Natürliche Zahlen vergleichen
Vergleichen von natürlichen Zahlen leicht erklärt! Erfahre, wie man Zahlen nach ihrer Stellenanzahl, durch Subtraktion oder auf dem Zahlenstrahl vergleichen kann. Möchtest du mehr über diese Vergleichsmethoden erfahren und Übungen dazu machen? Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Natürliche Zahlen vergleichen
Einführung: Wie vergleicht man natürliche Zahlen?
Betrachten wir die drei Zahlen $42$, $167$ und $20$. Bei diesen drei Zahlen handelt es sich um natürliche Zahlen. Doch wie können wir diese drei natürlichen Zahlen miteinander vergleichen?
Beim Vergleichen von Zahlen geht es darum, herauszufinden, welche Zahl größer ist und welche Zahl kleiner ist. Für das Vergleichen natürlicher Zahlen gibt es verschiedene Möglichkeiten. Im Folgenden findest du eine genaue Erklärung dazu, wie man natürliche Zahlen miteinander vergleichen kann.
Vergleichen der Anzahl an Stellen
Ganz schnell können wir natürliche Zahlen miteinander vergleichen, wenn sie eine unterschiedliche Anzahl an Stellen haben. Die Zahl, die mehr Stellen hat, ist die größere Zahl. Betrachten wir ein Beispiel:
Die Zahl $167$ hat drei Stellen. Die Zahl $20$ hat nur zwei Stellen. Also ist die $167$ die größere der beiden Zahlen. Wir können schreiben:
$20 < 167 \quad$ gelesen als: $20$ ist kleiner als $167$.
Das Zeichen zwischen den beiden Zahlen ist das Kleiner-als-Zeichen. Es zeigt mit der Spitze auf die kleinere Zahl. Wir können jedoch auch schreiben:
$167 > 20 \quad$ gelesen als: $167$ ist größer als $20$.
Bei dem Zeichen handelt es sich um das Größer-als-Zeichen. Auch dieses zeigt mit der Spitze auf die kleinere Zahl. Hier steht die kleinere Zahl rechts vom Vergleichszeichen und die größere links davon.
Vergleichen durch Subtraktion
Wie können wir zwei Zahlen mit der gleichen Anzahl an Stellen vergleichen? Natürliche Zahlen mit der gleichen Anzahl an Stellen können voneinander subtrahiert werden. Erhalten wir eine natürliche Zahl als Ergebnis, so ist die abgezogene Zahl die kleinere Zahl. Ist das Ergebnis eine Zahl, die kleiner als null ist, so ist die abgezogene Zahl die größere Zahl. Betrachten wir ein Beispiel:
Welche der Zahlen $20$ und $42$ ist die größere Zahl? Subtrahieren wir $20$ von $42$, so erhalten wir:
$42 - 20 = 22$
Da $22$ eine natürliche Zahl ist, ist $20$ die kleinere Zahl. Wir können schreiben:
$20 < 42 \quad$ oder:$\quad 42 > 20$
Die Zahl $20$ ist kleiner als die Zahl $42$. Wir können aber auch sagen, dass die Zahl $42$ größer als die Zahl $20$ ist. Beide Sätze sagen das Gleiche aus.
Vergleichen mithilfe des Zahlenstrahls
Eine weitere Möglichkeit, zwei Zahlen miteinander zu vergleichen, ist es, den Zahlenstrahl zur Hilfe zu nehmen. Am Zahlenstrahl werden die Zahlen der Größe nach angeordnet.
Es gilt: Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl steht, desto größer ist sie. Je weiter links eine Zahl steht, desto kleiner ist sie.
Betrachten wir auch hier ein Beispiel:
Wir sehen, dass die $42$ weiter links steht als die $167$. Somit ist die $42$ kleiner als die $167$.
$42 < 167$
Wie ordnet man natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl an? Diese Frage wird im Video Zahlen auf dem Zahlenstrahl beantwortet.
Zusammenfassung: natürliche Zahlen vergleichen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um natürliche Zahlen miteinander zu vergleichen. Die folgenden Stichpunkte fassen die drei verschiedenen Methoden noch einmal zusammen:
- Vergleichen der Anzahl an Stellen: Die natürliche Zahl, die mehr Stellen besitzt, ist die größere Zahl.
- Vergleichen durch Subtraktion: Subtrahiert man eine natürliche Zahl von der anderen und erhält ein positives Ergebnis, so ist die abgezogene Zahl die kleinere. Ist das Ergebnis negativ, so ist die abgezogene Zahl die größere.
- Vergleichen mithilfe des Zahlenstrahls: Die natürliche Zahl, die weiter rechts auf dem Zahlenstrahl steht, ist die größere Zahl.
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Natürliche Zahlen vergleichen.
