Verhältnisse und Verhältnisgleichungen

Verhältnisse und Verhältnisgleichungen Übung

• Bestimme die zutreffenden Verhältnisse.

  Tipps

  Ein Verhältnis kannst du auf unterschiedliche Weisen darstellen. Das Verhältnis von $2$ Gläsern Milch zu $4$ Teelöffeln Kakaopulver kannst du wie folgt angeben:

  • $2$ zu $4$
  • $2:4$
  • $\frac 24$

  Wenn du ein Verhältnis als Bruch angibst, solltest du diesen so weit wie möglich kürzen:

  $\frac 24=\frac 12$

  Lösung

  Folgende Angaben sind uns bezüglich der Mischung des boshaften Dr. Evil Smoothies bekannt:

  • $6$ Teile Monstera deliciosa
  • $2$ Teile Rosenkohl

  Gesucht ist das Verhältnis von Monstera deliciosa zu Rosenkohl. Die richtigen Antworten aus den obigen Auswahlmöglichkeiten siehst du hier:

  • $6:2$
  • $\frac 62$
  • $\frac 31$

• Gib die Wirkung der Haartinktur an, indem du die Verhältnisse von Tropfen zu Frisuren aufstellst.

  Tipps

  Das Verhältnis von zwei Größen $a$ und $b$ kannst du wie folgt darstellen:

  • $a$ zu $b$
  • $a:b$
  • $\frac ab$

  Einen Bruch kannst du kürzen, sobald der Zähler und der Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $\frac 36= \frac {3\cdot 1}{3\cdot 2}=\frac 12$

  Lösung

  Wir möchten die Wirkung der bösartigen Haartinktur von Doktor Evil untersuchen. Dafür stellen wir das Verhältnis von der Anzahl aufgetragener Tropfen zu der Anzahl erzielter Frisuren auf. Wir wissen, dass Doktor Evil mit einem Tropfen $5$ verschiedene Frisuren kreieren kann. Dies entspricht einem Verhältnis von $1:5$.

  Dieses können wir ebenfalls als Bruch darstellen. Wir erhalten $\frac 15$.

  Wenn Doktor Evil zwei Tropfen von der Haartinktur auftragen würde, würde er $10$ Frisuren kreieren können. Dies entspricht einem Verhältnis von $2:10$.

  Die Schreibweise als Bruch liefert das Verhältnis $\frac 2{10}=\frac{2\cdot 1}{2\cdot 5}=\frac 15$.

• Ermittle die gesuchten Verhältnisse.

  Tipps

  Dargestellt ist ein Rechteck zusammengesetzt aus drei gleich großen Quadraten. Dabei sind zwei Quadrate gelb und eines orangefarben.

  Für das Verhältnis von der Anzahl gelber Quadrate zu der Gesamtanzahl der Quadrate erhalten wir:

  $2:3$

  Das Verhältnis zweier Größen $a$ und $b$ wird wie folgt angegeben:

  • $a$ zu $b$
  • $a:b$
  • $\frac ab$

  Lösung

  Im Folgenden wird das Vorgehen am Beispiel der ersten Aufgabe verdeutlicht. Abgebildet ist ein Rechteck bestehend aus $8$ gleich großen Quadraten. Dabei sind $3$ Quadrate grau und $5$ Quadrate weiß.

  Uns ist also Folgendes bekannt:

  • Anzahl grauer Kästchen: $3$
  • Anzahl weißer Kästchen: $5$
  • Anzahl der Gesamtkästchen: $8$

  Somit erhalten wir folgende Verhältnisse:

  Das Verhältnis von der Anzahl grauer Kästchen zu der Gesamtanzahl der Kästchen beträgt $3:8$.

  Das Verhältnis von der Anzahl weißer Kästchen zu der Anzahl der Gesamtkästchen beträgt $5:8$.

  Das Verhältnis von der Anzahl grauer Kästchen zu der Anzahl weißer Kästchen beträgt $3:5$.

• Entscheide, in welchem Verhältnis die Größen zueinander stehen.

  Tipps

  Das Verhältnis von $a$ zu $b$ entspricht dem Bruch $\frac ab$.

  Wenn der Zähler $a$ und der Nenner $b$ einen gemeinsamen Teiler haben, so kann der Bruch $\frac ab$ gekürzt werden.

  Das Verhältnis von $5$ zu $25$ entspricht dem Bruch $\frac 5{25}$.

  Der Zähler und der Nenner haben den gemeinsamen Teiler $5$. Somit kann dieser Bruch noch gekürzt werden zu $\frac 15$.

  Lösung

  Gegeben ist eine Urne, in welcher sich $3$ orangene, $6$ blaue, $5$ grüne und $15$ gelbe Kugeln befinden. Somit erhalten wir folgende Verhältnisse:

  • Das Verhältnis der Anzahl orangener zu der Anzahl blauer Kugeln beträgt $\frac 36=\frac 12$.
  • Das Verhältnis der Anzahl gelber zu der Anzahl grüner Kugeln beträgt $\frac {15}5=\frac 31$.
  • Das Verhältnis der Anzahl orangener zu der Anzahl gelber Kugeln beträgt $\frac 3{15}=\frac 15$.
  • Das Verhältnis der Anzahl blauer zu der Anzahl gelber Kugeln beträgt $\frac 6{15}=\frac 25$.

