Große Zahlen runden

Große Zahlen runden Übung

• Bestimme die gerundeten Zahlen.

  Tipps

  Beim Runden werden an der zu rundenden Stelle die Ziffern $1$ ,$2$, $3$ und $4$ durch $0$ ersetzt.

  Bei der Rundung auf Hunderter ist $123 456 \approx 123 500$.

  Die Rundung $987 654 \approx 987 600$ ist falsch, denn die Ziffer $5$ an der Zehnerstelle muss aufgerundet werden.

  Lösung

  Beim Runden einer großen Zahl an einer Stelle ersetzt du die Ziffern aller niedrigeren Stellen durch $0$. Steht an der nächsten kleineren Stelle eine $0$, $1$, $2$, $3$ oder $4$, so bleibt die zu rundende Stelle, wie sie ist: Es wird abgerundet. Ist die Ziffer an der nächstkleineren Stelle eine $5$, $6$, $7$, $8$ oder $9$, so ersetzt du die Ziffer derjenigen Stelle, auf die du rundest, durch die nächstgrößere: Das nennt man aufrunden.

  Rundest du zum Beispiel die Zahl $123 567$ auf Tausender, so sind in der gerundeten Zahl die Ziffern der Einer-, Zehner- und Hunderterstelle jeweils $0$. Die nächstkleinere Stelle der Tausenderstelle ist die Hunderterstelle. Dort steht bei der nicht gerundeten Zahl die Ziffer $5$. Du musst nun aufrunden, also die Ziffer $3$ der Tausenderstelle durch die Ziffer $4$ ersetzen. So erhältst du die Rundung $123 567 \approx 124 000$.

  Eine Besonderheit ergibt sich, wenn du aufrundest und die Ziffer der zu rundenden Stelle $9$ ist. Denn hier tritt beim Runden zusätzlich ein Übertrag auf. Rundest du $157 984$ auf die Zehnerstelle, so erhältst du durch Abrunden $157 984 \approx 157 980$. Rundest du auf die Hunderterstelle auf, so müsstest du wegen der $8$ auf der Zehnerstelle die $9$ der Hunderterstelle durch die nächstgrößere Zahl ersetzen. Du erhältst also einen Übertrag in die Tausenderstelle: $157 984 \approx 158 000$. Dasselbe Ergebnis erhältst du, wenn du $157 984$ auf die Tausenderstelle rundest.

  Hier sind alle Rundungen dieser Aufgabe:

  • $123 567 \approx 124 000$: auf Tausender gerundet
  • $157 984 \approx 158 000$: auf Hunderter oder Tausender gerundet
  • $133 557 \approx 133 600$: auf Tausender gerundet
  • $169 378 \approx 169 000$: auf Tausender gerundet
  • $137 945 \approx 138 000$: auf Tausender gerundet

• Bestimme die Stelle, auf die gerundet wurde.

  Tipps

  Wird auf eine Stelle gerundet, so sind die Ziffern aller kleineren Stellen $0$.

  Beim Runden von $123 456$ auf die Hunderterstelle ergibt sich $123 500$, beim Runden auf die Tausenderstelle $123 000$.

  $101 010 \approx 100 000$ ist keine Rundung auf die Tausenderstelle, denn die Tausenderstelle der Rundung ist kleiner als die Tausenderstelle der ursprünglichen Zahl.

  Lösung

  Beim Runden großer Zahlen hast du verschiedene Stellen zur Auswahl, auf die du rundest. Bei den meisten Rundungen kannst du eindeutig ablesen, auf welche Stelle die Zahl gerundet wurde: Die Ziffern aller niedrigeren Stellen wurden beim Runden durch $0$ ersetzt.

  In der Aufgabe findest du folgende Rundungen:

  • „$133 557 \approx 134 000$ ist ... auf Tausender aufgerundet.“ Denn die Hunderter-, Zehner- und Einerstelle der Rundung sind $0$ und von den Stellen der ursprünglichen Zahl verschieden. Die Rundung ist eine Aufrundung, da die Ziffer $3$ der Tausenderstelle durch $4$ ersetzt wurde.
  • „$133 557 \approx 133 600$ ist ... auf Hunderter aufgerundet.“ Hier wurden die Ziffern der Einer- und Zehnerstelle durch $0$ ersetzt und die Ziffer der Hunderterstelle um $1$ erhöht.
  • „$133 557 \approx 130 000$ ist ... auf Zehntausender abgerundet.“ Denn die Ziffern der Tausender-, Hunderter-, Zehner- und Einerstelle sind durch $0$ ersetzt und alle anderen Stellen sind unverändert.
  • „$169 378 \approx 169 000$ ist ... auf Tausender abgerundet.“ Die Ziffer der Tausenderstelle ist unverändert, daher ist es eine Abrundung; die Ziffern der niedrigeren Stellen wurden durch $0$ ersetzt.

• Bestimme verschiedene Rundungen derselben Zahl.

