Skalarprodukt – Winkel zwischen zwei Vektoren
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Grundlagen zum Thema Skalarprodukt – Winkel zwischen zwei Vektoren
Hallo! In diesem Video lernen wir, wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren im Raum (R³) berechnen kann. Uns stehen dabei Sebastian der Römer und Michael das Pferd bei. Wir wiederholen mit ihrer Hilfe die Definition des Skalarprodukts, in der der Winkel zwischen zwei Vektoren vorkommt. Dann stellen wir die Formel um und erkennen, dass wir nur den Betrag eines Vektors und das Skalarprodukt in einer alternativen Form benötigen, um den Winkel zu berechnen. Den Betrag kennst du bereits durch den Satz des Pythagoras im Raum, die Koordinatenform des Skalarprodukts zeige ich dir danach. Mit Hilfe dieser beiden Rechnungen und deinem Taschenrechner lösen wir letztlich das Problem. Michael, Sebastian und Ich wünschen dir viel Spaß und Erfolg beim Lernen!
Transkript Skalarprodukt – Winkel zwischen zwei Vektoren
Hallo. Ich bin Giuliano. Und ich möchte dir heute erklären, wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarprodukts berechnet. Hier seht ihr ein Dreieck. Dieses Dreieck besitzt einen Winkel α, der von den Vektoren AC und AB aufgespannt wird. Um diesen Winkel α zu berechnen, brauchen wir die Definition des Skalarprodukts und den Betrag. Beginnen wir mit der Definition des Skalarprodukts. Hier seht ihr Sebastian, der von seinem Pferd Michael gezogen wird. Michael zieht den Sebastian entlang eines Weges, den ich mit dem Vektor S darstelle, mit konstanter Geschwindigkeit. Nun gibt es eine Kraft FS, also eine Kraft, die Michael entlang des Weges auswirkt. Und eine Kraft, die Michael entlang der Deichsel ausübt. Diese beiden Vektoren lassen ein rechtwinkliges Dreieck entstehen, mit dem Winkel α. In diesem rechtwinkligen Dreieck gelten die trigonometrischen Beziehungen Sinus und Cosinus und sogar Tangens. Wir nehmen den cos(α), der ist gleich Ankathete durch Hypotenuse. Ankathete und Hypotenuse sind Streckenangaben, wir haben aber hier Vektoren. Und die Strecke eines Vektors, beziehungsweise die Länge eines Vektors, wird durch den Betrag definiert. Das heißt, die Ankathete entspricht dem Betrag von dem Vektor FS und die Hypotenuse, die längste Seite im Dreieck, ist die Länge des Vektors F. Nun kann man die Arbeit ausrechnen, die Michael beim Ziehen des Wagens ausübt. Ja, und Arbeit verrichten muss, die Arbeit, die er verrichten muss. Die entspricht der Multiplikation zwischen der Kraft, die in Wegrichtung ausgeübt wird, und der Länge des Weges. Also in dem Falle die Beträge von FS und S. Nun kann man FS mithilfe dieser Formel hier oben umformen in |F| * cos(α). Ich vertausche cos(α) und S an dieser Stelle. Das kann ich machen, weil ich mit reellen Zahlen hantiere. Diese Gleichung definieren wir jetzt als Skalarprodukt. Das möchte ich einmal hier vorführen. Also, die Definition des Skalarprodukts. Dazu machen wir uns eine kleine Zeichnung, und zwar nehmen wir hier den Vektor a und hier den Vektor b und dann wird hier ein Winkel α aufgespannt und dann gilt das Skalarprodukt von a und b, man macht einfach einen normalen Punkt dazwischen. Das Skalarprodukt ist eben cos(α) * |a| * |b|. Da hier ein Cosinus in der Formel vorkommt, nennt man das auch Cosinusform. Um den Winkel α jetzt zu berechnen, müssen wir also nur noch wissen, wie der Betrag eines Vektors definiert ist und wie man das Skalarprodukt noch anders schreiben kann. Und das geht wie folgt. Man kann das Skalarprodukt auch nur mithilfe der Koordinaten von a und b berechnen. Und die Definition sieht so aus: a * b, beziehungsweise das Skalarprodukt, ist a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3. Weil hier lediglich die Koordinaten benutzt werden, nennt man diese eben Koordinatenform. Um jetzt den