Vektorräume

Vektorräume Übung

• Beschreibe die Axiome der Addition, die in einem Vektorraum gelten müssen.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz heißt auch Vertauschungsgesetz.

  Zum Beispiel gilt für die reellen Zahlen $2$ und $3$:

  $2+3=5=3+2$.

  Dieses Gesetz gilt übrigens auch für die Multiplikation, jedoch nicht für die Subtraktion oder Division.

  Du weißt, dass das Addieren von $0$ im Zahlenbereich der reellen Zahlen den Wert einer Zahl nicht ändert. Das bedeutet

  $x+0=x$ für jedes $x\in\mathbb{R}$.

  Hier siehst du ein Beispiel für das Distributivgesetz.

  Lösung

  In einem Vektorraum gelten bestimmte Spielregeln. Sowohl für die Addition also auch für die Multiplikation müssen gewisse Axiome erfüllt sein.

  Für die Addition sind dies:

  • Das Kommutativgesetz: $a+b=b+a$. Die Reihenfolge darf bei der Addition vertauscht werden.
  • Das Assoziativgesetz: $(a+b)+c=a+(b+c)$. Das bedeutet anders ausgedrückt, dass nicht unbedingt von links nach rechts gerechnet werden muss.
  • Es existiert ein neutrales Element, der sogenannte Nullvektor: $a+0=a$.
  • Es existiert zu jedem Vektor des Vektorraums ein inverses Element: $a+(-a)=0$.

• Ergänze die Axiome der Multiplikation in einem Vektorraum.

  Tipps

  Mache dir die jeweiligen Gesetze innerhalb des Zahlenbereichs der reellen Zahlen klar.

  Wenn du zwei Zahlen multiplizierst, kannst du bekanntlich die Reihenfolge vertauschen:

  $3\cdot 5=15=5\cdot 3$.

  Hier siehst du ein Beispiel für das Distributivgesetz.

  Lösung

  Ein Vektorraum ist so definiert, dass sowohl für die Addition also auch die Multiplikation in diesem Vektorraum gewisse Axiome erfüllt sein müssen.

  Für die Multiplikation sind dies:

  • Es existiert zu jedem Vektor des Vektorraums ein neutrales Element: $1\cdot a=a$. Das neutrale Element ist ein Skalar aus dem Zahlenbereich der reellen Zahlen. Es ist in der Regel nicht Element des Vektorraums (außer wenn $V=\mathbb{R}$)
  • Das Assoziativgesetz: $(u\cdot v)\cdot a=u\cdot (v\cdot a)$. Das bedeutet etwas salopp, dass nicht unbedingt von links nach rechts gerechnet werden muss.
  • Das Distributivgesetz 1: $(u+v)\cdot a=u\cdot a+v\cdot a$. Es wird der Vektor $a$ mit jedem der beiden Skalare multipliziert und die Produkte werden dann addiert.
  • Das Distributivgesetz 2: $u\cdot (a+b)=u\cdot a+u\cdot b$. Es wird beide Vektoren $a$ und $b$ mit dem Skalar multipliziert und die Produkte werden dann addiert.

• Weise nach, dass der $\mathbb{R}^3$ mit der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ein Vektorraum ist.

  Tipps

  Tatsächlich gilt jedes der Axiome und der $\mathbb{R}^3$ ist mit der oben definierten Vektoraddition sowie skalaren Multiplikation ein Vektorraum.

  Verwende die Gesetze, die du aus den reellen Zahlen kennst. Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ist ein Vektorraum.

  Es gilt in den reellen Zahlen, zum Beispiel:

  • $a+b=b+a$
  • $a+0=a$
  • $a+(-a)=0$
  • $1\cdot a=a$

  Lösung

  Im $\mathbb{R}^3$ ist die Addition zweier Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, einem Skalar, so definiert wie hier zu sehen. Um die Vektorraumaxiome zu prüfen, kann man sich jedes Mal jede einzelne Koordinate anschauen. Diese sind reelle Zahlen. Das bedeutet, dass die Vektorraum-Axiome für jede Koordinate angewendet werden dürfen. Damit kann nachgewiesen werden, dass der Raum $\mathbb{R}^3$ ein Vektorraum ist.

