Natürliche Zahlen – Einführung

Natürliche Zahlen – Einführung Übung

• Ergänze die Eigenschaften natürlicher Zahlen.

  Tipps

  Die natürlichen Zahlen benutzt du, wenn du herausfinden möchtest, wie viele Murmeln in einem Murmelsäckchen sind.

  Den Nachfolger einer natürlichen Zahl findest du durch Weiterzählen.

  Das Weiterzählen geht nie zu Ende.

  Lösung

  Zum Zählen verwendest du die natürlichen Zahlen. Sie beginnen mit $0$ oder $1$, genau wie du beim Zählen mit $0$ oder mit $1$ anfängst. Jede weitere natürliche Zahl findest du durch Weiterzählen um $+1$.

  Die Menge aller dieser Zahlen bezeichnen wir mit dem Buchstaben $\mathbb N$. Jede natürliche Zahl ist ein Element von $\mathbb N$. Die $0$ kann man als natürliche Zahl ansehen oder auch nicht. Darüber musst du dich mit deinen Lehrern einigen.

  Natürliche Zahlen verwendest du wie gesagt zum Zählen. Der Vorgänger einer natürlichen Zahl ist um $1$ kleiner, der Nachfolger um $1$ größer.

  Zu jeder natürlichen Zahl kannst du den Nachfolger finden, indem du um $1$ weiterzählst, d.h. indem du $+1$ rechnest. Da du immer weiterzählen kannst und nie an ein Ende gelangst, gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.

• Benenne Eigenschaften natürlicher Zahlen.

  Tipps

  Durch Weiterzählen findest du zu jeder natürlichen Zahl noch eine größere.

  Überlege, ob du beim Rückwärtszählen auch immer neue natürliche Zahlen findest.

  Ganze Zahlen sind $0$, $+1$, $-1$, $+2$, $-2$, $+3$, $-3$ $\ldots$

  Lösung

  Folgende Aussagen sind wahr:

  • „Zu jeder natürlichen Zahl gibt es einen Nachfolger.“ Den Nachfolger findest du, indem du $+1$ rechnest.

  • „Die Menge der natürlichen Zahlen hat unendlich viele Elemente.“ Da du immer weiterzählen kannst, gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.

  • „Es gibt keine größte, aber eine kleinste natürliche Zahl.“ Du kannst immer weiterzählen, daher gibt es keine größte natürliche Zahl. Das Zählen beginnt aber bei $0$ oder $1$, daher gibt es eine kleinste natürliche Zahl.

  Diese Aussagen sind dagegen falsch:

  • „Das Symbol $\mathbb N$ bezeichnet die größte natürliche Zahl.“ Dieses Symbol bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen. Eine größte natürliche Zahl gibt es nicht.

  • „Den Vorgänger einer natürlichen Zahl findest du, indem du $+1$ rechnest.“ Um den Vorgänger zu finden, musst du rückwärts zählen, also $-1$ rechnen.

  • „Die größte natürliche Zahl ist $123.456.789.000.000$.“ Es gibt keine größte natürliche Zahl. Der Nachfolger der Zahl $123.456.789.000.000$ ist $123.456.789.000.001$ und ist größer.

• Bestimme Vorgänger und Nachfolger.

  Tipps

  Zwei Zahlen sind benachbart, wenn sie sich um $+1$ oder um $-1$ unterscheiden.

  Achte beim Rückwärtszählen auf den Zehner-Übertrag.

  Der Vorgänger von $4.321$ ist $4.320$.

  Lösung

  Den Nachfolger zu einer natürlichen Zahl findest du, indem du $+1$ rechnest, den Vorgänger durch $-1$. Hier ergeben sich diese Zuordnungen:

  • Die Zahl $56.789$ hat den Vorgänger $56.788$ und den Nachfolger $56.790$.

  • Die Zahl $56.798$ hat als Vorgänger die Zahl $56.797$ und als Nachfolger $56.799$.

  • Der Vorgänger von $56.777$ ist die Zahl $56.776$, der Nachfolger ist $56.778$.

  • Für die Zahl $56.799$ ist der Nachfolger $56.800$, der Vorgänger ist die Zahl $56.798$.

• Vergleiche die Zahlen.

  Tipps

  Beachte, dass du den Vorgänger oder Nachfolger finden musst.

  Rechnest du zu einer natürlichen Zahl $1$ dazu, so findest du den Nachfolger.

  Der Nachfolger von $71.999$ ist $72.000$.

  Lösung

  Den Nachfolger einer natürlichen Zahl findest du, indem du $+1$ rechnest. Den Vorgänger erhältst du, indem du $-1$ rechnest. Zwei Zahlen sind benachbart, wenn sie sich um $1$ unterscheiden. Da hier manche Zahlen mehrmals vorkommen, musst du genau aufpassen, die richtigen Paare benachbarter Zahlen zu finden. Du kannst z.B. mit den oberen Zahlen beginnen, jeweils $+1$ und $-1$ rechnen und nachschauen, welches der beiden Ergebnisse bei den unteren Zahlen vorkommt.

