Schätzen
Erfahre, wie man in Mathe schnell und einfach eine ungefähre Lösung findet. Schätzen spart Zeit, erfordert Erfahrung und Vorwissen. Aber Vorsicht: Es ist keine exakte Methode! Bist du interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Schätzen
Schätzen in Mathe
Die Forscherin Friederike sucht in finsteren Höhlen in Transsilvanien nach Fledermäusen – und sie hat auch schon eine vielversprechende Höhle gefunden. Nur: Wie viele Fledermäuse leben in dieser Höhle? Alle Tiere einzeln zu zählen, würde viel zu lange dauern. Also muss Friederike ihre Anzahl schätzen. Doch was ist das überhaupt, schätzen?
Was sind Schätzaufgaben?
In Mathe haben wir bisher Aufgaben kennengelernt, bei denen ein exaktes Ergebnis gesucht ist. Dann mussten wir zum Beispiel Strecken auf dem Papier ganz exakt mit dem Lineal vermessen. Aber manchmal braucht man gar kein genaues Ergebnis, sondern nur ein ungefähres. Dann muss man schätzen – oder Schätzaufgaben lösen.
Du kennst das Schätzen schon aus deinem Alltag. Zum Beispiel schätzen wir häufig Körpergrößen unserer Mitmenschen ein. Ohne sie mit dem Lineal auszumessen, können wir in etwa sagen, ob ein Mensch $1,80~\pu{m}$, $1,20~\pu{m}$ oder $1,70~\pu{m}$ groß ist. Das können wir gut, weil wir schon vorher ungefähr wissen, wie groß Menschen sind – wir sind mit dieser Größe also vertraut.
Auch in Vergnügungsparks oder Ausstellungen können uns Schätzungen begegnen. Wenn wir in einer Warteschlange stehen, gibt es dort manchmal Schilder, auf denen steht: Ab hier noch etwa $20~\pu{min}$. Auch das ist eine Schätzung. Die Betreiber wissen nicht genau, wie lange es dauert, bis wir an der Reihe sind. Aber sie haben die Erfahrung gemacht, dass es meist ungefähr $20~\pu{min}$ dauert.
Immer wenn wir Schätzaufgaben in Mathe lösen, suchen wir ein ungefähres Ergebnis. Im Beispiel der Warteschlange reicht die Angabe ungefähr $20~\pu{min}$, auch wenn wir in Wahrheit noch $22~\pu{min}$ warten müssen. Wenn wir jemanden auf $1,80~\pu{m}$ schätzen, ist es egal, wenn er in Wahrheit $1,81~\pu{m}$ groß ist. Dieses Wissen können wir schon einmal zusammenfassen.
Schätzaufgaben Definition:
- eine ungefähre Bestimmung von Größen oder Anzahlen
- aufgrund von Erfahrungen oder Vorwissen
Das Schätzen hat einen entscheidenden Vorteil:
- Schätzen geht viel schneller, als etwas exakt zu berechnen, zu zählen oder zu vermessen.
Es hat aber auch einen Nachteil:
- Das Ergebnis ist nicht exakt und weicht in der Regel vom wahren Wert ab.
Schauen wir uns ein paar Beispiele dazu an.
Schätzaufgaben Beispiele
Friederike befindet sich in einer langen Höhle mit relativ ebener Decke. Um zu bestimmen, wie viele Fledermäuse an der Decke hängen, muss sie zunächst die Fläche der Decke schätzen.
Die Höhle hat ungefähr die Form eines Rechtecks. Friederike schätzt außerdem, dass die lange Seite der Höhle ungefähr dreimal so lang ist wie die kurze.
Da sie kein ausreichend langes Lineal hat, um die Seiten zu vermessen, schätzt sie. Dazu läuft sie die kurze Seite ab. Sie braucht fünf lange Schritte. Da ein Schritt ungefähr $1~\pu{m}$ lang ist, schätzt sie die kurze Seite auf $5~\pu{m}$. Die lange Seite ist dann ungefähr $15~\pu{m}$ lang. Damit ist die Fläche der Decke ungefähr:
$15~\pu{m} \cdot 5~\pu{m} = 75~\pu{m}^{2}$
In Wahrheit hat die Decke eine andere Fläche. Hätte Friederike sie genau ausgemessen, hätte sie vielleicht einen Wert von $78,247~\pu{m}^{2}$ erhalten. Aber der geschätzte Wert ist vollkommen ausreichend, weil die Differenz zwischen beiden Werten relativ klein ist. Die Differenz nennt man den Schätzfehler.