Transkript Natürliche Zahlen vergleichen
Jennyfee, Feelix und Lucyfee sind die drei neuen Lehrlinge in der Zahnfee-Firma. Gerade hatten sie ihre Abschlussprüfung. Wer mehr Zähne gesammelt hat, bekommt den Job! Um der Feenjury bei der Auswertung zu helfen, müssen wir natürliche Zahlen vergleichen. Hier sehen wir, wie viele Zähne jede einzelne Fee gesammelt hat. Und wie können wir diese Zahlen jetzt vergleichen? Sehen wir uns die natürlichen Zahlen nochmals an. Natürliche Zahlen benutzen wir zum Zählen. Wir starten bei der Null. Für manche beginnen die natürlichen Zahlen übrigens erst bei der Eins. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Den bekommen wir, wenn wir die 'Zahl plus eins' rechnen. Und fast alle natürlichen Zahlen haben auch einen Vorgänger. Das ist die 'Zahl minus eins'. Nur die Startzahl, also die Null oder die Eins, hat keinen Vorgänger. Die Anzahl der Zähne, die die einzelnen Zahnfeen gesammelt haben, sind auch natürliche Zahlen. Und die werden wir jetzt vergleichen. Das heißt, wir finden heraus, welche Zahl größer beziehungsweise kleiner ist. Wenn wir die gesammelten Zähne zählen, stellen wir fest, dass Lucyfee weniger Zähne gesammelt hat als Feelix. Du siehst auf einen Blick, dass die Anzahl von Lucyfees Zähnen kleiner ist als die von Feelix'. Man sagt, 20 ist kleiner als 167. Zum Aufschreiben benutzt man das kleiner-Zeichen. Auf der kleinen Seite ist es klein und zur großen Seite ist es groß. Das geht auch umgekehrt: 167 ist größer als 20. Dafür benutzt du das größer-Zeichen. Beim Kleiner- und Größer-Zeichen kannst du dir merken: Die große Seite zeigt immer zur großen Zahl, die kleine Seite zur kleinen Zahl. Kann man zwei Zahlen auch vergleichen, ohne die Objekte zu zählen? Das geht! Denn man kann ja nur kleinere Zahlen von größeren abziehen. Wenn du zum Beispiel 42 minus 20 rechnest, erhältst du ein sinnvolles Ergebnis, nämlich 22. Also ist 42 größer als 20. Und wie sieht das in diesem Fall aus? Weil du 20 minus 42 nicht rechnen kannst, gilt: 20 ist kleiner als 42. Ganz schnell kannst du Zahlen miteinander vergleichen, wenn sie eine unterschiedliche Anzahl an Stellen haben. Die Zahl, die mehr Stellen hat, ist immer die größere. Wenn zwei Zahlen gleich viele Stellen haben, hilft dir das natürlich nicht. Auch der Zahlenstrahl kann dir helfen, Zahlen miteinander zu vergleichen, denn hier werden die Zahlen der Größe nach angeordnet. Je weiter rechts auf dem Zahlenstrahl eine Zahl steht, desto größer ist sie. Entsprechend ist eine Zahl kleiner, wenn sie weiter links auf dem Zahlenstrahl steht. Zum Beispiel steht die 42 weiter links als die 167 und ist deshalb kleiner. Du hast jetzt mehrere Möglichkeiten kennengelernt, natürliche Zahlen zu vergleichen. Schauen wir uns beispielsweise nochmal an, wie du 9 und 12 vergleichen kannst. Eine Möglichkeit ist es, zu vergleichen, um wie viele Objekte es sich jeweils handelt. Du siehst, dass 9 Kästchen weniger Kästchen sind als 12. Also ist 9 kleiner als 12. Oder du probierst die Subtraktion aus. 9 minus 12 kannst du nicht rechnen, also ist 9 kleiner als 12. Wenn die Zahlen unterschiedlich viele Stellen haben, kannst du auch einfach die Anzahl der Stellen vergleichen. Zum Beispiel hat 12 zwei Stellen, 9 aber nur eine. Deshalb ist 12 größer als 9. Und auf dem Zahlenstrahl befindet sich die 9 links von der 12. Du siehst: 9 ist kleiner als 12. Feelix ist natürlich der Zahnfeelehrling des Jahres und bekommt den Job. Aber wie kam er denn an so viele Zähne?
Natürliche Zahlen vergleichen Übung
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Beschreibe, wie du natürliche Zahlen vergleichst.
TippsAuf dem Zahlenstrahl sind die Zahlen nach der Größe angeordnet.
Von der größeren Zahl kannst du die kleinere Zahl subtrahieren.
Die offene Seite des Vergleichszeichens $<$ zeigt zur größeren Zahl.
LösungEs gibt mindestens vier Möglichkeiten, um herauszufinden, welche Zahl die größere ist.
