Römische Zahlen umwandeln

Römische Zahlen umwandeln Übung

• Gib an, welche Regeln beim Umwandeln römischer Zahlen gelten.

  Tipps

  $\text{IV} = 4$

  Die Zahl $\text{XXXX}$ gibt es nicht, man schreibt: $\text{XL}$

  Lösung

  Beim Umwandeln römischer Zahlen gilt:

  • Alle Ziffern werden von links nach rechts aufsummiert. (Additionsregel)

  Die Zahl $\text{XXVIII}$ setzt sich beispielsweise zusammen aus $\text{X + X + V + I + I + I}$, also $10+10+5+1+1+1=28$.

  • Es dürfen nie mehr als drei gleiche Zahlenzeichen nebeneinander stehen. (Drei-Zeichen-Regel)

  Wir können die Zahl $40$ also nicht schreiben als $\text{XXXX}$! Daraus resultiert die dritte Regel, welche angibt, wie man in diesen Fällen vorgeht.

  • Steht ein kleineres Zahlenzeichen links vor einem größeren Zahlenzeichen, so wird die kleinere von der größeren Ziffer abgezogen. (Subtraktionsregel)

  Wir können die Zahl $40$ schreiben als $\text{XL}$, das bedeutet $\text{L - X}$, also $50-10=40$.

  
  

  Diese Aussage ist falsch:

  • Am Ende werden alle Ziffern multipliziert.

  Eine solche Regel gibt es nicht.

• Gib die Zahlen als römische Zahlen an.

  Tipps

  Schreibe die Zahlen als Summe und stelle die einzelnen Summanden als römische Zahlen dar.

  $\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{I}&\text{V}&\text{X}&\text{L}&\text{C}&\text{D}&\text{M} \\ \hline 1&5&10&50&100&500&1000 \\ \hline \end{array}$

  Beispiel:

  $19 = 10 + 9 = 10 + (10 - 1) = \text{X + (X - I)} = \text{ XIX}$

  Lösung

  Wenn wir eine Zahl als römische Zahl darstellen wollen, dann schreiben wir die Zahlen zunächst als Summe. Wir passen die Summe so an, dass wir die folgenden römischen Zahlen verwenden können:

  $\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{I}&\text{V}&\text{X}&\text{L}&\text{C}&\text{D}&\text{M} \\ \hline 1&5&10&50&100&500&1000 \\ \hline \end{array}$

  Außerdem müssen wir darauf achten, dass nie mehr als drei gleiche Zahlen aufsummiert werden. Andernfalls verwenden wir eine Differenz. Dabei setzen wir das Symbol des Subtrahenden vor das des Minuenden, zum Beispiel: $4 = 5 - 1 = \text{V} - \text{I} = \text{IV}$.
  Wir ersetzen dann die Zahlen durch die römischen Ziffern. Zuletzt lassen wir die Additionszeichen weg.

  Aufgaben:

  • $97 = 90 + 7 = (100 - 10) + 5 + 2 = \text{ (C - X) + V + II = XCVII}$

  • $15=10+5=\text{ X + V = XV}$

  • $1989 = 1000 + 900 + 80 + 9 = 1000 + (1000 - 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (10-1) \\ = \text{ M + (M - C) + L + X + X + X + (X - I) = MCMLXXXIX}$

  • $28 = 20 + 8 = 10 + 10 + 5 + 3 = \text{ X + X + V + III = XXVIII}$

  • $49 = 40 + 9 = (50-10) + (10-1) = \text{ (L - X) + (X - I) = XLIX}$

• Stelle die Zahl als römische Zahl dar.

  Tipps

  Beachte, dass nie mehr als drei gleiche Zahlenzeichen nebeneinander stehen dürfen.

  Beispiel:

  $148=$ $\text{CXLVIII}$

  Lösung

  Um die Zahlen als römische Zahlen darzustellen, schreiben wir sie zunächst als Summe und wandeln sie dann um. Dabei passen wir die Summe so an, dass nur die Zahlen $1$, $5$, $10$, $50$, $100$, $500$ und $1\,000$ vorkommen, für die es bei den römischen Zahlen passende Symbole gibt.
  Außerdem achten wir darauf, dass nie mehr als drei gleiche Zahlen aufsummiert werden. Andernfalls verwenden wir eine Differenz.
  Zuletzt ersetzen wir die Summanden durch römische Ziffern und lassen die Additionszeichen weg. Bei einer Differenz schreiben wir den Subtrahenden vor den Minuenden.

