Was ist ein Integral?
Erfahre, wie du mithilfe des Integrals die Fläche zwischen Kurven und der x-Achse bestimmst. Von Untersummen bis zur Obersumme – entdecke die Grundlagen und die Definition des bestimmten Integrals. Interessiert? Tauche tiefer ein und lerne, Integrale zu berechnen!
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Grundlagen zum Thema Was ist ein Integral?
Integral – Definition
Die Begriffe Integral und Integralrechnung bezeichnen ein abstraktes mathematisches Verfahren, mit dem ein konkretes geometrisches Problem gelöst werden kann, nämlich die Berechnung bestimmter Flächeninhalte.
Mit einem Integral bzw. durch das Integrieren können Flächeninhalte von komplexen geometrischen Formen berechnet werden. Das gilt insbesondere für Formen, die von gekrümmten Linien begrenzt werden.
Du weißt ganz sicher, wie man die Fläche eines Rechtecks berechnen kann. Für diese und viele andere geometrische Formen gibt es einfache Formeln, die man leicht auswendig lernen kann. Aber wie sieht es aus, wenn beispielsweise die Fläche zwischen der folgenden Kurve und der
Das ist nicht mehr ganz so einfach, aber es geht. Das mathematische Werkzeug dafür ist das Integral. Das Integral ist mathematisch gesehen die Umsetzung der Idee, eine komplexe Fläche durch bekannte Flächen mit geraden Begrenzungen (typischerweise Rechtecke) anzunähern. Dazu werden die sogenannten Ober- und Untersummen genutzt.
Schlaue Idee
Wenn du die zurückgelegte Strecke eines Autos bei einer Fahrt berechnen möchtest, kannst du das Integral verwenden, um die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve des Autos zu berechnen. Diese Fläche steht nämlich für die insgesamt zurückgelegte Entfernung.
Integral – Untersumme
Um die Untersumme einer Funktion zu bestimmen, gehen wir folgendermaßen vor: Wir teilen zunächst die
| Intervall | kleinster Funktionswert im Intervall |
|---|---|
| $[0{,}1]$ | $f(0) = 0$ |
| $[1{,}2]$ | $f(1) = 4$ |
| $[2{,}3]$ | $f(2) = f(3) = 6$ |
| $[3{,}4]$ | $f(4) = 4$ |
| $[4{,}5]$ | $f(5) = 0$ |
Unter der Kurve des Funktionsgraphen sieht das folgendermaßen aus:
Wie du siehst, ist der kleinste Funktionswert in einem Intervall nicht immer der jeweils ganz linke. Das hängt nämlich ganz von der Form des Funktionsgraphen ab. Der kleinste Funktionswert ist jeweils der kleinstmögliche Schnittpunkt eines Rechtecks der Breite $\Delta x$ mit dem Funktionsgraphen. Für die entsprechende Stelle $x_i$ liefert dann $f(x)$ den passenden
Die Rechtecksflächen, die wir mit dieser Einteilung berechnen, sind aber offensichtlich insgesamt kleiner als die tatsächliche Fläche unter der Kurve. Es bleiben freie Restflächen unter der Kurve, die wir nicht berücksichtigt haben.
Wir können allerdings die Unterteilung etwas feiner machen, indem wir eine kleinere Intervallbreite,
Die Flächenstücke, die noch nicht berücksichtigt wurden, sind nun kleiner geworden. Wir nähern uns dem korrekten Flächeninhalt durch die Rechtecksflächen von unten an. Deswegen spricht man auch von der Untersumme. Je feiner wir die Unterteilung wählen, also je kleiner die Breite $\Delta x$ ist, desto näher kommen wir dem eigentlichen Flächeninhalt $A$ unter der Kurve. Das können wir so formulieren:
$\text{Untersumme} \leq A$
Die Untersumme ist immer kleiner oder gleich der eigentlichen Fläche $A$. Für $\Delta x \rightarrow 0$ nähert sie sich der Fläche $A$ an. Das können wir mithilfe des Limes so aufschreiben:
$\lim \limits_{\Delta x \to 0} \text{Untersumme} = A$
Sprich: Geht $\Delta x$ gegen Null, so geht die Summe der zugehörigen Rechtecksflächen gegen den Wert $A$ des Flächeninhalts unter der Kurve des Funktionsgraphen.