Zählen
Du kannst die Elemente einer Menge zählen. Die Menge mit weniger Elementen ergibt die kleinere Anzahl. $9$ Elemente sind weniger als $12$ Elemente. Du kannst also schreiben:
$9 < 12$
Rechnen
Du kannst die Zahlen auch voneinander abziehen. Sind die beiden Zahlen verschieden, so erhältst du nur bei einer der beiden möglichen Rechnungen ein sinnvolles Ergebnis. $12-9 = 3$ ist eine korrekte Rechnung, die Zahl $12$ ist daher größer als die Zahl $9$. In Zeichen:
$12 > 9$.
Die Aufgabe $9 - 12$ hat aber kein sinnvolles Ergebnis, denn die Zahl $9$ ist zu klein, um die Zahl $12$ davon abzuziehen. $9$ ist nämlich kleiner als $12$. In Zeichen:
$9 < 12$.
Ablesen
Auf dem Zahlenstrahl kannst du die Zahlen ablesen. Dort erkennst du auch, welche Zahl die größere ist, denn die Zahlen sind auf dem Zahlenstrahl nach der Größe sortiert. Der Zahlenstrahl beginnt mit $0$ oder $1$, jeder Schritt nach rechts zählt um $1$ weiter. Die Zahlen werden daher nach rechts immer größer. Die Zahl $9$ steht weiter links als die Zahl $12$, daher ist:
$9 < 12$
Stellen vergleichen:
Haben die beiden Zahlen verschieden viele Stellen, so ist die Zahl mit mehr Stellen die größere. Die Zahl $12$ hat zwei Sellen und damit mehr Stellen als die Zahl $9$. Es ist also:
$12 > 9$
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Gib die Regeln zum Vergleich natürlicher Zahlen an.
TippsWenn die Subtraktion zweier natürlicher Zahlen kein sinnvolles Ergebnis liefert, ist die abgezogene Zahl größer als die andere.
Eine Zahl mit mehr Stellen ist größer als eine Zahl mit weniger Stellen.
Die Spitze des Vergleichszeichens zeigt zur kleineren Zahl.
LösungRichtig sind diese Aussagen:
- „Weil Du $167-42$ ausrechnen kannst, ist $167 > 42$.“
- „Für die Aufgabe $20-42$ findest Du kein sinnvolles Ergebnis, daher ist $20 < 42$.“ Die Zahl $20$ ist zu klein, um $42$ davon abzuziehen, d.h. $20$ ist kleiner als $42$.
- „Lucy-Fees $20$ Zähne liegen auf dem Zahlenstrahl weiter links als Jenny-Fees $42$ Zähne. Daher ist $42 > 20$.“ Je weiter rechts die Zahlen liegen, desto größer sind sie, denn der Zahlenstrahl entsteht durch das Weiterzählen um $1$ nach rechts.
- „Die Zahl $167$ der Zähne von Fee-Lix hat mehr Stellen als die Zahl $20$ von Lucy-Fees Zähnen. Deshalb ist $20 < 167$.“ Natürliche Zahlen mit mehr Stellen sind stets größer als natürliche Zahlen mit weniger Stellen.
Falsch sind diese Aussagen:
- „Fee-Lix hat $167$ Zähne gesammelt und Jenny-Fee weniger, nämlich nur $42$. Daher ist $167 < 42$.“ Die kleine Seite des Vergleichszeichens zeigt zur kleineren Zahl, also zur Zahl $40$.
- „Fee-Lix versucht, seine $167$ Zähne von Lucy-Fees $20$ Zähnen abzuziehen. Da er kein sinnvolles Ergebnis erhält, ist $167 < 20$.“ Die Zahl $20$ ist zu klein, um $167$ davon abzuziehen: $20$ ist kleiner als $167$, also $20 < 167$.
- „Lucy-Fee vergleicht ihre $20$ Zähne mit den $42$ Zähnen von Jenny-Fee. Da Lucy-Fees Haufen viel kleiner ist, gilt $20 > 42$.“ Der kleinere Haufen gehört zur kleineren Zahl. Es ist also $20 < 42$.
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Entscheide, welche Vergleiche richtig sind.
TippsEine Zahl mit weniger Stellen ist kleiner als eine Zahl mit mehr Stellen.
Auf dem Zahlenstrahl stehen die kleineren Zahlen weiter links als die größeren Zahlen.
$17$ ist kleiner als $38$, daher gilt die Ungeichung $17 < 38$.
LösungDie kleine Seite des Vergleichszeichens zeigt immer zur kleineren Zahl.
Richtig sind diese Ungleichungen:
- $67<76$, denn $67 - 76$ kannst du nicht rechnen.
- $8765 < 10032$, denn die rechte Zahl hat mehr Stellen als die linke.