Jetzt hat Friederike also einen ungefähren Wert für die Fläche der Höhlendecke. Sie hat außerdem beim Untersuchen der Höhle festgestellt, dass die Fledermäuse sehr gleichmäßig verteilt überall an der Decke hängen. Wenn sie also einen Fleck von etwa $1~\pu{m}^{2}$ der Decke beleuchtet und dort die Fledermäuse zählt, kann sie die Gesamtzahl ungefähr abschätzen.
Auf einem Quadratmeter zählt Friederike genau $7$ Fledermäuse. Da sie schon beobachtet hat, dass die Anzahl überall ungefähr gleich ist, kann sie die Anzahl einfach mit der geschätzten Fläche multiplizieren:
$7 \cdot 75 = 525 $
Es gibt also ungefähr $525$ Fledermäuse in dieser Höhle. Friederike konnte diese Abschätzung allerdings nur deswegen machen, weil sie Vorwissen und Erfahrung hatte.
Schauen wir uns an, wie es in der nächsten Höhle aussieht.
In der nächsten Höhle ist die Decke nicht glatt, sondern mit zahlreichen Tropfsteinen bedeckt. Hier reichen Erfahrung und Vorwissen nicht aus, um die gesamte Oberfläche zu schätzen. Die Decke ist viel zu ungleichmäßig. Außerdem sind die Fledermäuse nicht gleichmäßig verteilt, sondern hängen viel lieber an ganz bestimmten Tropfsteinen. Hier wird Friederike zählen müssen.
Wir merken uns:
- Wir können ein Ergebnis nur dann schätzen, wenn wir ausreichend Vorwissen und Erfahrung haben. Fehlt beides, wäre eine Schätzung sehr ungenau und der Schätzfehler zu groß.
Schätzaufgaben – Zusammenfassung
Wir fassen das Wichtigste noch einmal zusammen:
- Bei Schätzaufgaben suchen wir nur eine ungefähre Lösung, die vom wahren Wert abweichen kann.
- Zum Schätzen benötigen wir Erfahrung und Vorwissen.
- Der Vorteil ist, dass wir schnell ein Ergebnis erhalten.
- Der Nachteil ist, dass Schätzen nicht exakt ist.
In diesem Video werden dir Schätzaufgaben und die Herangehensweise für die Lösung für die Grundschule einfach erklärt. Text und Video werden von interaktiven Übungen ergänzt, mit denen du Schätzaufgaben gleich selbst üben kannst.
Transkript Schätzen
Im fernen Transsilvanien erforscht Friederike dunkle, abgelegene Höhlen. Immer auf der Suche nach Fledermäusen! Wie viele sind das denn nur? Bevor wir die jetzt einzeln zählen, wollen wir das lieber schätzen. Aber was ist Schätzen überhaupt? Zum Beispiel kannst du die Körpergröße einer Person ganz gut abschätzen. Ist jemand eher 1 Meter 30 groß oder 1 Meter 70? Auch Zeitdauern kann man schätzen. An der Schlange zur Achterbahn stehen oft Schilder, die sagen, wie lange es wohl noch dauert, bis du endlich fahren darfst. Das funktioniert, weil man weiß, wie viele Besucher üblicherweise bis zu diesem Punkt in der Schlange stehen und wie lange es meistens dauert, bis so viele Leute gefahren sind. Wenn du einen Apfelbaum anschaust, kannst du auch abschätzen, wie viele Äpfel im Baum hängen. Eine Schätzung ist also immer eine näherungsweise Bestimmung von Größen oder Anzahlen. Um so eine Schätzung vornehmen zu können, brauchst du aber immer Erfahrungen oder Vorwissen! Du musst wissen, wie groß Personen sind, um die Größe einer unbekannten Person zu schätzen, oder - beispielsweise - schonmal gesehen haben, dass die Äpfel im Baum ungefähr gleichmäßig verteilt hängen. Der Vorteil beim Schätzen liegt darin, dass es viel schneller geht, als genau zu zählen oder gar zu rechnen oder zu messen. Andererseits ist der geschätzte Wert auch meistens nicht genau; er weicht vom wahren Wert ab. Übrigens sagt man statt "schätzen" auch oft "überschlagen", vielleicht kennst du ja schon die Überschlagsrechnung. Helfen wir Friederike doch beim Schätzen, wie viele Fledermäuse in der Höhle sind. Dazu will sie erstmal abschätzen, wie groß die Höhlendecke ist – dort hängen die Fledermäuse schließlich dicht an dicht. Die Decke hat in etwa die Form eines Rechtecks. Friederike schätzt außerdem, dass die lange