Große natürliche Zahlen vergleichen

Große natürliche Zahlen vergleichen Übung

• Beschreibe, wie du große natürliche Zahlen vergleichen kannst.

  Tipps

  Beispiel:

  $34\,987 > 9\,366$

  Als Erstes vergleichen wir immer die Stellenzahl, also die Anzahl der Ziffern einer Zahl.

  Lösung

  Um zwei große natürliche Zahlen zu vergleichen, können wir sie lesen. Schneller geht das Vergleichen aber, wenn wir folgende Tricks anwenden:

  • Von zwei Zahlen ist diejenige Zahl größer, die mehr Ziffern hat.

  Dies gilt, wenn wir zuerst die Stellenzahl vergleichen, also die Anzahl der Ziffern der beiden Zahlen.

  Beispiel:

  $\underbrace{234\,489}_{\mathbf{6}~\text{Stellen}} \gt \underbrace{56\,498}_{\mathbf{5}~\text{Stellen}}$

  
  

  • Haben zwei Zahlen die gleiche Anzahl an Ziffern, vergleichen wir zuerst die vorderste Ziffer.

  Die Zahl, deren vorderste Ziffer größer ist, ist auch größer.

  Beispiel:

  $\mathbf{5}6\,383 \gt \mathbf{4}5\,393$

  
  

  • Haben beide Zahlen gleich viele Stellen und ist die vorderste Ziffer gleich, vergleichen wir stellenweise von links nach rechts die einzelnen Ziffern.

  Dabei ist stets die Zahl größer, bei der die erste Stelle, in der sich die Zahlen unterscheiden, den größeren Wert hat.

  Beispiel:

  $345\,\mathbf{5}44 \gt 345\,\mathbf{4}56$

  
  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Um zwei Zahlen zu vergleichen, vergleichen wir stellenweise von links nach rechts die einzelnen Ziffern.

  Dies gilt nur, wenn wir vorher die Stellenzahl verglichen haben und zu dem Schluss gekommen sind, dass beide Zahlen gleich viele Ziffern haben.

  Beispiel:

  $355\,900 > 50\,800$, obwohl die erste Ziffer von links bei der zweiten Zahl größer ist.

  
  

  • Haben zwei Zahlen gleich viele Ziffern, ist die Zahl mit der größeren Endziffer größer.

  Diese Aussage ist nicht richtig, da die hinterste Ziffer den niedrigsten Stellenwert hat.

  Beispiel:

  $500\,566 < 900\,564$, obwohl die zweite Zahl eine kleinere Endziffer hat.

• Vervollständige die Ungleichung.

  Tipps

  Haben beide Zahlen gleich viele Stellen und ist die vorderste Ziffer gleich, vergleichen wir dann stellenweise von links nach rechts die einzelnen Ziffern.

  Beispiel:

  China hat mehr Einwohner*innen als Indien.

  Lösung

  Um zwei große natürliche Zahlen zu vergleichen, gehen wir wie folgt vor:

  • Zuerst vergleichen wir die Stellenzahl, also die Anzahl der Ziffern der beiden Zahlen. Es gilt: Von zwei Zahlen ist diejenige Zahl größer, die mehr Ziffern hat.
  • Haben zwei Zahlen die gleiche Anzahl an Ziffern, vergleichen wir zuerst die vorderste Ziffer. Die Zahl, deren vorderste Ziffer größer ist, ist auch größer.
  • Haben beide Zahlen gleich viele Stellen und ist die vorderste Ziffer gleich, vergleichen wir dann stellenweise von links nach rechts die einzelnen Ziffern.

  Wir gehen genauso bei den drei gegebenen Zahlen vor:

  • Alle drei Zahlen haben acht Ziffern.
  • Wir vergleichen daher die erste Ziffer: Sie ist bei allen drei Zahlen gleich, nämlich $6$.
  • Die zweite Ziffer von links ist bei der Zahl $60\,593\,000$ eine $0$, bei der $65\,803\,000$ eine $5$ und bei der $68\,582\,000$ eine $8$. Wegen $8>5>0$ gilt insgesamt:

  $68\,582\,000 \gt 65\,803\,000 \gt 60\,593\,000$

• Vergleiche die Zahlen.

  Tipps

  Vergleiche zuerst die Anzahl der Ziffern der beiden Zahlen.