Wir wissen jetzt, was die Untersumme ist. Ganz ähnlich lässt sich auch eine Obersumme definieren. Die fehlt uns noch für das Integral.
Integral – Obersumme
Bei der Bestimmung der Obersumme gehen wir ähnlich vor wie bei der Bestimmung der Untersumme. Der einzige Unterschied ist, dass wir in diesem Fall nicht die kleinsten, sondern die größten Funktionswerte in jedem Intervall nutzen, um entsprechende Rechtecke festzulegen.
Wir betrachten für unser Beispiel zunächst wieder eine Unterteilung in fünf Intervalle der Breite $\Delta x = 1$. Damit erhalten wir:
| Intervall | größter Funktionswert im Intervall |
|---|---|
| $[0{,}1]$ | $f(1) = 4$ |
| $[1{,}2]$ | $f(2) = 6$ |
| $[2{,}3]$ | $f(2{,}5) = 6{,}25$ |
| $[3{,}4]$ | $f(3) = 6$ |
| $[4{,}5]$ | $f(4) = 4$ |
Über der Kurve des Funktionsgraphen sieht das dann folgendermaßen aus:
Wie du siehst, hängt auch hier die passende Wahl des jeweils größten Funktionswerts ganz entscheidend von der Form des Funktionsgraphen ab. Der größte Funktionswert ist jeweils der größtmögliche Schnittpunkt eines Rechtecks der Breite $\Delta x$ mit dem Funktionsgraphen. Für die entsprechende Stelle $x_j$ liefert dann $f(x)$ den passenden
In diesem Fall ist die Summe der Rechtecksflächen, die wir berechnen können, größer als der eigentliche Flächeninhalt unter der Kurve. Auch hier können wir die Unterteilung verfeinern, um uns der eigentlichen Fläche von oben anzunähern – daher auch der Name Obersumme. Das können wir wieder wie folgt formulieren:
$\text{Obersumme} \geq A$
Die Obersumme ist also immer größer oder gleich der Fläche $A$. Für unendlich kleine Intervalle gilt:
$\lim \limits_{\Delta x \to 0} \text{Obersumme} = A$
Sprich: Geht $\Delta x$ gegen Null, so geht die Summe der zugehörigen Rechtecksflächen gegen den Wert $A$ des Flächeninhalts unter der Kurve des Funktionsgraphen.
Mathematisch ausgedrückt können wir also entweder von unten oder von oben eine Summe von Rechtecksflächen definieren, die sich der gesuchten Fläche $A$ beliebig genau annähert. Jetzt müssen wir nur noch beide Fälle zusammenführen.
Bestimmtes Integral – Grenzwert von Ober- und Untersumme
Wir wissen bereits, dass die gesuchte Fläche $A$ zwischen
$\text{Untersumme} \leq A \leq \text{Obersumme} $
Je feiner wir die Unterteilung, also die Intervallbreite $\Delta x$, wählen, desto näher kommen Ober- und Untersumme dem eigentlichen Wert $A$. Im Grenzwertfall $\Delta x \rightarrow 0$ muss also die Differenz zwischen beiden verschwinden:
$\Delta x \rightarrow 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \text{Obersumme} - \text{Untersumme} = 0$
$\qquad$ bzw. $\quad \Longleftrightarrow \quad \text{Obersumme} = \text{Untersumme} = A$
Wenn
Damit ist der Flächeninhalt $A$ zwischen den beiden Schnittpunkten der Kurve mit der
Bestimmtes Integral – Definition
Die Schnittpunkte der Kurve des Funktionsgraphen mit der
Das bestimmte Integral einer Funktion $f(x)$ ist über dem Intervall $[a,b]$ definiert als der gemeinsame Grenzwert der Obersumme und der Untersumme von $f(x)$ bei einer unendlich feinen Unterteilung $\left(\Delta x \rightarrow 0 \right)$ des Intervalls $[a,b]$.
