Unbeschränkter Zerfall und beschränkter Zerfall

Unbeschränkter Zerfall und beschränkter Zerfall Übung

• Bestimme die allgemeinen Funktionsgleichungen für begrenzten und unbegrenzten exponentiellen Zerfall.

  Tipps

  Bei exponentiellen Zerfalls- bzw. Abkühlungsprozessen muss die Zeit $t$ immer im Exponenten stehen. Steht $t$ als veränderliche Größe in der Basis, so handelt es sich nicht um exponentiellen Zerfall.

  Bei begrenzten exponentiellen Zerfallsprozessen, wie etwa bei Abkühlungsprozessen, beinhaltet die Funktionsgleichung zusätzlich eine weitere Größe, die Raumtemperatur $T_{R}$ als Untergrenze des Zerfalls.

  Lösung

  Die allgemeine Funktionsgleichung für den unbegrenzten exponentiellen Zerfall lautet: $N(t)= N_{0} \cdot e^{-k \cdot t}$

  Die Größe $N_{0}$ steht für den Anfangsbestand des Wachstums zum Zeitpunkt $t=0$. Die Eulersche Zahl $e$ ist eine mathematische Konstante mit $e \approx 2,72$. Der Proportionalitätsfaktor $k$ beschreibt die Stärke des Zerfalls und kann rechnerisch aus gegebenen Datenpaaren ermittelt werden.

  Die Zerfallsgleichung ähnelt der Wachstumsgleichung. Das negative Vorzeichen vor dem Proportionalitätsfaktor $k$ ist jedoch ein wichtiger Unterschied. Er bewirkt den Zerfall, denn $ e^{-k}=\frac{1}{e ^{k}}$.

  Die allgemeine Funktionsgleichung für den begrenzten exponentiellen Zerfall bzw. die Abkühlungsfunktion lautet: $T(t)=T_{R} +c \cdot e ^{-k \cdot t}$.

  Hier „taucht” als weitere Größe die Raumtemperatur $T_R$ auf, die die Untergrenze des Zerfalls bzw. der Abkühlung markiert. Da es sich jeweils um exponentielle Prozesse handelt, muss die veränderliche Größe, das ist hier die Zeit $t$, immer im Exponenten stehen. Wird die Zeit $t$ in die Funktionsgleichung eingesetzt, lässt sich die zugehörige Temperatur $T(t)$ rechnerisch bestimmen.

• Bestimme die Funktionsgleichung für den unbegrenzten Zerfall von Atomkernen.

  Tipps

  Die allgemeine Funktionsgleichung für den unbegrenzten exponentiellen Zerfall lautet: $N(t)= N_{0} \cdot e^{-k \cdot t}$

  $N_{0}$ ist gleichbedeutend mit $N(0)$: Es handelt sich also um den Bestand zum Zeitpunkt $t=0$.

  Lösung

  Die Zerfallsfunktionen $N(t)=200-100 \cdot e ^{-0,023 \cdot t}$ und $N(t)=200- e ^{0,023 \cdot t}$ haben die Form der allgemeinen Funktionsgleichung $N(t)=G +c \cdot e ^{-k \cdot t}$ bzw. $T(t)=T_{R} +c \cdot e ^{-k \cdot t}$ für den begrenzten Zerfall bzw. die begrenzte Abkühlung.

  Bei begrenztem exponentiellen Zerfall beinhaltet die Funktionsgleichung nämlich eine weitere Größe, die Untergrenze bzw. Raumtemperatur $T_{R}$. Da im gegebenen Sachverhalt jedoch von „ungehindertem” Zerfall die Rede ist und kein minimaler Bestand erwähnt wird, kann nicht von einem begrenztem Zerfall ausgegangen werden.

  In die allgemeine Funktionsgleichung für den unbegrenzten exponentiellen Zerfall $N(t)= N_{0} \cdot e^{-k \cdot t}$ sind nun lediglich der Anfangsbestand $N_{0}$ und der Proportionalitätsfaktor $k$ einzusetzen.

  Somit ergibt sich für die gesuchte Zerfallsfunktion die Gleichung $N(t)= 200 \cdot e^{-0,023 \cdot t}$.

• Arbeite aus der graphischen Darstellung einer begrenzten exponentiellen Abkühlung die gesuchten Größen heraus.

  Tipps

  Die Raumtemperatur $T_{R}$ ist der Wert, dem sich die Temperatur im Laufe der Zeit immer mehr annähert. Sie repräsentiert die Untergrenze der Abkühlung.

  Die Anfangstemperatur $T_{0}=T(0)$ kannst du an der $T$-Achse ablesen. Du benötigst diesen Wert, um $c$ zu bestimmen.

  Lösung

  Du kannst im Koordinatensystem erkennen, dass sich der Graph immer weiter an den Wert $T=2$ annähert. Diese waagerechte Linie ist die Untergrenze, denn die Temperatur kann nicht unter die Raumtemperatur fallen. Somit beträgt $T_{R}=2$.

  Den Anfangsbestand liest man an der $T$-Achse ab: $T_{0}=T(0)=9$.

  Den Wert für $c$ berechnest du nun als Differenz zwischen Anfangstemperatur und Raumtemperatur: $c=T_{0}-T_{R}=9-2=7$.

  Den Proportionalitätsfaktor $k$ kannst du nicht so einfach ablesen oder berechnen: Hierfür müsstest du, wenn du bereits $T_{R}$ und $c$ bestimmt hast, ein weiteres Datenpaar ablesen, dieses in die Funktionsgleichung einsetzen und anschließend alles nach dem gesuchten Faktor umformen. Der Proportionalitätsfaktor $k$ sei hier aber mit $k=0,5$ gegeben.