  Tipps

  Bei einer Rundung erhöht sich keine Ziffer um $2$.

  Vergleiche ziffernweise die nicht gerundeten Zahlen mit den gerundeten Zahlen, beginnend mit der höchsten Stelle.

  $975 579 \approx 975 000$ ist keine korrekte Rundung. Denn beim Runden auf Tausender erhält man $975 579 \approx 976 000$, beim Runden auf Hunderter $975 579 \approx 975 600$.

  Lösung

  Beim Runden großer Zahlen hast du verschiedene Stellen zur Auswahl, auf die du runden kannst. Dadurch ergeben sich unterschiedliche mögliche Rundungen.

  Du kannst einer Zahl ihre verschiedenen Rundungen zuordnen, indem du entweder alle möglichen Rundungen der Zahl ausrechnest oder indem du die Zahl systematisch mit den vorgegebenen Rundungen vergleichst. Dazu vergleichst du die Ziffern einer nicht gerundeten Zahl, zum Beispiel $987 654$ mit den Ziffern einer gerundeten Zahl wie $980 000$. Du beginnst dabei mit der höchsten Stelle. Entscheidend ist meistens die erste Stelle, an der die Ziffern der beiden Zahlen verschieden sind, in dem Beispiel also die Tausenderstelle. Die Ziffer $0$ der Tausenderstelle zeigt an, dass hier allenfalls eine Rundung auf die Zehntausenderstelle in Betracht kommt. Die Rundung von $987 654$ auf Zehntausender ist aber $990 000 \neq 980 000$.

  In der Aufgabe erhältst du folgende korrekte Zuordnung der Rundungen:

  $987 654$:

  • $\approx 988 000$ nach Rundung auf Tausender
  • $\approx 987 700$ bei Runden auf Hunderter
  • $\approx 987 650$ durch Rundung auf Zehner

  $978 567$:

  • $\approx 978 600$, auf Hunderter gerundet
  • $\approx 979 000$, auf Tausender gerundet
  • $\approx 980 000$, auf Zehntausender gerundet

  $945 678$:

  • $\approx 900 000$, auf Hunderttausender gerundet
  • $\approx 950 000$, auf Zehntausender gerundet
  • $\approx 946 000$, auf Tausender gerundet

• Erschließe die gerundeten Zahlen.

  Tipps

  Die Ziffer der Stelle, auf die gerundet wird, ist niemals kleiner als die Ziffer der nicht gerundeten Zahl.

  $101\,010 \approx 101\,000$ ist eine Rundung auf die Hunderterstelle oder auf die Tausenderstelle.

  Lösung

  So kannst du die Tabelle vervollständigen:

  Um zu entscheiden, ob auf- oder abgerundet wird, betrachtest du immer die Stelle, die um eins kleiner ist als die Stelle, auf die gerundet werden soll.

  Ist die betrachtete Zahl eine $0,1, 2, 3$ oder $4$, rundest du ab. Dabei bleiben die Stelle, auf die gerundet wird, und alle größeren Stellen gleich. Die kleineren Stellen werden zu $0$.

  Beispiel: Rundest du also $432\,156$ auf Tausender, betrachtest du die Hunderter. Hier ist das eine $1$. Bei dieser Zahl rundest du ab. Also bleibt die $2$ beim Tausender sowie alle größeren Stellen stehen und alle anderen Zahlen werden zu $0$.

  $432\,156 \approx 432\,000$

  Ist die betrachtete Zahl eine $5, 6, 7, 8$ oder $9$, rundest du auf. Dabei addierst du $1$ zu der Stelle, auf die gerundet wird. Die größeren Stellen bleiben gleich und die kleineren werden zu $0$.

  Beispiel: Soll also $524\,999$ auf Hunderter gerundet werden, betrachtest du die Zehner. Das ist hier eine $9$, also wird aufgerundet. Deshalb addierst du zur Hunderterstelle $1$, also

  $9+1=10$

  Da $10$ eine zweistellige Zahl ist, musst du einen Übertrag zur Tausenderstelle schreiben. Damit erhältst du also:

  $524\,999 \approx 525\,000$

  Hier sind die Ergebnisse der Tabelle:

  $\begin{array}{c|c|c|c} \textbf{Zahl} & \textbf{gerundet auf} & \textbf{gerundet auf} & \textbf{gerundet auf} \\ & \textbf{Zehntausender} & \textbf{Tausender} & \textbf{Hunderter} \\ \hline 123\,789 & 120\,000 & 124\,000 & 123\,800\\ 987\,454 & 990\,000 & 987\,000 & 987\,500\\ 305\,070 & 310\,000 & 305\,000 & 305\,100\\ \end{array}$

• Zeige die richtigen Rundungen auf.

  Tipps

  Bei den Ziffern $1$, $2$, $3$ und $4$ wird ab- und bei den Ziffern $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ aufgerundet.