Winkel α zu berechnen, muss man nur diese Gleichung hier umstellen und diese beiden Zahlen dividieren. Also a * b geteilt durch die Beträge. Und das möchte ich dir gleich zeigen. Jetzt möchte ich mit dir zusammen den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen. Dazu brauchen wir folgende Formel: cos(α) = , das einzige was wir machen müssen, ist diese Beträge auf die andere Seiten holen und das geht ganz einfach durch die Division, das heißt cos(α) = (a * b)/(|a| * |b|). Das einzige, was wir jetzt noch brauchen, ist der Betrag von einem Vektor. Weil, wir wissen schon, wie wir das Skalarprodukt mithilfe der Koordinatenform bilden können. Das möchte ich einmal noch kurz hier wiederholen. Definition vom Betrag. Dazu nehmen wir einen Vektor (a1 a2 a3). Dann gilt: |a| = Wurzel(a1² + a2² + a3²). Jetzt haben wir alles zusammen, um diesen Winkel α zu berechnen. Ich möchte jetzt mit dir zusammen ein konkretes Beispiel durchrechnen, um dir zu zeigen wie man diese Formel anwendet. Wir nehmen den Vektor a (1 2 1) und den Vektor b (1 -2 4). Dann gilt für den Winkel α, der zwischen diesen beiden Vektoren aufgespannt wird: cos(α) = ((1 2 1) * (1 -2 4))/(|(1 2 1)| * |(1 -2 4|). So. Wenn wir das einmal ausrechnen, wir machen einen Äquivalenzpfeil, weil das zwei Gleichungen sind, dann kommt hier oben nach der Koordinatenform 1 * 1 + 2 * (-2) + 1 * 4 = 1. 1 - 4 + 4. Und nach der Definition, die wir hier vorne hingeschrieben haben, gilt jetzt also hierfür: Das ist Wurzel(6) * Wurzel(21), ergibt insgesamt 126. So, gleich 1/Wurzel(126). Und als letzten Schritt müssen wir nur noch den cos-1, beziehungsweise arccos bilden und dann erhalten wir schließlich den Winkel α. Das macht ihr einfach mit einem Taschenrechner. Und dann kommt da raus 84,9°. Als letztes möchte ich mit dir einen Spezialfall des Skalarprodukts besprechen. Als letztes wollen wir uns den Spezialfall betrachten. Und zwar nehmen wir zwei Vektoren a und b und der Winkel zwischen den beiden, wir ihr es wahrscheinlich schon ahnen werdet, ist 90°. Wenn ihr cos(90°) in euren Taschenrechner eingebt, dann kommt 0 heraus. Das hat eine besondere Funktion bei der Cosinusform, beziehungsweise beim Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren a und b. Wenn man jetzt also das Skalarprodukt von a und b berechnet, ist das jetzt also nach Definition cos(90°) * |a| * |b|. Und jetzt wissen wir, dass das hier schon null ist, dann ist die Länge der beiden Vektoren a und b völlig egal. Das Skalarprodukt von beiden ist also null. Das gibt eine besondere Eigenschaft, die man Orthogonalität nennt. Ihr werdet den Begriff "senkrecht“ wahrscheinlich schon kennen. Das bedeutet, die beiden Vektoren a und b sind senkrecht, beziehungsweise orthogonal zueinander, genau dann, wenn das Skalarprodukt gleich null ist. Jetzt möchte ich nochmal mit dir wiederholen, was du heute alles gelernt hast: Wir haben am Anfang die Fragestellung gehabt, wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kann. Dazu brauchten wir die Definition des Skalarprodukts, die wir anhand von Sebastian und Michael kennengelernt haben. Die Formel sehr ihr dort oben. Danach haben wir gesehen, dass man das Skalarprodukt auch in der Koordinatenform schreiben kann und als nächstes haben wir dann die Formel, die Cosinusform umgewandelt und gesehen, dass man den Winkel α mithilfe des Skalarprodukts und den Beträgen darstellen kann. Wir haben die Definition des Betrags wiederholt und so kann man den Winkel α eben bestimmen. Als letztes haben wir uns gerade den Spezialfall Orthogonalität angeguckt, wo der Winkel zwischen den beiden Vektoren 90° ist und da ist das Skalarprodukt ganz einfach null. Ich hoffe, dass du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Sebastian, Michael und ich sagen ciao und bis zum nächsten Mal. Euer Giuliano.