  Addition

  • Es gilt $a_x+b_x=b_x+a_x$, ebenso für die anderen beiden Koordinaten, und damit auch $\vec a\oplus\vec b=\vec b\oplus\vec a$, das Kommutativgesetz.
  • Ebenso gilt $(a_x+b_x)+c_x=a_x+(b_x+c_x)$, dies gilt auch für die anderen beiden Koordinaten, und damit $\left(\vec a\oplus\vec b\right)\oplus \vec c=\vec a\oplus\left(\vec b\oplus \vec c\right)$, das Assoziativgesetz.
  • Für den Nullvektor $\vec 0$, den Vektor, welcher ausschließlich Nullen enthält, gilt $\vec a\oplus\vec 0=\vec a$, da in jeder Koordinate die Zahl $0$, das neutrale Element der Addition bei den reellen Zahlen, addiert wird.
  • Wenn man in dem Vektor $\vec a$ das Vorzeichen jeder Koordinate vertauscht, erhält man den sogenannten Gegenvektor $-\vec a$ von $\vec a$. Dieser ist das inverse Element der Addition.

  Multiplikation

  Ähnlich können die Axiome für die Multiplikation nachgewiesen werden.

  • Die reelle Zahl $1$ ist das neutrale Element, da, zum Beispiel $1\cdot a_x=a_x$ ist. Dies gilt natürlich auch für die beiden anderen Koordinaten.
  • Zu $(k\cdot l)\odot\vec a$: Auch hier kann man sich exemplarisch die erste Koordinate anschauen. Es gilt $(k\cdot l)\cdot a_x=k\cdot (l\cdot a_x)$. Damit gilt das Assoziativgesetz $ (k\cdot l)\odot\vec a=k\cdot\left(l\odot \vec a\right)$.
  • Die beiden Distributivgesetze: Hier wird beispielhaft der Nachweis für das erste erbracht, der für das zweite verläuft vollkommen analog. Es gilt $(k+l)\cdot a_x=k\cdot a_x+l\cdot a_x$ und ebenso für die beiden anderen Koordinaten. Damit gilt $(k+l)\odot\vec a=k\odot\vec a+l\odot\vec a$.

• Prüfe die folgenden Aussagen zur Addition und Multiplikation im $\mathbb{R}^2$.

  Tipps

  Wenn eine Aussage nicht gültig ist, genügt häufig ein (oftmals einfaches) Gegenbeispiel.

  Es gilt das Kommutativgesetz bei der Addition: $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$.

  Beachte, dass bei der Multiplikation $k\cdot \vec a$ der Buchstabe $k$ ein Skalar, also eine reelle Zahl, und $a$ ein Element des $\mathbb{R}^2$ ist.

  Lösung

  Im Folgenden werden die Vektorraumeigenschaften beziehungsweise Ableitungen von diesen am Beispiel des $\mathbb{R}^2$ gezeigt. Die Addition zweier Vektoren sowie die skalare Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl ist so definiert wie hier zu sehen.

  • Es gilt $\vec u+\vec v=\vec v + \vec u$. Sei $\vec 0=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ das neutrale Element, dann ist $\vec u+\vec 0=\vec u$ und damit auch $\vec u +\vec 0=\vec 0+\vec u=\vec u$.
  • Ebenso wie das neutrale Element ist auch das inverse Element der Addition ein Element des $\mathbb{R}^2$.
  • Das inverse Element des Vektor $\vec u$ ist dessen Gegenvektor $-\vec u=\begin{pmatrix}-u_x\\-u_y\end{pmatrix}$.
  • Dies gilt für das neutrale Element der Multiplikation nicht. Hierfür kann als Beispiel der $\mathbb{R}^2$ betrachtet werden mit der skalaren Multiplikation. Es gilt $1\cdot \vec a=\vec a$. Dabei ist das neutrale Element $1\in\mathbb{R}$ und damit kein Element von $\mathbb{R}^2$.
  • Üblicherweise ist die skalare Multiplikation mit $k\cdot a$ für $k\in\mathbb{R}$ und $a \in V$ definiert. Das bedeutet, dass die Reihenfolge nicht vertauscht werden kann.