• Bestimme, welche Aussagen für Verhältnisse und Verhältnisgleichungen gelten.

  Tipps

  Wenn wir $4$ Äpfel und $8$ Birnen haben und das Verhältnis von Birnen zu Äpfeln aufstellen, erhalten wir:

  • $8$ zu $4$
  • $8:4$
  • $\frac 84$

  Das Verhältnis $\frac 84$ entspricht dem Verhältnis $\frac 21$.

  Man könnte also sagen: „Auf zwei Birnen kommt ein Apfel!“

  Lösung

  Wir betrachten das Verhältnis von $a$ zu $b$ für die Größen $a=2$ und $b=6$. Mit Verhältnissen vergleicht man Größen.

  So erhalten wir für das Verhältnis von $a$ zu $b$ folgende Angaben:

  • $2$ zu $6$
  • $2:6$
  • $\frac 26$

  Da die $2$ und die $6$ den gemeinsamen Teiler $2$ haben, kann dieser Bruch noch gekürzt werden. Denn Verhältnisse, die wir als Bruch angeben, sollten wir so weit wie möglich kürzen. Wir erhalten:

  • $\frac 26=\frac{2\cdot 1}{2\cdot 3}=\frac 13$

  Identische Verhältnisse ergeben eine Verhältnisgleichung.

  Drehen wir das Verhältnis um und betrachten das Verhältnis von $b$ zu $a$, so erhalten wir $6:2$. Die darin enthaltene Information ist dadurch nicht verloren gegangen.

  Natürlich ist es bei einem Verhältnis von zwei Größen wichtig zu wissen, in welcher Reihenfolge das Verhältnis angegeben wird.

• Bestimme die fehlenden Farbmengen.

  Tipps

  Ein Verhältnis $a:b$ kann auch geschrieben werden als $\frac ab$. Diesen Bruch kann man nun kürzen und erweitern, um die gewünschte Zahl im Nenner bzw. Zähler zu erhalten.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  Das Mischungsverhältnis von Mehl zu Zucker beträgt für ein Kuchenrezept $4:1$.

  Für $100$ Gramm Mehl erhalten wir folgende Berechnung:

  $\frac 41=\frac{4\cdot 25}{1\cdot 25}=\frac{100}{25}$

  Somit wird für $100$ Gramm Mehl $25$ Gramm Zucker benötigt.

  Lösung

  Um verschiedene Grüntöne zu mischen, sollen vorgegebene Mischungsverhältnisse verwendet werden. Ausgehend von den Verhältnissen soll die Menge der zweiten Farbe für die gewünschte Menge der ersten Farbe berechnet werden. Für die Berechnung der fehlenden Menge wird das angegebene Verhältnis als Bruch geschrieben und dieser durch Erweitern oder Kürzen auf die gewünschte Menge gebracht. Betrachten wir nun die drei Verhältnisse:

  Verhältnis blau zu gelb: $2:1$

  Gesucht ist die Menge an blauer Farbe für eine Menge von $10\ \text{ml}$ an gelber Farbe. Wir müssen das Verhältnis $\frac 21$ erweitern:

  $\frac{\text{Menge blau}}{\text{Menge gelb}}=\frac 21=\frac{2\cdot 10}{1\cdot 10}=\frac {20}{10}$

  Die gesuchte Menge entspricht $20\ \text{ml}$.

  Verhältnis blau zu gelb: $40:80$

  Gesucht ist die Menge an gelber Farbe für eine Menge von $20\ \text{ml}$ an blauer Farbe. Wir müssen das Verhältnis $\frac {40}{80}$ kürzen:

  $\frac{\text{Menge blau}}{\text{Menge gelb}}=\frac {40}{80}=\frac{2\cdot 20}{2\cdot 40}=\frac {20}{40}$

  Die gesuchte Menge entspricht $40\ \text{ml}$.

  Verhältnis blau zu gelb: $15:5$

  Gesucht ist die Menge an blauer Farbe für eine Menge von $1\ \text{ml}$ an gelber Farbe. Wir müssen das Verhältnis $\frac {15}{5}$ kürzen:

  $\frac{\text{Menge blau}}{\text{Menge gelb}}=\frac {15}{5}=\frac{5\cdot 3}{5\cdot 1}=\frac {3}{1}$

  Die gesuchte Menge entspricht $3\ \text{ml}$.

  Folgende Lösung erhalten wir somit für die Tabelle:

  $ \begin{array}{c|r|r} \text{blau zu gelb} & \text{Menge blau} & \text{Menge gelb} \\ \hline\\ 2:1 & 20 & 10 \\ \hline\\ 40:80 & 20 & 40 \\ \hline\\ 15:5 & 3 & 1 \\ \end{array} $