- $41302 > 41032$, denn $41302 - 41032 = 270$ kannst du rechnen.
- $5641 > 4561$, denn $4561 - 5641$ kannst du nicht ausrechnen.
- $176<167$, denn $167 - 176$ kannst du nicht rechnen.
- $415 > 514$, richtig wäre $415 < 514$, denn $514 - 415 = 99$ kannst du ausrechnen.
- $7631 < 6732$, denn $6732 - 7631$ kannst du nicht ausrechnen.
- $78621 < 78619$, richtig wäre $78621 > 78619$, denn $78621 - 78619 = 2$ kannst du ausrechnen.
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Vergleiche die gegebenen natürlichen Zahlen.
TippsAuf dem Zahlenstrahl entspricht das Weiterzählen um $+1$ einem Schritt nach rechts.
Je weniger Stellen eine Zahl hat, desto kleiner ist sie.
Vergleiche die Stellen von links nach rechts, also z.B. Zehntausender, Tausender, Hunderter etc.
LösungZunächt kannst du die kleinste und größte natürliche Zahl finden. $4$ ist einstellig und daher kleiner als alle anderen angegebenen Zahlen. $1031$ ist die größte dieser Zahlen, denn sie hat als einzige vier Stellen.
Für die übrigen Zahlen kannst du zunächst die zweistelligen und die dreistelligen Zahlen zu Gruppen zusammenfassen. Die zweistelligen Zahlen sind kleiner als die dreistelligen. Innerhalb dieser beiden Gruppen findest du bspw. durch Subtraktion die Größenvergleiche.
Insgesamt ergibt sich folgende Anordnung:
$4$
$23$
$32$
$67$
$87$
$176$
$365$
$761$
$762$
$1031$
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Bestimme die größere Zahl.
TippsDie Zahl $12$ ist zu groß, um sie von der Zahl $9$ abzuziehen, d.h. $12$ ist größer als $9$.
Das Vergleichszeichen ist wie der Schnabel eines hungrigen Vogelkükens: Er ist immer zum größeren Bissen hin aufgesperrt.
Auf dem Zahlenstrahl kannst du die natürlichen Zahlen eine nach der anderen ablesen. Beim Weiterzählen gehst du jeweils einen Schritt weiter nach rechts.
LösungEs gibt verschiedene Möglichkeiten, um die drei Zahlen zu vergleichen.
Zählen:
Der Haufen von Fee-Lix ist größer, enthält also mehr Zähne, als der Haufen von Lucy-Fee. Daher ist:
$20 < 167$
Der Haufen von Jenny-Fee enthält mehr Zähne als der von Lucy-Fee, daher gilt hier:
$42 > 20$
Ablesen:
Die Zahlen sind auf dem Zahlenstrahl nach der Größe sortiert, du kannst also ablesen, welche Zahl die größere ist. $20$ liegt weiter links als $42$, daher ist:
$42 > 20$
Die Zahl $167$ liegt weiter rechts als die Zahl $42$. Daher ist:
$42 < 167$
Rechnen:
Die Zahl $167$ ist zu groß, um sie von $42$ abzuziehen. Deswegen gilt:
$42 < 167$
Aber du kannst von $42$ die Zahl $20$ abziehen. Daher ist:
$42 > 20$
-
Vergleiche die Zahlen.
TippsWer jünger ist, muss nicht kleiner sein.
$12 > 8$ und dieselbe Relation gilt auch für die Hälfte beider Zahlen: $6 > 4$.
Lösung- Obwohl Sandro jünger ist als Sara, ist er bereits größer, denn $172 > 167$.
- Sara hat kleinere Füße als Sandro. Für die Schuhgrößen gilt die Ungleichung $37 < 41$
- Da Sara etwas kleiner als Sandro ist, kommt sie auf etwas mehr Schritte: $9842 < 10286$
- Wenn Sara und Sandro jeweils noch $10~\text{cm}$ wachsen, dann bleibt Sandro trotzdem größer als Sara. Für ihre neuen Größen in $\text{cm}$ gilt dann: $177 < 182$
- Wenn aber nur Sara um $15~\text{cm}$ wächst und Sandro nicht mehr wächst, dann gilt für ihre neuen Größen: $172 < 182$
- Zählen Sara und Sandro auf ihrem Schulweg nur jeden zweiten Schritt, so kommen sie jeweils auf die Hälfte der Schritte. Immer noch zählt Sara mehr Schritte als Sandro. Für die neuen Schrittzahlen gilt die Ungleichung $5143 > 4921$
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Tolles Video.Ich finde toll dass sie am Ende witzig sind
Geil
Super guter Film. 👍🏻
Danke ich mag so welche Videos es macht mehr Spaß die anzuschauen. Und ich verstehe die viel besser . 😉😉😉😊😊😊
Danke :-)