Skalarprodukt – Elementargeometrische Beweise

Skalarprodukt – Elementargeometrische Beweise Übung

• Gib den Höhensatz und den Satz des Pythagoras wieder.

  Tipps

  In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man die längste Seite gegenüber vom rechten Winkel Hypotenuse. Die anderen beiden Seiten nennt man Katheten.

  Schau dir das Bild beim Satz des Pythagoras an:

  • Welche Flächen sind rot markiert?
  • Welche Fläche ist grün markiert?
  • Welche Fläche hat den größten Inhalt?

  Schau dir das Bild beim Höhensatz an:

  • Wie lauten die Seiten des grünen Rechtecks?
  • Welche Seitenlänge hat das rote Quadrat?

  Lösung

  Sowohl der Satz des Pythagoras als auch der Höhensatz gehören zu der Satzgruppe des Pythagoras. Der dritte noch dazu gehörende Satz ist der Kathetensatz. Alle diese Sätze setzen ein rechtwinkliges Dreieck voraus. Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die anderen beiden Seiten entsprechen den Katheten.

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. Es gilt mit den allgemeinen Variablen: $a^2+b^2=c^2$.

  Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat über der Höhe gleich dem Produkt der Hypotenusenabschnitte ist. Die Hypotenusenabschnitte sind in dem Bild zu erkennen. Der eine Hypotenusenabschnitt ($q$) geht von $A$ bis zum Fußpunkt der Höhe. Der andere ($q$) geht von dort zu dem Punkt $B$. Die Summe der Längen der Hypotenusenabschnitte entspricht der Länge der Hypotenuse.

• Benenne die Voraussetzungen für den Beweis des Höhensatzes.

  Tipps

  Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie einen $90^\circ$ Winkel einschließen. Gib mal $cos (90)$ in deinen Taschenrechner ein. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ eingestellt ist.

  Die Formel zur Berechnung eines von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkels lautet:

  $\large{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}$.

  Wenn zwei Vektoren kollinear sind, schließen sie einen Winkel $\alpha=0^\circ$ oder $\alpha=180^\circ$ ein. Bei beiden Winkeln erhältst du den gleichen Wert für $\cos$.

  Eine Definition des Skalarproduktes lautet:

  $\vec{a} \cdot \vec{b}=\cos(\alpha)\cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$,

  wobei $\alpha$ der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist.

  Lösung

  Da sowohl die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$, $\vec{h}$ und $\vec{p}$ als auch $\vec{h}$ und $\vec{q}$ senkrecht aufeinander stehen, gilt jeweils, dass das Skalarprodukt dieser Vektoren $0$ ist.

  In dem Bild ist zu erkennen, dass $\vec{a}=-\vec{q}+\vec{h}=\vec{h}-\vec{q}$ und ebenso $\vec{b}=\vec{p}+\vec{h}$ gelten.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert: Sei $\alpha$ der von den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossene Winkel, dann ist

  $\vec{a} \cdot \vec{b}=\cos(\alpha)\cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

  Sind zwei Vektoren kollinear, so schließen sie einen Winkel $\alpha=0^\circ$ oder $\alpha=180^\circ$ ein. Bei beiden Winkeln gilt $\cos(\alpha)=1$. Somit ist $\vec{p} \cdot \vec{q}=|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|$.

• Gib die Aussagen des Kathetensatzes und des Satzes von Thales wieder.

  Tipps

  Der Kathetensatz gehört wie der Satz des Pythagoras und der Höhensatz zur Satzgruppe des Pythagoras.

  Wie lang sind die Seiten des roten Quadrates?

  Wie lang sind die Seiten des grünen Rechtecks?

  Zeichne auf einem Blatt Papier eine Strecke $\overline{AB}$ und trage eine Halbkreis ab, dessen Mittelpunkt der Mittelpunkt dieser Strecke ist und der Radius die halbe Länge der Strecke. Nun wähle einen beliebigen Punkt $C$ auf diesem Halbkreis. Was fällt dir bei dem resultierenden Dreieck $ABC$ auf?

  Lösung

  Der Kathetensatz gehört wie der Satz des Pythagoras und der Höhensatz zur Satzgruppe des Pythagoras. Er besagt:

  In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete gleich dem Produkt von Hypotenuse und dem an der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt. In diesem Bild gilt dann: $a^2=c \cdot q$.

  Mit dem Satz des Thales kann ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert werden: Trage über einer Strecke $\overline{AB}$ einen Halbkreis, den sogenannten Thales-Kreis, ab. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Mittelpunkt der Strecke und der Radius die Hälfte der Länge der Strecke. Zeichne einen Punkt $C$ auf diesem Halbkreis und verbinde die drei Punkte $A$, $B$ und $C$ zu einem Dreieck. Das so entstandene Dreieck ist für alle Punkte auf dem Halbkreis immer rechtwinklig.

• Beweise den Kathetensatz.

  Tipps

  Starte mit der Orthogonalität von $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

  Ersetze $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}$ und dann $\vec{a}=\vec{h}-\vec{q}$.

  Die Höhe steht senkrecht auf die Hypotenuse und auf die Hypotenusenabschnitte.

  Sind zwei Vektoren kollinear, so ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren das Produkt der Längen der beiden Vektoren.

  Lösung

  Der Beweis startet mit der Orthogonalität der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$, also dem rechten Winkel in $C$.

  $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

  Da $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}$ und $\vec{a}=\vec{h}-\vec{q}$ gilt, führt dies zu

  $\begin{align*} \vec{a} \cdot (\vec{a}+\vec{c})&=0\\ \vec{a}^2+\vec{a}\cdot \vec{c}&=0\\ \vec{a}^2+(\vec{h}-\vec{q})\cdot \vec{c}&=0\\ \vec{a}^2+\vec{h}\cdot \vec{c}-\vec{q}\cdot \vec{c}&=0 \end{align*}$.