  Die Rundung $23 \approx 20$ ist richtig, denn die Ziffer $3$ der Einerstelle wird abgerundet.

  Die Rundung $85 \approx 80$ ist falsch, denn wegen der $5$ an der Einerstelle wird aufgerundet. Korrekt wäre also $85 \approx 90$.

  Lösung

  Beim Runden von Zahlen ersetzt du einige Ziffern durch $0$ und erhältst so etwas übersichtlichere Zahlen. In dieser Aufgabe kommen nur Rundungen der letzten Ziffer vor. Gerundet wird auf die Zehnerstelle. Steht an der Einerstelle eine $1$, $2$, $3$ oder $4$, so ersetzt du diese Ziffer durch $0$ und änderst sonst nichts. Man nennt das abrunden. Steht an der Einerstelle eine $5$, $6$, $7$, $8$ oder $9$, so ersetzt du diese Ziffer ebenfalls durch $0$. Zusätzlich erhöhst du aber die Ziffer der Zehnerstelle um $1$. Das heißt dann aufrunden.

  Hier sind die richtigen Rundungen der Aufgabe:

  • $16 \approx 20$: richtig aufgerundet
  • $38 \approx 40$: richtig aufgerundet
  • $12 \approx 10$: richtig abgerundet

  Und die Rundungen sind falsch:

  • $26 \approx 20$: Die Ziffer $6$ müsste aufgerundet werden. Korrekt wäre $26 \approx 30$.
  • $11 \approx 9$: Die Zahl rechts ist keine Rundung der Zahl links, denn die Einerstelle der Zahl rechts ist nicht $0$. Korrekt wäre $11 \approx 10$.
  • $49 \approx 100$: Die Zahl $49$ kann man auf Zehner oder auf Hunderter runden. Beim Runden auf Zehner wird die Ziffer der Zehnerstelle um $1$ erhöht, da die Ziffer der Einerstelle $9$ ist. Die Rundung wäre $49 \approx 50$. Beim Runden auf die Hunderterstelle würde die Zahl abgerundet, da die Ziffer der Zehnerstelle $4$ ist. Die Rundung auf Hunderter wäre also $49 \approx 0$.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Vergleiche für zwei zweistellige Zahlen die Summe von Rundungen mit der Rundung der Summe.

  Betrachte die Rundung $157 984 \approx 158 000$ und entscheide, auf welche Stelle hier gerundet wurde.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Rundung auf eine kleinere Stelle kann trotzdem noch eine größere Zahl ergeben als die Rundung auf eine größere Stelle.“ Rundest du $654 321$ auf Tausender, so erhältst du $654 321 \approx 654 000$, beim Runden auf Hunderter aber $654 321 \approx 654 300$. Hier ist $654 300 > 654 000$.

  • „Keine Ziffer einer gerundeten Zahl ist um mehr als $1$ größer als die entsprechende Ziffer der ursprünglichen Zahl.“ Beim Runden werden die Ziffern der kleineren Stellen auf $0$ gesetzt, werden also nicht größer. Die Ziffer der zu rundenden Stelle wird beim Aufrunden um $1$ erhöht und bleibt beim Abrunden unverändert. Tritt beim Aufrunden ein Übertrag auf, so wird auch die Ziffer der zu rundenden Stelle auf $0$ gesetzt und die Ziffer der nächsthöheren Stelle um $1$ erhöht. In keinem Fall erhöht sich also eine Ziffer um mehr als $1$.

  $\,$

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „An einer Zahl und ihrer Rundung kannst du eindeutig ablesen, auf welche Stelle gerundet wurde.“ Rundest du $101 010$ auf Zehntausender, so erhältst du $100 000$. Dasselbe Ergebnis erhältst du auch beim Runden auf Hunderttausender.

  • „Es ist egal, ob du zuerst zwei Zahlen rundest und dann die Rundungen addierst oder zuerst die Zahlen addierst und dann rundest. Das Ergebnis beider Rechnungen ist dasselbe.“ Beim Addieren der Rundungen kann sich ein anderer Wert ergeben als beim Runden der Summe zweier Zahlen. Zum Beispiel ist $13 \approx 10$ und $14 \approx 10$. Die Summe der Rundungen ist $10 + 10 = 20$. Die Rundung der Summe ist dagegen $13+14 = 27 \approx 30$. Du solltest also immer mit möglichst exakten Zwischenergebnissen rechnen und erst am Ende einer Aufgabe runden.

  • „Je größer die Stelle ist, auf die du rundest, desto genauer wird die Rundung.“ Die genaueste Rundung ist die Rundung auf die Einerstelle. Die Differenz einer Zahl und ihrer Rundung beträgt hier höchstens $5$. Je höher die Stelle der Rundung, desto ungenauer wird die Rundung. Allerdings können auch Rundungen auf verschiedene Stellen übereinstimmen, also insbesondere dieselbe Genauigkeit haben.