  Wenn beide Zahlen gleich viele Ziffern haben, vergleichst du die einzelnen Ziffern stellenweise von links nach rechts.

  Beispiel:

  $250\,000\,000$ und $486\,400\,000$

  Beide Ziffern haben neun Stellen. Wir vergleichen daher die erste Ziffer von links und erkennen: $2<4$

  Daher gilt:

  $250\,000\,000 <486\,400\,000$

  Lösung

  Um zwei große natürliche Zahlen zu vergleichen, gehen wir wie folgt vor:

  • Zuerst vergleichen wir die Stellenzahl, also die Anzahl der Ziffern der beiden Zahlen. Es gilt: Von zwei Zahlen ist diejenige Zahl größer, die mehr Ziffern hat.
  • Haben zwei Zahlen die gleiche Anzahl an Ziffern, vergleichen wir zuerst die vorderste Ziffer. Die Zahl, deren vorderste Ziffer größer ist, ist auch größer.
  • Haben beide Zahlen gleich viele Stellen und ist die vorderste Ziffer gleich, vergleichen wir dann stellenweise von links nach rechts die einzelnen Ziffern.

  Beispiel 1:

  $193\,234\,000$ und $494\,449\,000$

  Beide Ziffern haben neun Stellen. Wir vergleichen darum die erste Ziffer von links und erkennen:

  $1<4$

  Daher gilt:

  $\mathbf{1}93\,234\,000 < \mathbf{4}94\,449\,000$

  Beispiel 2:

  $9\,793\,000$ und $34\,394\,000$

  Die erste Zahl hat sieben Stellen und die zweite Zahl hat acht Stellen. Deshalb gilt:

  $9\,793\,000 < 34\,394\,000$

  Beispiel 3:

  $356\,494\,666\,300$ und $356\,494\,666\,300$

  Beide Zahlen haben zwölf Stellen. Wir vergleichen daher die Ziffern von links nach rechts und erkennen, dass alle Stellen gleich sind. Darum gilt:

  $356\,494\,666\,300 = 356\,494\,666\,300$

  Beispiel 4:

  $55\,928\,997\,000$ und $55\,928\,494\,000$

  Beide Zahlen haben elf Stellen. Wir vergleichen deshalb die Ziffern von links nach rechts und erkennen, dass bei der sechsten Ziffer von links gilt:

  $9>4$

  Deswegen gilt:

  $55\,928\,\mathbf{9}97\,000 > 55\,928\,\mathbf{4}94\,000$

• Ordne die Zahlen der Größe nach.

  Tipps

  Zähle zuerst bei allen Zahlen die Anzahl der Ziffern.

  Wenn du zwei Zahlen mit der gleichen Anzahl von Ziffern vergleichen möchtest, betrachtest du stellenweise von links nach rechts die einzelnen Ziffern.

  Lösung

  Um große natürliche Zahlen zu sortieren, gehen wir wie folgt vor:

  • Zuerst vergleichen wir die Stellenzahl, also die Anzahl der Ziffern der beiden Zahlen. Es gilt: Die Zahl mit den meisten Ziffern ist am größten.

  $90\,484\,499$ und $90\,575\,239$ haben acht Stellen.
  $228\,349\,888$ und $239\,990\,000$ haben neun Stellen.
  $67\,239\,239\,300$ hat elf Stellen und ist daher am größten.

  • Haben mehrere Zahlen die gleiche Anzahl an Ziffern, vergleichen wir zuerst die vorderste Ziffer. Stimmen die Zahlen auch in der ersten Ziffer überein, vergleichen wir stellenweise von links nach rechts die weiteren Stellen. Dabei ist stets die Zahl größer, bei der die Ziffer an der ersten Stelle, in der sich die Zahlen unterscheiden, größer ist.

  Wir vergleichen $90\,484\,499$ und $90\,575\,239$, indem wir die Ziffern von links nach rechts vergleichen. Wir erkennen an der dritten Ziffer von links, dass $90\,\mathbf{4}84\,499 < 90\,\mathbf{5}75\,239$.
  Wir vergleichen $228\,349\,888$ und $239\,990\,000$, indem wir die Ziffern von links nach rechts vergleichen. Wir erkennen an der zweiten Ziffer von links, dass $2\mathbf{2}8\,349\,888<2\mathbf{3}9\,990\,000$.