• Gib an, ob die Menge der reellen Zahlen ein Vektorraum ist.

  Tipps

  Es ist $4+5=9=5+4$. Du darfst also beim Addieren die Reihenfolge vertauschen.

  Das darfst du auch bei der Multiplikation. Dies ist jedoch kein Vektorraum-Axiom.

  Wenn du zu irgendeiner Zahl die $0$ addierst, ändert die Zahl sich nicht.

  Wenn du irgendeine Zahl mit $1$ multiplizierst, ändert die Zahl sich nicht.

  Lösung

  Die Menge der reellen Zahlen mit der seit der Grundschule bekannten Addition und Multiplikation ist ein Vektorraum.

  • Es gibt ein neutrales Element der Addition, die $0$, und eines der Multiplikation, die $1$.
  • Das inverse Element der Addition zu einem Element erhält man durch Vertauschen des Vorzeichens. Zum Beispiel ist das inverse Element zu $3$ gegeben durch $-3$, denn $3+(-3)=3-3=0$.
  • Die Reihenfolge der Addition darf vertauscht werden: $a+b=b+a$.
  • Manchmal ist es geschickt, nicht von links nach rechts zu rechnen: $12+37+3=12+40=52$ oder $23\cdot 25\cdot 4=23\cdot100=2300$. Dies ist das Assoziativgesetz.
  • Es gilt schließlich noch das Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

• Prüfe, ob der $\mathbb{R}^2$ mit der hier definierten Addition ein Vektorraum ist.

  Tipps

  Prüfe doch einmal, ob auch

  $\vec 0+\vec a=\vec a$

  gilt.

  • Das Kommutativgesetz besagt: $\vec a\oplus\vec b=\vec b\oplus\vec a$.
  • Das Assoziativgesetz besagt: $\left(\vec a\oplus\vec b\right)\oplus\vec c=\vec a\oplus\left(\vec b\oplus\vec c\right)$.

  Übrigens: Wenn eines der Axiome nicht erfüllt ist, dann liegt kein Vektorraum vor.

  Lösung

  In diesem Beispiel geht es darum, einmal die Axiome für die Addition zu prüfen. Wenn eines der Axiome nicht erfüllt ist, kann kein Vektorraum vorliegen.

  Beginnen wir mit dem neutralen Element. Dieses ist der Nullvektor. Dies gilt allerdings nur, wenn der Nullvektor der rechte Summand ist. Dies können wir hier sehen:

  $\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}\oplus\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}$

  aber

  $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\oplus\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_y \\ a_x \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}$

  An diesem Beispiel kann man schon erkennen, dass das Kommutativgesetz nicht gilt und somit der $\mathbb{R}^2$ mit der so definierten Addition kein Vektorraum sein kann.

  Prüfen wir der Vollständigkeit halber noch das Assoziativgesetz:

  $\left(\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}\oplus\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix}\right)\oplus\begin{pmatrix} c_x \\ c_y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_x+b_y+c_y \\ a_y+b_x+c_x \end{pmatrix}$

  aber

  $\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}\oplus\left(\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix}\oplus\begin{pmatrix} c_x \\ c_y \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a_x+b_y+c_x \\ a_y+b_x+c_y \end{pmatrix}$

  In den beiden Vektoren sind $c_x$ und $c_y$ vertauscht. Also gilt auch das Assoziativgesetz nicht.