Skalarprodukt – Winkel zwischen zwei Vektoren Übung
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Gib die Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren wieder.
TippsBei der Berechnung der Länge eines Vektors kann der Satz des Pythagoras verwendet werden.
Die Kosinusform kann auch umgestellt werden, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen.
LösungDas Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ sowie $\vec{b}$ kann
- in der Kosinusform $\vec{a} \cdot \vec{b}=\cos(\alpha)\cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$
- oder der Koordinatenform $\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$
Die Länge eines Vektors $\vec{a}$ kann so berechnet werden: $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$. Die Länge wird auch als der Betrag des Vektors bezeichnet.
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Bestimme den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
TippsDie Formel zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels lautet
$\large{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}}$.
Berechne zunächst das Skalarprodukt in der Koordinatenform
$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.
Berechne dann die Längen der Vektoren mit der Formel
$|\vec{a}|=\sqrt{\small{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}$.
Berechne nun den Quotienten und kehre den Kosinus um. Runde den Winkel auf die erste Stelle hinter dem Komma.
Beachte, dass dein Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.
LösungDie Formel zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels lautet
$\large{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}}$.
Diese erhältst durch Umstellung der Definition des Skalarproduktes über die Kosinusform.
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist
$\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\4 \end{pmatrix}=1\cdot1+2\cdot(-2)+1\cdot4=1$
Die Längen sind
$\left|\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}$
sowie
$\left|\begin{pmatrix} 1\\-2\\ 4 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{21}$.
Damit ist
$\begin{align*} && \cos(\alpha)&=\frac{1}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{21}} &|& cos^{-1}(~ )\\ &\Leftrightarrow& \alpha&\approx84,9^\circ \end{align*}$
Zur Umkehrung des Kosinus „$\cos^{-1}$“ oder „$\arccos$“ muss der Taschenrechner auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt sein.
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Berechne das Skalarprodukt und die Länge der Vektoren.
TippsVerwende zur Berechnung des Skalarproduktes die Definition in Koordinatenform
$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.
Verwende zur Berechnung der Länge des Vektors die Definition
$|\vec{a}|=\sqrt{\small{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}$.
Beachte, dass du beim Quadrieren von negativen Zahlen die Klammern setzen musst, denn $(-2)^2=4$ aber $-2^2=-4$.
LösungGemäß der Definition in der Koordinatenform werden zur Berechnung des Skalarproduktes zweier Vektoren die Produkte der einzelnen Komponenten addiert:
$\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\-3\\ 6 \end{pmatrix}=1\cdot (-2)+2\cdot(-3)+(-2)\cdot6=-20$.
Die Längen der Vektoren berechnen sich als die Wurzel aus der Summe der Quadrate der einzelnen Koordinaten:
$\left|\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3$
sowie
$\left|\begin{pmatrix} -2\\-3\\ 6 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{49}=7$.
Wichtig: Bei der Eingabe in den Taschenrechner solltest du die Klammern bei negativen Komponenten nicht vergessen.
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Bestimme alle Winkel in dem Dreieck.
TippsWelche Bedeutung hat es, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$ ist?
Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der drei Winkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt.
Ist einer der drei Winkel ein rechter Winkel, so ist die Summe der beiden übrigen $90^\circ$.
Achte darauf, dass dein Taschenrechner bei der Verwendung von trigonometrischen Funktionen auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.
LösungUm die Winkel zu berechnen, wird die folgende Formel benötigt:
$\large{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}}$.
Da die Summe der drei Winkel in einem Dreieck nach dem Innenwinkelsummensatz $180^\circ$ beträgt, genügt es, zwei Winkel zu berechnen. Der letzte Winkel ist dann gerade die Differenz von $180^\circ$ und der Summe der beiden anderen Winkel.
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ ist
$\begin{pmatrix} 0\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\0\\ 0 \end{pmatrix}=0\cdot(-1)+2\cdot0+2\cdot0=0$.
Das bedeutet, dass die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen bzw. orthogonal sind. Also ist $\beta=90^\circ$.
Es genügt nun also $\alpha$ zu berechnen, da $\gamma=180^\circ-90^\circ-\alpha$.