  Am Ende findest du folgende Zuordnung:

  • $987.654.321$ ist der Nachfolger von $987.654.320$.

  • $987.654.322$ ist der Nachfolger von $987.654.321$.

  • $98.765.432$ ist der Vorgänger von $98.765.433$.

  • $9.876.541$ ist der Nachfolger von $9.876.540$.

  • $9.876.540$ ist der Nachfolger von $9.876.539$.

• Gib die Eigenschaften natürlicher Zahlen wieder.

  Tipps

  Bevor Edwin $16$ Jahre alt wurde, war er ein Jahr jünger.

  Stelle dir vor, du zählst beim Treppensteigen die Stufen. Überlege, was du von einer Stufe zur nächsten rechnen musst.

  Der Nachfolger von $599$ ist $600$.

  Lösung

  Die Treppenstufen zählst du vorwärts: Nach der Stufe Nr. $528$ kommt die Stufe Nr. $529$. Die Tage bis zu deinem Geburtstag zählst du rückwärts: Gestern waren es noch $34$ Tage, heute sind es nur noch $33$ und morgen hast du bereits in $32$ Tagen Geburtstag. Durch Vorwärtszählen oder das Rechnen von $+1$ findest du jeweils den Nachfolger einer natürlichen Zahl, durch Rückwärtszählen oder das Rechnen von $-1$ den Vorgänger.

  Edwin ist jetzt $16$ Jahre alt. Vor einem Jahr war er ein Jahr jünger, also $15$. In einem Jahr wird er $17$ Jahre alt sein. Edwin zählt die Stufen der Treppe der Weisheit, er beginnt mit $1$. Für jede weitere Stufe zählt er um $1$ weiter, d.h. er rechnet $+1$.

  Nach einiger Zeit hat Edwin schon die Stufe $1.178.047$ erreicht. Die vorige Stufe hatte die um $1$ kleinere Zahl, also $1.178.046$. Die Zahl der nächsten Stufe ist um $1$ größer als die der jetzigen Stufe, also $1.178.048$. Den Vorgänger einer natürlichen Zahl findest du, indem du rückwärts zählst oder $-1$ rechnest. Für den Nachfolger musst du um $1$ weiterzählen oder $+1$ rechnen.

  Edwin hat inzwischen schon sehr viele Stufen der Weisheit erklommen, nämlich $2.102.400.300$. Für die nächste Stufe rechnet er $+1$ und kommt auf $2.102.400.301$. Für die vorige Stufe rechnet er $-1$, beachtet dabei den Zehner- und den Hunderter-Übergang und kommt auf $2.102.400.299$.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Die Menge der natürlichen Zahlen verhält sich zu jeder einzelnen natürlichen Zahl wie die Verpackung zum Inhalt. Die Zahlen, mit denen Du rechnest, sind der Inhalt.

  Überlege, ob Du beim Vorwärts- und Rückwärtszählen in den natürlichen Zahlen an ein Ende kommst.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Es gibt nicht unendlich viele natürliche Zahlen.“ Die natürlichen Zahlen findest du durch Weiterzählen, ausgehend von $1$ oder $0$. Da du immer weiterzählen kannst, kommst du nie an ein Ende. Daher gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.

  • „Es gilt $\mathbb N = \{0; 2; 4; 6; 8; \ldots\}$.“ Die gegebene Menge enthält nicht alle natürlichen, sondern nur die geraden natürlichen Zahlen. Da es auch ungerade natürliche Zahlen gibt, ist die Aussage falsch.

  • „$1$ ist die einzige Zahl aus $\mathbb N_0$, zu der es keinen Vorgänger in $\mathbb N_0$ gibt.“ Die Menge $\mathbb N_0$ enthält auch die Zahl $0$, diese ist der Vorgänger von $1$. Für die $0$ wäre die Aussage richtig: $0$ ist die einzige Zahl aus $\mathbb N_0$, zu der es keinen Vorgänger in $\mathbb N_0$ gibt.

  Diese Aussagen sind richtig:

  • „Es gibt eine kleinste, aber keine größte natürliche Zahl.“ Die kleinste natürliche Zahl ist je nach Konvention $0$ oder $1$, aber eine größte natürliche Zahl gibt es nicht.

  • „Die Menge der $\mathbb N_0$ enthält alle positiven geraden und ungeraden Zahlen und die $0$ und enthält keine weiteren Zahlen.“ Jede positive ganze Zahl ist eine natürliche Zahl. Nehmen wir zu diesen Zahlen noch die $0$ hinzu, sind keine weiteren Zahlen in $\mathbb N_0$ enthalten.

  • „Die Menge der natürlichen Zahlen ist selbst keine natürliche Zahl.“ Die Menge der natürlichen Zahlen ist keine natürliche Zahl, so wie die Chipstüte selbst kein Chip ist. Mit der Menge der natürlichen Zahlen kannst du nicht in derselben Weise rechnen oder zählen wie mit den Zahlen selbst. Analog isst du auch nicht die Verpackung der Chips, sondern nur ihren Inhalt.