Seite der Höhle circa dreimal so lang ist wie die kurze Seite. Wenn sie also die kurze Seite des Bodens ausmessen kann, weiß sie ungefähr, wie groß die Fläche der Decke ist. Sie geht die kurze Seite ab und braucht dafür 5 große Schritte; also ist die Seite ungefähr 5 Meter lang. Die lange Seite ist in etwa dreimal so lang, also drei mal fünf Meter – das sind 15 Meter. Und alles in allem müsste die Fläche der Höhlendecke 5 Meter mal 15 Meter betragen; also 75 Quadratmeter. Den wahren Wert kennt Friederike nach ihrer Schätzung aber nicht! Der wahre Wert beträgt vielleicht 78,274 Quadratmeter. Der Unterschied zwischen wahrem Wert und Schätzwert nennt man den Schätzfehler. Hast du bemerkt, dass wir immer wieder Worte wie "ungefähr", "in etwa" und natürlich auch "schätzen" benutzt haben? Das sind ganz typische Begriffe, bei denen du dich immer fragen solltest, wieso man einen Wert denn nicht genau angeben kann. Viele der einzelnen Überlegungen konnte Friederike nur machen, weil sie schon Erfahrung damit hat, Längen und Formen zu erkennen. Nun aber zur eigentlichen Frage: wie viele Fledermäuse sind in dieser Höhle? Mit ihrer Stirnlampe beleuchtet sie eine kleine Stelle auf der Höhlendecke. Nicht zu groß, damit sie die Fledermäuse nicht zu sehr stört! Im Lichtkegel zählt sie rasch nach: dort hängen 7 Fledermäuse. Aus ihrer Erfahrung weiß sie, dass ihre Stirnlampe in dieser Höhe eine Fläche von ungefähr einem Quadratmeter abdeckt. Also hängen an einem Quadratmeter der Höhlendecke ungefähr 7 Fledermäuse. Weil die Höhlendecke insgesamt etwa 75 Quadratmeter groß ist, kann Friederike die Anzahl der Fledermäuse berechnen, indem sie die Gesamtfläche der Höhle mit 7 multipliziert. 7 mal 75 sind 525! Also sind schätzungsweise 525 Fledermäuse in dieser Höhle! Der wahre Wert wird sicherlich anders lauten. Der Schätzfehler hängt hier schließlich von so einigen Vereinfachungen und Annahmen ab: die Form der Höhle, die Maße der kurzen Seite, die Größe des Lichtkegels; und auch von der Annahme, dass in jedem Quadratmeter gleich viele Fledermäuse hängen. Aber Friederike ist mit ihrer geschätzten Anzahl an Fledermäusen zufrieden, ganz genau muss man solche Dinge oft gar nicht wissen! Diese Höhle sieht ja viel aufregender aus! Hier und da hängen Tropfsteine von der Decke. Die Fledermäuse scheinen sich auch sehr gern an diesen Tropfsteinen aufzuhalten, an den übrigen Stellen sieht Friederike fast gar keine Fledermäuse. In dieser Höhle wäre es viel schwieriger abzuschätzen, wie viele Fledermäuse an der Decke hängen. Unsere Annahme von der vorigen Höhle, dass überall gleich viele Fledermäuse hängen, gilt schon mal nicht mehr. Außerdem ist die Fläche der Decke gar nicht so einfach zu bestimmen: die vielen Tropfsteine sind ja gar nicht flach! In solchen Situationen ist das Schätzen oft so fehleranfällig, dass man es lieber bleiben lassen sollte. Friederike muss also wirklich zählen und das dauert und ist nicht besonders spannend, woaaa! Schätzungsweise sollte Friederike jetzt lieber ganz schnell verschwinden!
Schätzen Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zum Schätzen.
TippsWillst du entscheiden, ob du eine genaue Berechnung oder eine Schätzung durchführst, musst du abwägen, ob die Genauigkeit der Bestimmung oder der (Zeit-)Aufwand wichtiger ist.
Eine fehlerhafte Schätzung ist zwar unangenehm, aber keine Katastrophe.
LösungFolgende Aussagen sind falsch:
„Für das Schätzen brauchst du generell kein Vorwissen über die Eigenschaften der zu schätzenden Menge.“
- Für eine gute Schätzung brauchst du unbedingt Vorwissen über den zu schätzenden Gegenstand. Je schlechter dein Wissen, desto ungenauer wird die Schätzung.
- Schätzen geht sehr viel schneller als eine Berechnung. Darin liegt der große Vorteil dieses Verfahrens.