Sind $a$ und $b$ reelle Zahlen, so hat auch das bestimmte Integral einen reellen Zahlenwert. Dieser reelle Zahlenwert entspricht dem Flächeninhalt $A$.
Bestimmtes Integral – Schreibweise
Integrale haben eine spezielle Notation in der Mathematik:
$\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) ~\text{d}x$
Darin sind
- $\int$ das Integralzeichen,
- $a,b$ die Integrationsgrenzen,
- $\text{d}x$ das Differential $\left(\Delta x \rightarrow 0 \right)$,
- $x$ die Integrationsvariable und
- $f(x)$ der Integrand.
Du erkennst ein Integral also am Integralzeichen. Das Produkt aus Integrand $\left( f(x) \right)$ und Differential $\left( \text{d}x \right)$ bezeichnet den gedachten Grenzwert der Rechtecksfläche mit den Seitenlängen $f(x_i)$ bzw. $f(x_j)$ und $\Delta x \rightarrow 0$. Die Integrationsgrenzen $a$ und $b$ bezeichnen, dass unendlich viele solcher Rechtecke im Intervall $[a,b]$ aufsummiert werden.
Anstelle des Integralzeichens könnte man ein Integral also auch als Grenzwert einer Summe, also mit einem Limes und einem Summenzeichen, formulieren:
$\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) ~\text{d}x = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x \quad$ mit $\quad n = \dfrac{b - a}{\Delta x}$
bzw.
$\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) ~\text{d}x = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{b - a}{n} \cdot f(x_i) \quad$
Erst durch die Grenzen $a$ und $b$ wird aus einem Integral ein bestimmtes Integral, das einen konkreten Wert annimmt. Es ist allerdings auch möglich, ein unbestimmtes Integral zu formulieren.
Wusstest du schon?
Der deutsche Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz hat das Integralzeichen $\int$ erfunden. Er ließ sich dabei vom Buchstaben „S“ (für Summe) inspirieren, da ein Integral im Grunde eine Summe unendlich kleiner Teile ist. Spannend, oder?
Unbestimmtes Integral
Man kann das Integral einer Funktion $f(x)$ auch unabhängig von bestimmten Grenzen $a$ und $b$ bilden. Das geht dann nicht über konkrete Flächenstücke, sondern rein abstrakt bzw. mathematisch über die Bestimmung einer Stammfunktion von $f(x)$.
Eine Stammfunktion $F(x)$ ist definiert als eine Funktion, deren Ableitung die Funktion $f(x)$ ist. Es gilt also:
$F^\prime(x) = f(x)$
Mit einer Stammfunktion $F(x)$ kann ein unbestimmtes Integral $\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x$ definiert werden. Da eine konstante reelle Zahl $c \in \mathbb{R}$ abgeleitet $0$ ergibt, gibt es eine ganze Schar von Funktionen $F(x) + c$, die jeweils abgeleitet zur selben Funktion $f(x)$ führen.
Das unbestimmte Integral $\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x$ drückt eine Funktionenschar aus und gibt die Gesamtheit aller Stammfunktionen einer Funktion $f(x)$ and. Es gilt:
$\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x = F(x) + c \quad$ mit $\quad c \in \mathbb{R}$
$F(x) + c$ ist eine Schar von Stammfunktionen mit beliebiger Integrationskonstante $c \in \mathbb{R}$, die jeweils abgeleitet die Funktion $f(x)$ ergeben.