  Die Höhe steht senkrecht auf die Hypotenuse. Somit ist

  $\vec{a}^2=\vec{q}\cdot \vec{c}$.

  Der Kathetensatz ist fast bewiesen. Da hier allerdings noch Skalarprodukte stehen und nicht die Längen von Vektoren, müssen noch zwei Eigenschaften verwendet werden:

  • $\vec{a}^2=|\vec{a}|^2$ und
  • $\vec{c}\cdot \vec{q}=|\vec{c}|\cdot |\vec{q}|$, da die beiden Vektoren kollinear sind.

  Es gilt also $|\vec{a}|^2=|\vec{c}|\cdot |\vec{q}|$ und damit ist der Kathetensatz bewiesen.

• Gib den Beweis des Höhensatzes wieder.

  Tipps

  Der Höhensatz lautet $h^2=p\cdot q$. In Vektorenschreibweise lautet er $|\vec{h}|^2=|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|$.

  Da sowohl die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$, $\vec{h}$ und $\vec{p}$ als auch $\vec{h}$ und $\vec{q}$ senkrecht aufeinander stehen, gilt jeweils, dass das Skalarprodukt dieser Vektoren $0$ ist.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert: Sei $\alpha$ der von den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossene Winkel, dann ist

  $\vec{a} \cdot \vec{b}=\cos(\alpha)\cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

  Sind zwei Vektoren kollinear, so schließen sie einen Winkel $\alpha=0^\circ$ oder $\alpha=180^\circ$ ein. Bei beiden Winkeln gilt $\cos(\alpha)=1$. Somit ist

  $\vec{p} \cdot \vec{q}=|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|$.

  Lösung

  Der Beweis startet mit der Orthogonalität der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$, also dem rechten Winkel in $C$.

  $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

  Da sowohl $\vec{a}=\vec{h}-\vec{q}$ als auch $\vec{b}=\vec{p}+\vec{h}$ gilt, führt dies zu

  $(\vec{h}-\vec{q}) \cdot (\vec{h}+\vec{p})=0$.

  Diese Gleichung kann ausmultipliziert werden. Zusätzlich mit der Orthogonalität der Vektoren $\vec{h}$ und $\vec{p}$ sowie $\vec{h}$ und $\vec{q}$ führt dies zu

  $\begin{align*} & (\vec{h}-\vec{q}) \cdot (\vec{h}+\vec{p})=\vec{h}^2+\vec{h}\cdot \vec{p}-\vec{q}\cdot \vec{h}-\vec{q}\cdot \vec{p}=0\\ &\Leftrightarrow \vec{h}^2=\vec{p}\cdot \vec{q}. \end{align*}$

  Der Höhensatz ist fast bewiesen. Da hier allerdings noch Skalarprodukte stehen und nicht die Längen von Vektoren, müssen noch zwei Eigenschaften verwendet werden:

  • $\vec{h}^2=|\vec{h}|^2$ und
  • $\vec{p}\cdot \vec{q}=|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|$, da die beiden Vektoren kollinear sind.

  Es gilt also $|\vec{h}|^2=|\vec{p}|\cdot |\vec{q}|$ und damit ist der Höhensatz bewiesen.

• Beweise den Satz des Thales.

  Tipps

  $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$, also ist sein Ortsvektor $\vec{OM}=\vec{m}=\frac12(\vec{a}+\vec{b})$.

  Die Länge der Strecke ist der Durchmesser, also der doppelte Radius, des Halbkreises.

  Das heißt $|\vec{AB}|=2\cdot |\vec{MC}|$.

  Du gelangst vom Punkt $A$ auch über den „Umweg“ $M$ zu dem Punkt $C$. Und genauso auch von $B$ zu $C$.

  Lösung

  Es gilt $\vec{AC}=\vec{AM}+\vec{MC}$ und $\vec{BC}=\vec{BM}+\vec{MC}$.

  Da $\vec{AM}=\vec{m}-\vec{a}=\frac12(\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}=\frac12(\vec{b}-\vec{a})$ ist, gilt $\vec{AC}=\frac12 \vec{AB}+\vec{MC}$.

  Ebenso ist $\vec{BC}=-\frac12 \vec{AB}+\vec{MC}$.

  $\begin{align*} \vec{AC}\cdot \vec{BC}&=\left(\frac12 \vec{AB}+\vec{MC}\right)\cdot\left(-\frac12 \vec{AB}+\vec{MC}\right)\\ &=-\frac14 \vec{AB}^2-\frac12\vec{MC}\cdot \vec{AB}+\frac12 \vec{AB}\cdot \vec{MC}+\vec{MC}^2\\ &=-\frac14 \vec{AB}^2+\vec{MC}^2. \end{align*}$

  Da der Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$ abgetragen wird, ist $|\vec{AB}|$ der Durchmesser dieses Halbkreises. Der Punkt $C$ liegt auf dem Rand des Halbkreises, also ist $|\vec{MC}|$ der Radius.

  Es gilt also $\vec{AB}^2=|\vec{AB}|^2=|2\cdot\vec{MC}|^2=4\cdot|\vec{MC}|^2$.

  Damit ist $-\frac14 \vec{AB}^2+\vec{MC}^2=-\frac14 |\vec{AB}|^2+|\vec{MC}|^2=-\frac14 \cdot 4\cdot |\vec{MC}|^2+|\vec{MC}|^2=0$ und der Satz des Thales ist bewiesen.