- Eine fehlerhafte Schätzung ist zwar unangenehm, aber keine Katastrophe. Musst du eine Zahl unbedingt genau wissen, solltest du nicht schätzen, sondern präzisere Verfahren anwenden.
„Beim Schätzen handelt es sich um eine näherungsweise Bestimmung von Größen oder Anteilen.“
„Schätzen ist nicht so präzise wie genaues Abzählen oder Ausrechnen.“
- Willst du entscheiden, ob du eine genaue Berechnung oder eine Schätzung durchführst, musst du abwägen, ob die Genauigkeit der Bestimmung oder der (Zeit-)Aufwand wichtiger ist.
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Beschreibe das Verfahren für eine Schätzung.
TippsEin großer Schritt eines erwachsenen Menschen ist ungefähr einen Meter lang.
Wenn auf jedem Quadratmeter $7$ Fledermäuse hängen, kannst du die Anzahl der Fledermäuse bestimmen, indem du das mit der Fläche der Decke multiplizierst.
LösungDie Lücken kannst du so füllen:
„Zuerst bestimmt sie die Größe der Höhle. Dazu läuft sie die kürzere Seite der Höhle ab. Nach fünf großen Schritten erreicht sie die andere Wand. Die kürzere Seite ist also ungefähr $5~\text{m}$ lang. “
- Ein großer Schritt eines erwachsenen Menschen ist ungefähr einen Meter lang.
Damit bestimmt sie die Fläche der Decke zu: $75~\text{m}^2$.“
- Die Fläche eines Rechtecks bestimmst du, indem du die Seitenlängen multiplizierst. $3~\text{m} \cdot 15 ~\text{m} =75~\text{m}^2$
Damit schätzt sie die Anzahl der Fledermäuse ab. Es hängen ungefähr $525$ Fledermäuse an der Decke der Höhle.“
- Wenn auf jedem Quadratmeter $7$ Fledermäuse hängen, kannst du die Anzahl der Fledermäuse bestimmen, indem du das mit der Fläche der Decke multiplizierst. Also $ 7 ~\frac{\text{Fledermäuse}}{\text{m}^2} \cdot 75~\text{m}^2 = 525 ~ \text{Flederm}\ddot{\text{a}}\text{use}$
-
Ermittle den Schätzwert.
TippsMit folgenden Überlegungen kannst du die Höhe der Gebäude bestimmen. Moderne Häuser haben eine durchschnittliche Deckenhöhe von $3~\text{m}$, während Altbauten eine Deckenhöhe von ca. $4~\text{m}$ haben können.
Du kannst annehmen, dass die Satellitenschüssel einen Meter hoch ist.
LösungMit folgenden Überlegungen kannst du die Höhe der Gebäude bestimmen. Moderne Häuser haben eine durchschnittliche Deckenhöhe von $3~\text{m}$, während Altbauten eine Deckenhöhe von ca $4~\text{m}$ haben können. Dann multiplizierst du die Anzahl an Stockwerken mit der entsprechenden Deckenhöhe und addierst die Längen der Aufbauten. So erhältst du:
„Ein modernes Haus hat $5$ Stockwerke und einen Dachstuhl, der ungefähr $3$ Meter hoch ist.“
- Hier lautet die Rechnung $ 3~\text{m} \cdot 5 +3~\text{m}= 18~\text{m} $.
- Hier kannst du folgendes rechnen: $ 4~\text{m} \cdot 4 +5~\text{m}= 21~\text{m} $.
- Das alte Haus hat dieselben Maße wie das vorherige. Nimmt man eine Höhe von einem Meter für die Satellitenschüssel an, erhältst du eine Höhe von $22~\text{m} $.
- Hier lautet die Rechnung: $ 3~\text{m} \cdot 12 +4~\text{m}= 40~\text{m} $.
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Ermittle die Anzahl durch Schätzung.
TippsVersuche, die Größe der Flächen zu schätzen. Anschließend kannst du die Anzahl der Münzen für einen Teilbereich der Flächen bestimmen und entsprechend hochrechnen.
Das Quadrat mit den größeren Münzen hat weniger Münzen als das mit den kleineren Münzen.
LösungBetrachten wir zunächst die Flächen mit den großen Münzen.
Versuche, die Größe der Flächen zu schätzen. Anschließend kannst du die Anzahl der Münzen für einen Teilbereich der Flächen bestimmen und entsprechend hochrechnen.
- Das Dreieck hat am wenigsten Münzen. Es ist halb so klein wie das Quadrat.
- Der Kreis hat mehr Münzen als das Dreieck, aber weniger als das Quadrat.
- Die Fläche des Quadrats ist größer als die von Dreieck und Kreis.