  Insgesamt ergibt sich somit folgende Reihenfolge:

  $90\,484\,499 < 90\,575\,239 < 228\,349\,888<239\,990\,000 < 67\,239\,239\,300$

• Gib an, wie du die Ungleichheitszeichen verwendest.

  Tipps

  Stelle dir vor, das Ungleichheitszeichen ist ein Krokodilmaul: Wo passt mehr hinein?

  Lösung

  Wir setzen das Ungleichheitszeichen so ein, dass die Öffnung zur größeren Zahl und die Spitze zur kleineren Zahl zeigt. Daher gilt:

  • kleinere Zahl $<$ größere Zahl

  Beispiel: $3<12$

  • größere Zahl $>$ kleinere Zahl

  Beispiel: $9 > 5$

• Entscheide, welche Zahl am größten und welche am kleinsten ist.

  Tipps

  Wenn du mehr als zwei Zahlen vergleichst, dann kannst du dieselben Regeln verwenden.

  Beispiel:

  $2\,540\,000 \quad 23\,540\,000 \quad 23\,500\,000$

  Da $2\,540\,000$ die wenigsten Stellen hat, ist es die kleinste Zahl.
  Die verbleibenden beiden Zahl können wir stellenweise von links nach rechts vergleichen:

  $23\,5\mathbf{4}0\,000 \gt 23\,5\mathbf{0}0\,000$, da in der vierten Stelle $4 \gt 0$ gilt.

  Lösung

  Um große natürliche Zahlen zu vergleichen, gehen wir wie folgt vor:

  • Zuerst vergleichen wir die Stellenzahl, also die Anzahl der Ziffern der beiden Zahlen. Es gilt: Die Zahl mit den meisten Ziffern ist am größten.
  • Haben mehrere Zahlen die gleiche Anzahl an Ziffern, vergleichen wir zuerst die vorderste Ziffer. Die Zahl, deren vorderste Ziffer am größten ist, ist auch am größten.
  • Haben die Zahlen gleich viele Stellen und ist die vorderste Ziffer gleich, vergleichen wir dann stellenweise von links nach rechts die einzelnen Ziffern.

  Beispiel 1:

  $65\,220\,123\,122$ und $\underbrace{88\,444\,000\,947}_{\mathbf{größte~Zahl}}$ und $\underbrace{5\,844\,001\,888}_{\mathbf{kleinste~Zahl}}$

  $5\,844\,001\,888$ hat am wenigsten Ziffern und ist daher am kleinsten.

  $65\,220\,123\,122$ und $88\,444\,000\,947$ haben gleich viele Ziffern. Wir vergleichen daher die erste Ziffer von links und erkennen, dass $6<8$. Deshalb ist $88\,444\,000\,947$ die größte Zahl.

  Beispiel 2:

  $\underbrace{34\,949\,355}_{\mathbf{kleinste~Zahl}}$ und $35\,949\,000$ und $\underbrace{44\,000\,122}_{\mathbf{größte~Zahl}}$ und $41\,500\,220$

  Alle Zahlen haben die gleiche Stellenzahl. Wir vergleichen darum die Ziffern von links nach rechts. Die erste Ziffer ist bei den Zahlen $34\,949\,355$ und $35\,949\,000$ am kleinsten. Um zu entscheiden, welche der beiden Zahlen kleiner ist, vergleichen wir die zweite Ziffer und erkennen so, dass $34\,949\,355$ die kleinste Zahl ist.

  Wir vergleichen jetzt bei den beiden größeren Zahlen $44\,000\,122$ und $41\,500\,220$ die zweite Ziffer und erkennen, dass $44\,000\,122$ die größte Zahl ist.

  Beispiel 3:

  $\underbrace{101\,344\,212}_{\mathbf{kleinste~Zahl}}$ und $101\,452\,000$ und $103\,230\,120$ und $\underbrace{2\,226\,948\,123}_{\mathbf{größte~Zahl}}$

  $2\,226\,948\,123$ hat eine Stelle mehr als die anderen drei Zahlen und ist daher am größten.

  Wir vergleichen bei den anderen drei Zahlen stellenweise von links nach rechts die einzelnen Ziffern. Die ersten beiden Ziffern sind gleich. Bei der dritten Ziffer gilt $1\lt3$. Wir vergleichen deswegen nun die vierte Ziffer von $101\,344\,212$ und $101\,452\,000$ und erkennen so, dass $101\,344\,212$ die kleinste Zahl ist.