Es gibt Rechenregeln, mit denen du Stammfunktionen berechnen kannst. Damit ist es möglich, unbestimmte Integrale mathematisch herzuleiten, ohne einen konkreten Funktionsgraphen bzw. eine bestimmte Fläche gegeben zu haben.
Fehleralarm
Ein häufiger Fehler ist es, das bestimmte und das unbestimmte Integral zu verwechseln. Das bestimmte Integral gibt den Flächeninhalt unter einer Kurve an, während das unbestimmte Integral die Menge von Funktionen anzeigt, deren Ableitung die gegebene Funktion ist.
Integrale berechnen
Wenn du einen gegebenen Funktionsterm $f(x)$ mathematisch integrieren kannst, das heißt, eine geeignete Stammfunktion $F(x)$ findest, kannst du damit auch ein bestimmtes Integral berechnen, indem du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwendest. Dazu bildest du die Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion $F(x)$ mit den eingesetzten
$\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) ~\text{d}x = \Bigl[ F(x)\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$
Das heißt, wenn du den Funktionsterm $f(x)$ kennst und eine Stammfunktion $F(x)$ davon bilden kannst, musst du dir keine Ober- und Untersummen überlegen. Dann kannst du das bestimmte Integral über dem Intervall $[a,b]$ einfach rechnerisch ermitteln.
Das Ergebnis einer solchen Rechnung liefert allerdings nur dann einen korrekten Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der
Ausblick – das lernst du nach Was ist ein Integral?
Du bist bereit für den nächsten Schritt: den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Außerdem warten die Rechenregeln für Integrale wie die Potenzregel oder die Faktor- und Summenregel auf dich.
Zusammenfassung – Integral
- Ein Integral bzw. das Integrieren wird genutzt, um komplexe Flächen zu berechnen. Dabei bezieht man sich auf die abstrakte Darstellung einer Fläche zwischen der Kurve eines Funktionsgraphen und der $x$-Achse.
- So kann ein Flächeninhalt durch die Bildung des bestimmten Integrals $\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x)$ einer Funktion $f(x)$ in den Grenzen eines Intervalls $[a,b]$ mathematisch als Grenzwert der Unter- und Obersummen unendlich vieler, unendlich kleiner Rechtecksflächen berechnet werden.
- Es gilt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
$\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) ~\text{d}x = \Bigl[ F(x)\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ - $F(x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $f(x)$. Stammfunktionen können rechnerisch gefunden bzw. bestimmt werden.
- Das unbestimmte Integral drückt die Gesamtheit aller möglichen Stammfunktionen aus, unabhängig von den Grenzen $a$ und $b$. Es gilt:
$\displaystyle \int f(x) ~\text{d}x = F(x) + c \quad$ mit $\quad c \in \mathbb{R}$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Integral
Transkript Was ist ein Integral?