- Die Fläche des Rechtecks ist am größten. Zwei der vier Seitenlängen sind $50\%$ länger als die des Quadrats. Geht man von einer Seitenlänge $a$ beim Quadrat aus, so hat das Rechteck die Seitenlängen $a$ und $1,5\cdot a$. Die Fläche des Quadrats wäre demnach $A=a \cdot a = a^2$ und die Fläche des Rechtecks $A=a \cdot 1,5 \cdot a = 1,5 \cdot a^2$. Demnach passen $50\%$ mehr Münzen gleicher Größe auf die Fläche des Rechtecks.
- Vier der kleinen Münzen sind so groß wie eine große. Deshalb passen viermal so viele Münzen auf das Quadrat und das Rechteck wie die großen Münzen.
- Das Quadrat mit den kleinen Münzen beinhaltet daher den $4$-fachen Anteil an Münzen wie das Quadrat mit den großen Münzen, während das Rechteck mit den großen Münzen nur den $1,5$-fachen Anteil an Münzen wie das Quadrat mit den großen Münzen enthält.
- Das Rechteck mit den kleinen Münzen enthält die größte Anzahl von Münzen. Hier ist die Fläche am größten und die Münzen am kleinsten, weshalb besonders viele darauf Platz finden.
-
Bestimme die Reihenfolge der Objekte und Lebewesen durch Schätzung.
TippsEin Elefant ist leichter als eine Lokomotive.
Ein Schiff ist schwerer als eine Lokomotive.
LösungUm eine Schätzung abzugeben, musst du dir überlegen, welches Volumen die Objekte haben. Das ist oft ein guter Anhaltspunkt für ihre Masse. Dann solltest du allerdings noch darüber nachdenken, welche Dichte die Objekte besitzen. Zwei gleich große Objekte können nämlich unterschiedlich schwer sein. Bei unseren Beispielen handelt es sich hauptsächlich um Körpermasse oder Metalle. Du kannst davon ausgehen, dass das gleiche Volumen an Metall schwerer ist als ein Körper.
Mit diesen Überlegungen kannst du die Dinge bzw. Lebewesen so ordnen:
- Eine Katze ist am leichtesten. Sie wiegt normalerweise ca. $4~\text{kg}$.
- Man kann davon ausgehen, dass erwachsene Personen zwischen ungefähr $50~\text{kg}$ und $150~\text{kg}$ wiegen. Somit ist eine erwachsene Person schwerer als eine Katze, aber eindeutig leichter als ein Elefant.
- Ein Elefant ist mit ungefähr $5000~\text{kg}$ leichter als eine Lokomotive, die ca. $36~\text{t}$ wiegt. Das entspricht $36.000~\text{kg}$.
- Ein Schiff ist schwerer als eine Lokomotive. Je nach Größe kann es zwischen $50$ und $200~\text{t}$ wiegen.
- Der Planet ist am schwersten. Unsere Erde hat beispielsweise ein Gewicht von $2,9 \cdot 10^{21}~\text{t}$
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Entscheide, wann eine Schätzung durchgeführt werden kann.
TippsÜberlege dir, wie wichtig die Genauigkeit der zu bestimmenden Größe ist. Kann ein großer Schaden entstehen, solltest du besser nicht schätzen.
LösungIn diesen Situationen ist eine Schätzung unangebracht.
„Ein Brückenbauer bestimmt die Statik seines neuesten Bauwerks.“
- Stimmt etwas mit der Statik dieses Bauwerks nicht, könnte es einstürzen und erheblichen Schaden anrichten. Eine Schätzung ist hier also völlig unangebracht.
- Auch hier kann bei einer fehlerhaften Berechnung Schaden angerichtet werden. Der Bremsweg eines Autos sollte genau bekannt sein. Ist er zu lang, kann das Auto im Notfall nicht rechtzeitig gebremst werden.
„Du hast deinen Wecker auf $8$ Uhr gestellt und berechnest vor dem Zubettgehen, wie lange du schlafen kannst.“
„Der Veranstalter einer Demonstration möchte bestimmen, wie viele Menschen daran teilgenommen haben.“
„Du kommst von einem Schulausflug zurück. Allerdings steht dein Bus im Stau und du versuchst, die Zeit zu berechnen, bis du wieder zu Hause bist.“
- In diesen Situationen kann kein großer Schaden durch eine ungenaue Berechnung entstehen. Außerdem ist die exakte Berechnung nicht unbedingt notwendig. Um hier Ressourcen zu sparen, kann also ohne Probleme geschätzt werden.
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Team Digital macht es auch noch spannend.
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