  Die in der Abbildung dargestellte Abkühlungsfunktion lautet somit komplett: $T(t)=2+7 \cdot e ^{-0,5 \cdot t}$

• Bestimme die Temperatur des Kaffees nach 15 Minuten, wenn er bei Raumtemperatur abkühlt.

  Tipps

  Die allgemeine Funktionsgleichung für die exponentielle Abkühlung lautet: $T(t)=T_{R}+c \cdot e ^{-k \cdot t}$

  Den Wert für $c$ bestimmst du so: $c=T_{0}-T_{R}$.

  Wenn du nun noch für $t=15$ in $T(t)=23-71 \cdot e ^{-0,02 \cdot t}$ einsetzt, kannst du leicht die Temperatur nach 15 Minuten berechnen

  Lösung

  Die allgemeine Funktionsgleichung für die begrenzte exponentielle Abnahme lautet: $T(t)=T_{R}+c \cdot e ^{-k \cdot t}$

  Für die Raumtemperatur $T_{R}$ musst du 23 einsetzen, da dies die minimal erreichbare Temperatur ist.

  Die Variable $c$ steht für die Differenz aus Anfangstemperatur $T_{0}$ und Raumtemperatur $T_{R}$: $c=T(0)-T_{R}=94-23=71$

  Der Proportionalitätsfaktor für die minütliche Abkühlung beträgt $k=0,02$. In der Abkühlungsfunktion steht vor $k$ übrigens immer ein negatives Vorzeichen.

  Die gesuchte Abkühlungsfunktion für die begrenzte Abkühlung lautet damit $T(t)=23-71 \cdot e ^{-0,02 \cdot t}$.

  Wenn du nun noch für $t=15$ einsetzt, kannst du die Temperatur nach 15 Minuten berechnen: $T(15)=23-71 \cdot e ^{-0,02 \cdot 15} \approx 75,598$

  Gerundet auf eine Nachkommastelle ergibt sich also eine Temperatur von $75,6°C$.

• Beschrifte die allgemeine Funktionsgleichung für die begrenzte exponentielle Abkühlung.

  Tipps

  Die Temperatur hängt im Falle einer exponentiellen Abnahme immer von der Zeit ab. Im Allgemeinen findet sich dafür bei Funktionsgleichungen der Ausdruck $f(x)$. Der Funktionswert $f(x)$ wird durch das Argument $x$ bestimmt. Die Temperatur $T$ wird hier durch die Zeit $t$ bestimmt.

  Die Temperatur nach einer bestimmten Zeit entspricht der Summe aus Raumtemperatur und dem Produkt aus der um die Raumtemperatur reduzierten Anfangstemperatur und der potenzierten Eulerschen Zahl.

  Lösung

  Die allgemeine Funktionsgleichung für die begrenzte exponentielle Abkühlung lautet: $T(t)=T_{R} +c \cdot e ^{-k \cdot t}$

  Die Raumtemperatur $T_R$ markiert die Untergrenze des Zerfalls, an die sich die Temperatur im Laufe der Zeit $t$ annähert. Die Variable $c$ steht für die Differenz aus Anfangstemperatur $T_{0}$ und Raumtemperatur $T_{R}$: $c=T(0)-T_{R}$ oder $c=T_{0}-T_{R}$

  Die Eulersche Zahl $e$ ist eine mathematische Konstante mit $e \approx 2,72$.

  Der Proportionalitätsfaktor $k$ beschreibt die Stärke des Rückgangs.

  Da es sich um einen exponentiellen Zerfall handelt, muss die veränderliche Größe, das ist hier die Zeit $t$, immer im Exponenten stehen. Wird die Zeit $t$ in die Funktionsgleichung eingesetzt, lässt sich die zugehörige Temperatur $T(t)$ rechnerisch bestimmen.

• Berechne den Proportionalitätsfaktor $k$.

  Tipps

  Setze alle gegebenen Ausgangswerte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. Nur die Zerfallskonstante $k$ ist jetzt noch gesucht.

  Wenn du durch äquivalente Umformung $N_{0}$ auf die andere Seite gebracht hast, musst du mit dem natürlichen Logarithmus $\ln$ arbeiten.

  Um die gesuchte Größe aus dem Logarithmus zu entfernen, brauchst du die folgende Eigenschaft: $\ln (e^{x})=x$. Die natürliche Exponentialfunktion und die natürliche Logarithmusfunktion heben sich gegenseitig auf.

  Lösung

  Wenn du die gegebenen Größen in $N(t)= N_{0} \cdot e^{-k \cdot t}$ einsetzt, erhältst du $31,4= 40 \cdot e^{-k \cdot 2000}$. Bis auf die Zerfallskonstante $k$ sind alle Größen der Gleichung im Sachverhalt gegeben.

  Um den Zerfallsfaktor $k$ zu bestimmen, brauchst du den natürlichen Logarithmus. Das Logarithmusgesetz $\ln (e^{x})=x$ besagt, dass sich die natürliche Exponentialfunktion und die natürliche Logarithmusfunktion gegenseitig aufheben. Damit kannst du nach der gesuchten Größe auflösen: Es ergibt sich $k\approx 0,00012$.

  Das Kohlenstoffisotop $C 14$ hat übrigens eine Halbwertzeit von ca. 5730 Jahren.