Hallo! Dieses Video ist die Einführung in eine Reihe von Videos, die sich mit Integralen beschäftigen und deswegen möchte ich erklären, was eigentlich ein Integral ist. Alles fängt eigentlich damit an, dass man eine Fläche berechnen möchte, die von einer krummlinigen Kurve begrenzt wird. Da kann man eben nicht mehr einfach nur Breite×Höhe rechnen, sondern muss sich halt schon irgendwas anderes einfallen lassen. Meine 1. Idee wäre zum Beispiel, einfach die Einheitsquadrate aus dem Koordinatensystem über die Fläche zu zeichnen und dann abzuzählen. Hier hätten wir also 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, da können wir die Ecke von hier unten da oben reinstecken. Dann haben wir hier noch ein Halbes und da oben ungefähr noch ein Halbes, also würde ungefähr 11 herauskommen. So, und damit man nicht solche abgehackten Kästchen hat, die man schätzen muss, nimmt man lieber Flächen, die man genau bestimmen kann, nämlich Rechtecke. Das heißt, man teilt das Intervall 0-4 in gleich große Stücke, hier mal in Stücke mit der Breite 1, und dann zeichnet man rechteckige Flächen ein, die jeweils unter dem Graphen liegen. Wir nehmen also die Stelle in dem Intervall 0 1, zum Beispiel, die von dem Graphen am tiefsten ist, und von da ziehen wir die Waagerechte herüber. Und von diesen Rechtecken können wir dann wirklich die Fläche bestimmen. Hier ist zum Beispiel die Höhe gleich dem Funktionswert an der Stelle 0 und die Breite ist 1. Und dann berechnet sich die blau schraffierte Fläche, also f(0)×1, plus die Fläche des 2. Rechtecks, das ist dann f(1)×1, plus die Fläche des 3. Rechtecks, das ist f(3)×1 weil hier die tiefste Stelle bei x=3 ist. Und das Letzte ist f(4)×1, da ist auch die 4 die kleinste Stelle. Und so eine Summe nennt man dann Untersumme der Funktion f. So, jetzt sind da aber noch ziemlich große weiße Flächen und das ist natürlich ziemlich unbefriedigend, und deswegen macht man die Unterteilung des Intervalls noch ein bisschen feiner, zum Beispiel kann man Säulen der Breite ½ nehmen. Da sieht man schon, dass viel weniger weiße Flächen übrig sind. Die rot eingekreisten Flächen sind jetzt dazugekommen. Wenn man die Unterteilung feiner macht, hat man natürlich bei der Berechnung der Summe der Flächen ein bisschen mehr Arbeit, aber vom Prinzip her funktioniert das genauso wie eben. Feinere Untersummen geben uns also eine genauere Annäherung an die tatsächliche Fläche. So, das Gleiche kann man jetzt auch mit Obersummen machen. Da nimmt man bei jedem Rechteck anstatt des kleinsten den größten Funktionswert in dem Intervall als Höhe des Rechtecks. So eine Obersumme ist dann natürlich immer größer als der tatsächliche Flächeninhalt. Und auch hier gilt, dass, wenn man die Unterteilung des Intervalls genauer macht, dass man eine bessere Annäherung kriegt, dass die Fläche also ein bisschen kleiner ist. So, wollen wir also mal festhalten. Die Untersumme ist immer kleiner gleich der tatsächlichen Fläche und diese ist kleiner gleich der Obersumme. Die Breite der Rechtecke will ich jetzt mal Δx nennen, denn das ist ja immer die Differenz von einem x-Wert zum nächsten, der die Rechtecke begrenzt. Wenn dieses Δx kleiner wird, dann wird die Untersumme größer und die Obersumme wird kleiner. Und die Idee ist jetzt, dass Δx wirklich unendlich klein werden zu lassen, sodass man am Ende eine Summe von unendlich vielen Flächen herauskriegt, die aber genau die Fläche ergeben, die wir suchen. Jetzt schiebe ich unser Bild mal nach oben, damit ich ein bisschen mehr Platz habe. Wir wollen also jetzt das Δx gegen 0 laufen lassen, was passiert dann? Dann geht auch die Differenz zwischen der Obersumme und der Untersumme gegen 0 und das heißt, dass die Beiden irgendwann gleich sind. Weil aber die tatsächliche Fläche A zwischen der Untersumme und der Obersumme liegt, muss sie dann genauso groß wie die Beiden