  Die Buchstaben römischer Zahlen sind wie folgt zugeordnet:

  $\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{I}&\text{V}&\text{X}&\text{L}&\text{C}&\text{D}&\text{M} \\ \hline 1&5&10&50&100&500&1000 \\ \hline \end{array}$

  Aufgabe:

  • $39 = 30 + 9 = 10 + 10 + 10 + (10-1) =\text{X + X + X + (X - I) = XXXIX}$

  • $700 = 500 + 100 + 100 = \text{D + C + C = DCC}$

  • $1964 = 1000 + 900 + 60 + 4 = 1000 + (1000-100) + 50 + 10 + (5-1) = \text{M + (M - C) + L + X + (V - I) = MCMLXIV}$

• Ermittle die dargestellte Zahl.

  Tipps

  Steht ein kleineres Zahlenzeichen links vor einem größeren Zahlenzeichen, so wird die kleinere von der größeren Ziffer abgezogen.

  $\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{I}&\text{V}&\text{X}&\text{L}&\text{C}&\text{D}&\text{M} \\ \hline 1&5&10&50&100&500&1000 \\ \hline \end{array}$

  Lösung

  Um die dargestellte Zahl zu ermitteln, schreiben wir die römische Zahl von links nach rechts als Summe.
  Steht dabei ein kleineres Zahlenzeichen links vor einem größeren Zahlenzeichen, so ziehen wir die kleinere von der größeren Ziffer ab. Wir ersetzen dann die römischen Zahlen und berechnen.

  Aufgaben:

  • $\text{XLVI = L - X + V + I }= 50 - 10 + 5 +1 = 40 + 6=46$

  Hierbei müssen wir $\text{XL}$ als Differenz schreiben, da hier eine kleinere Zahl vor einer größeren steht.

  • $\text{XCII = C - X + II }=100-10+2 = 90+2=92$

  Auch hier wenden wir die Subtraktionsregel an und schreiben für $\text{XC = C - X}$.

  • $\text{CCCLXV = C + C + C + L + X + V }=100+100+100+50+10+5=365$

  • $\text{MDCCCIV = M + D + C + C + C + V - I }=1000+500+100+100+100+5-1=1804$

  Hier müssen wir bei den letzten beiden Ziffern die Subtraktionsregel anwenden, da $\text{IV = V - I}$.

• Vervollständige die Tabelle der römischen Zahlen.

  Tipps

  Die Zuordnung der Zahlen zu den Buchstaben folgt einer bestimmten Struktur. Versuche dir diese zu merken.

  Du benötigst nur die Ziffern $1$, $0$ und $5$.

  Lösung

  Die Buchstaben römischer Zahlen sind wie folgt zugeordnet:

  $\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{I}&\text{V}&\text{X}&\text{L}&\text{C}&\text{D}&\text{M} \\ \hline 1&5&10&50&100&500&1000 \\ \hline \end{array}$

  Die Reihenfolge der letzten Buchstaben kannst du dir mit der folgenden Eselsbrücke merken:
  Lass Cäsar Das Machen.

• Berechne die Summe der römischen Zahlen.

  Tipps

  Zerlege zuerst beide Zahlen in die einzelnen Summanden und fasse dann zusammen.

  Du kannst deine Lösung überprüfen, indem du die beiden Zahlen als normale (arabische) Zahlen schreibst, addierst und dann wieder in eine römische Zahl umwandelst.

  Lösung

  Um die Summe aus zwei römischen Zahlen zu ermitteln, haben wir zwei Möglichkeiten:

  • Wir schreiben die Zahlen jeweils als Summe. Anschließend sortieren wir den Term nach Ziffern und vereinfachen wenn möglich. Wir überprüfen dann, ob die Regeln zur Schreibweise römischer Zahlen eingehalten werden. Gegebenenfalls ersetzen wir einzelne Ziffern und fassen anschließend zusammen.
  • Wir wandeln beide Summanden in Dezimalzahlen um und berechnen die Summe. Das Ergebnis schreiben wir anschließend erneut als römische Zahl.

  Beispiel 1:

  $\text{XXXVII + CXL = X + X + X + V + II + C + L - X = C + L - X + X + X + X + V + II}$ $= \text{C + L + X + X + V + II = CLXXVII}$

  Wir können auch umwandeln und dann rechnen:
  $\text{XXXVII} = 37$
  $\text{CXL} = 140$
  $37 + 140 = 177=\text{ CLXXVII}$

  Beispiel 2:

  $\text{CCCXXVI + DCCLXXXI = C + C + C + X + X + V + I + D + C + C + L + X + X + X + I =}$ $\text{(D + C + C + C + C + C) + (L + X + X + X + X + X) + V + II = M + C + V + II = MCVII}$

  Wir können alternativ auch wieder erst umwandeln und dann rechnen:
  $\text{CCCXXVI} =326$
  $\text{DCCLXXXI} =781$
  $326+781 = 1107=\text{ MCVII}$