$\begin{align*} && \cos(\alpha)&=\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}}{|\vec{b}|\cdot |\vec{c}|}\\ &\Leftrightarrow& \cos(\alpha)&=\frac{\begin{pmatrix} -1\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} -1\\2\\2 \end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|}\\ &\Leftrightarrow& \cos(\alpha)&=\frac{1}{3\cdot 1} &|& cos^{-1}(~ )\\ &\Leftrightarrow& \alpha&\approx70,5^\circ \end{align*}$
Der Einfachheit halber haben wir auf die erste Stelle hinter dem Komma gerundet. Damit ist $\alpha \approx 90^\circ-70,5^\circ \approx 19,5^\circ$.
Zu beachten ist, dass der Taschenrechner bei der Verwendung von trigonometrischen Funktionen auf „D“ oder „DEG“ für Winkelmaß eingestellt ist.
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Gib an, wie der Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet werden kann.
TippsDie Formel erhältst du, indem du eine Definition des Skalarproduktes umstellst.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ sowie $\vec{b}$ ist in der Kosinusform definiert als
$\vec{a} \cdot \vec{b}=cos(\alpha)\cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.
LösungDas Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ sowie $\vec{b}$ ist in der Kosinusform definiert als
$\vec{a} \cdot \vec{b}=\cos(\alpha)\cdot |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.
Durch Umstellen dieser Formel gelangt man zu der Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren:
$\large{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}}$.
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Untersuche, welchen Winkel zwei kollineare Vektoren einschließen.
TippsWenn $\vec{a}=r\cdot \vec{b}$, dann heißt dies:
$\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r \cdot b_1\\r \cdot b_2\\ r \cdot b_3 \end{pmatrix}$
Es gilt: $|\vec{a}|^2={\vec{a}}^2$.
$\vec{a} \cdot \vec{b}=r\cdot \vec{b} \cdot \vec{b}$.
Die Formel zur Berechnung des Winkels lautet:
$\large{\cos(\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}$.
LösungUm den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, benötigt man die folgende Formel
$\large{cos(\alpha)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}$.
Da die beiden Vektoren kollinear sind, also $\vec{a}=r \cdot \vec{b}$, gilt:
$\vec{a} \cdot \vec{b}=r \cdot \vec{b} \cdot \vec{b}=r\cdot \vec{b}^2=r \cdot |\vec{b}|^2$
sowie
$|\vec{a}|=|r \cdot \vec{b}|=\sqrt{(r \cdot b_1)^2+(r \cdot b_2)^2+(r \cdot b_2)^2}=\sqrt{r^2(b_1^2+b_2^2+b_3^2)}=|r|\cdot |\vec{b}|$.
Die letzten beiden Ergebnisse eingesetzt in der obigen Formel ergeben:
$\large{\cos(\alpha)=\frac{r \cdot |\vec{b}|^2}{|r|\cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{b}|}}=\frac{r}{|r|}$.
Sei nun $r>1$, so ist $\frac{r}{|r|}=1$. Die Umkehrung von $\cos$ liefert $\alpha=0^\circ$.
Falls $r<0$, ist $\frac{r}{|r|}=-1$. Hier liefert die Umkehrung von $\cos$ den Winkel $\alpha=180^\circ$.
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Sehr gut erklärt ! Danke für das bildhafte Beispiel mit Sebastian und Michael.
Das "Mysterium" mit der Glasscheibe ist doch gar nicht so schwer! Giuliano steht hinter der Scheibe und schreibt ganz normal von links nach rechts - aus unserer Sicht von rechts nach links. Wir würden somit alle Aufzeichnungen spiegelverkehrt sehen. Das Video wird bei der Produktion einfach an der Senkrechten gespiegelt. Somit sehen wir Giuliano zwar seitenverkehrt (was aber bei jemandem, den man nicht gut kennt, nicht weiter auffällt), den Text aber richtig herum.
So sieht es aber voll cool aus, wie er anscheinend ganz flüssig spiegelverkehrt schreibt.
sehr toll gemacht! Aber könnte bitte mal jemand das Mysterium mit der Glasscheibe etc. aufklären? ;)
Wirklich prima erklärt! Sehr anschaulich und übersichtlich. Hier merkt man deutlich, dass das video didaktisch geplant wurde.
@C Weber2:
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