sein. So, und jetzt sind wir also endlich so weit, dass wir sagen können, was ein Integral ist. Der gemeinsame Grenzwert von Obersumme und Untersumme für eine unendlich feine Unterteilung des Intervalls [a;b], bei uns wäre das das Intervall [0;4], und unendlich fein heißt, wie gesagt, dass das Δx gegen 0 geht, dieser Grenzwert heißt bestimmtes Integral von f über dem Intervall [a;b]. Ein bestimmtes Integral ist also eine Zahl, nämlich die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse, innerhalb der Intervallgrenzen. Und wie der Grenzwert der Unter- bzw. Obersummen aussieht, möchte ich jetzt noch mal exakt aufschreiben. A berechnet sich also durch die Summe aus diesen Rechtecken, wobei die Breite jedes Rechtecks Δx ist und die Höhe der Funktionswert an der Stelle xi. Die 0 wäre also hier zum Beispiel das x1. Die Summe geht von i=1 bis n, wobei n die Anzahl der Rechtecke ist, also b-a, die Größe des Intervalls, geteilt durch Δx, die Breite jedes Rechtecks. Und davon nehmen wir dann noch den Limes für Δx gegen 0. Oder man schreibt das Δx als (b-a)/n, Länge des Intervalls durch Anzahl der Teile und lässt den Rest gleich, und dann kann man den Limes schreiben für n gegen unendlich. Also unendlich viele Rechtecke. Und das schreibt man dann so: Man mach so ein großes, schmales, lang gezogenes S, das ersetzt den Limes und die Summe, da schreibt man unten die linke und oben die rechte Intervallgrenze dran. Dann die Funktion und dann noch dx. Den Term f(x) finden wir hier in unserer Summenformel und der Grenzwert von dem Δx ist das dx, also eine unendlich kleine Rechteckbreite. x heißt dabei Integrationsvariable, die Funktion f(x) heißt Integrand, das dx heißt Differential, also Grenzwert der kleinen Differenzen und a und b sind die Integrationsgrenzen. Das liest man dann als Integral von a bis b von f von x dx. Das Ergebnis ist eine Zahl und die entspricht der Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in den Grenzen x=a bis x=b. O. k., dann machen wir jetzt erst mal Schluss hier. Und beim nächsten Mal möchte ich dann tatsächlich mal so eine Untersumme ausrechnen und zeigen, dass da auch wirklich die Fläche rauskommt, die rauskommen soll. Und dann kucken wir uns da noch verschiedene Eigenschaften des Integrals an. O. k., bis dann.
Was ist ein Integral? Übung
-
Ergänze die Erklärung zur Flächenberechnung.
TippsWenn du die Rechtecke so festlegst, dass sie immer über dem Funktionsgraphen sind, bestimmst du eine sogenannte Obersumme.
Diese ist immer größer oder gleich dem tatsächlich gesuchten Flächeninhalt.
Das hier betrachtete Intervall ist gegeben durch die Grenzen auf der $x$-Achse.
LösungDa das betrachtete Flächenstück durch einen „krummen“ Funktionsgraphen begrenzt ist, muss der Inhalt dieses Flächenstücks anders berechnet werden als mit den bisher bekannten Mitteln.
Du könntest zum Beispiel das Flächenstück abschätzen. Dafür zeichnest du Gitternetzlinien in das Koordinatensystem, so dass du Einheitsquadrate erhältst. Jedes dieser Einheitsquadrate hat den Flächeninhalt $1$. Nun zählst du diese Einheitsquadrate.
Dieses Verfahren wird dir allerdings nur eine ungefähre Lösung verschaffen, da die Quadrate die Fläche nicht exakt ausfüllen. Das Verfahren eignet sich aber durchaus zur Kontrolle.
Bei der betrachteten Funktion beträgt der Flächeninhalt ungefähr $11$ Flächeneinheiten.
Eine vielversprechende Möglichkeit sind sogenannte Unter- sowie Obersummen. Du unterteilst das betrachtete Intervall $[a;b]$ in $n$ gleich große Teilintervalle. Das hier betrachtete Intervall ist $[0;4]$.
Untersummen
- Zeichne Rechtecke ein, welche so breit sind wie das jeweilige Teilintervall und so hoch, dass sie gerade noch unterhalb des Funktionsgraphen liegen. Hierfür wählst du als Höhe den kleinsten Funktionswert auf dem betrachteten Intervall.
- Die Summe der Rechteckflächen wird als Untersumme bezeichnet.
