet das: eine Einheit nach rechts und $20$ Einheiten nach unten. Die Steigung ist also:

  $m= \frac{-20}{1} = -20$

  Die Funktion des Space-Kaffee-Verbrauchs lautet nun:

  $f(x) = -20 \cdot x$

  Um herauszufinden, wie viel Space-Kaffee Rudi in $80$ Tagen verbraucht, setzen wir $x=80$ in die Verbrauchsfunktion ein und erhalten:

  $f(80) = -20 \cdot 80 = -1 600$

• Bestimme die gesuchten Funktionswerte.

  Tipps

  Der Asteroidenertrag nach $3$ entspannten Arbeitstagen ist:

  $g(3) = 30$

  Berechne den Funktionswert $f(4)$ durch Einsetzen von $4$ in die Funktion:

  $f(x) = 15 \cdot x$

  Beachte das Vorzeichen der Proportionalitätsfaktoren und der Funktionswerte.

  Lösung

  Wir berechnen die Funktionswerte der drei neuen Funktionen.

  An $2$ bzw. $3$ stressigen Tagen schafft Rudi $30$ bzw. $45$ Asteroiden. Für die stressigen Tage nutzen wir die Funktion $f$:

  • $f(2) = 15 \cdot 2 = 30$

  bzw.

  • $f(3) = 15 \cdot 3 = 45$

  An $4$ entspannten Tagen schafft Rudi immerhin $40$ Asteroiden. Für die entspannten Tagen nutzen wir die Funktion $g$:

  • $g(4) = 10 \cdot 4 =40$

  Und Rudis Space-Kaffee-Verbrauch beträgt jetzt nur noch $-35$ Tassen in fünf Tagen und $-42$ Tassen in sechs Tagen. Für den Kaffeeverbrauch nutzen wir die Funktion $h$:

  • $h(5) =-7 \cdot 5 =-35$

  bzw.

  • $h(6) =-7 \cdot 6 =-42$

• Ermittle die Funktionsgleichungen zu den gegebenen Funktionsgraphen.

  Tipps

  Beachte das Vorzeichen der Steigung.

  Geraden mit positiver Steigung steigen von links nach rechts an.
  Geraden mit negativer Steigung fallen von links nach rechts ab.

  Je größer der Wert der Steigung ist, desto steiler ist die Gerade.

  Lösung

  Proportionale Funktionen sind von der Form $f(x) =m \cdot x$.

  Hierbei ist $m$ der Proportionalitätsfaktor. Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung $m$. Die Steigung, d. h. der Proportionalitätsfaktor, lässt sich aus dem Steigungsdreieck ablesen.

  1. Funktion

  Die Gerade steigt bei einer Einheit nach rechts um $15$ Einheiten nach oben. Die Gleichung lautet daher:

  $f(x) =15 \cdot x$

  2. Funktion

  Die Gerade steigt bei $2$ Einheiten nach rechts um $20$ Einheiten nach oben. Die Gleichung lautet deshalb:

  $f(x) = \frac{20}{2} \cdot x = 10 \cdot x$

  3. Funktion

  Die Gerade fällt bei $3$ Einheiten nach rechts um $21$ Einheiten nach unten. Die Gleichung lautet darum:

  $f(x) = -\frac{21}{3} \cdot x = -7 \cdot x$

  4. Funktion

  Die Gerade fällt bei $25$ Einheiten nach rechts um $250$ Einheiten nach unten. Die Gleichung lautet deswegen:

  $f(x) = -\frac{250}{25} \cdot x = -10 \cdot x$

• Gib die Eigenschaften proportionaler Funktionen an.

  Tipps

  Zu einer proportionalen Funktion gehört immer ein Proportionalitätsfaktor $m$.

  Der Proportionalitätsfaktor $m$ bestimmt, wie steil die Funktion ansteigt bzw. abfällt.

  Bei einer proportionalen Funktion gilt immer:

  $f(0) = 0$

  Lösung

  Die Funktion einer proportionalen Zuordnung ist durch den Proportionalitätsfaktor $m$ festgelegt. Die Funktion hat folgende Form:

  $f(x) = m \cdot x$

  Ihr Graph ist eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung $m$.

  Nun zu den einzelnen Aussagen:

  • Proportionale Funktionen sind von der Form $f(x) = m \cdot x$.

  Diese Aussage ist richtig, denn diese Form stimmt mit der oben dargestellten überein.

  • Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Parabel.

  Diese Aussage ist falsch: Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft.

  • Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft.

  Diese Aussage ist richtig: Der Graph der proportionalen Funktion $f(x) = m \cdot x$ ist die Gerade durch den Ursprung mit Steigung $m$.

  • Jede Gerade ist der Graph einer proportionalen Funktion.

  Diese Aussage ist falsch. Denn Geraden sind nur dann Graphen einer proportionalen Funktion, wenn sie durch den Ursprung verlaufen.

  • Funktionen der Form $f(x) = m \cdot x + b$ beschreiben proportionale Zuordnungen.

  Diese Aussage ist falsch: Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade. Aber sie verläuft nur dann durch den Ursprung, wenn $b=0$.

  • Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade.

  Diese Aussage ist richtig. Graphen proportionaler Funktionen sind nämlich Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.

• Ermittle die Funktionsgleichung und berechne den $x$-Wert.

  Tipps

  Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade durch den Ursprung. Der Proportionalitätsfaktor ist die Steigung der Geraden.

  Die Steigung $m$ einer Geraden berechnet man mit dieser Formel:

  $m = \frac{f(x)}{x}$ für ein $x \neq 0$

  Lösung

  Rudi will ab jetzt $48$ Asteroiden in $3$ Tagen schaffen. Wenn er diese Leistung halten kann, wird der Asteroidenertrag wieder durch eine proportionale Funktion beschrieben, nämlich:

  $f(x) = m \cdot x$

  Wir bestimmen den Proportionalitätsfaktor $m$ mit dieser Formel:

  $m = \frac{48}{3} =16$

  Die proportionale Funktion lautet also:

  $f(x) = 16 \cdot x$

  Wie viele Tage braucht Rudi für $1 200$ Asteroiden? Wir lösen die folgende Gleichung nach $x$ auf:

  $1 200 = f(x) = 16 \cdot x$

  Wir erhalten:

  $x = \frac{1200}{16} =75$

  Rudi braucht demnach $75$ Tage.