- $U_n$ ist die Untersumme bei einer Unterteilung in $n$ gleich große Teilintervalle.
- Ebenso kannst du Rechtecke einzeichnen, die gerade noch oberhalb des Funktionsgraphen liegen. Wähle hierfür den größten Funktionswert auf dem betrachteten Intervall.
- Die Summe dieser Rechteckflächen wird als Obersumme bezeichnet.
- $O_n$ ist die Obersumme bei einer Unterteilung in $n$ gleich große Teilintervalle.
Sowohl die Ober- als auch die Untersumme wird immer genauer, je „feiner“ du die Einteilung vornimmst. Wenn die Anzahl der Rechtecke unendlich groß ist (dann ist die Einteilung unendlich fein), erhältst du die tatsächliche Fläche, die von dem Funktionsgraphen eingeschlossen wird.
Zusätzliche Informationen:
- $U_n\le A\le O_n$: Die Unter- sowie Obersummen schließen also den tatsächlich gesuchten Flächeninhalt $A$ ein.
- $U_n$ ist eine monoton steigende Folge. Sie lautet $U_{n+1}\ge U_n$.
- $O_n$ ist eine monoton fallende Folge. Sie lautet $O_{n+1}\le O_n$.
- Schließlich gilt für immer kleiner werdende Teilintervalle $\lim\limits_{n\to\infty}U_n=A=\lim\limits_{n\to\infty}O_n$.
-
Definiere, was ein Integral ist.
TippsBeachte: Die linke Intervallgrenze ist die untere Integrationsgrenze.
Der Term $dx$ steht für das Diffential und zeigt die Integrationsvariable an.
Lösung- Die Summe von Rechteckflächen, welche komplett unterhalb des Funktionsgraphen liegen, wird als Untersumme bezeichnet. $U_n$ ist die Untersumme bei einer Unterteilung in $n$ gleichgroße Teilintervalle.
- Die Summe von Rechteckflächen, welche komplett oberhalb des Funktionsgraphen liegen, wird als Obersumme bezeichnet. $O_n$ ist die Obersumme bei einer Unterteilung in $n$ gleichgroße Teilintervalle.
Ein Grenzwert wird mathematisch mit Hilfe des Ausdrucks $\lim$ ausgedrückt. Dabei bedeutet der Ausdruck $\lim\limits_{n\to \infty}$ zum Beispiel, dass die Variable $n$ (also die Anzahl der Rechtecke) unendlich groß wird. Es gilt:
$\lim\limits_{n\to\infty}U_n=A=\lim\limits_{n\to\infty}O_n$.
Dieser Grenzwert von Ober- und Untersumme ist das bestimmte Integral.
Genauer: Das bestimmte Integral von $f$ über dem Intervall $[a;b]$.
Dies ist in dem oben aufgeführten Beispiel der gesuchte Flächeninhalt $A$.
Es ist also $A=\int\limits_{a}^{b}~f(x)~dx$.
Hier siehst du einige Konventionen und Bezeichnungen:
- Das Integralzeichen ist ein großer schmales $S$.
- Unten steht die linke und oben die rechte Intervallgrenze.
- $f(x)$ ist die zu integrierende Funktion, der Integrand.
- $x$ ist die Integrationsvariable.
- $dx$ ist das Differential. Daran kannst du auch die Integrationsvariable erkennen.
- $a$ ist die untere und $b$ die obere Integrationsgrenze.
-
Stelle das bestimmte Integral auf.
TippsHier siehst du das bestimmte Integral mit
- den Integrationsgrenzen $a$ (untere) und $b$ (obere),
- der zu integrierenden Funktion $f(x)$,
- dem Differential $dx$ und
- der daraus abzulesenden Integrationsvariablen $x$.
Beachte: Die Integrationsgrenzen beziehen sich auf die Integrationsvariable $x$.
Die untere Integrationsgrenze ist der linke Intervallrand und die obere der rechte.
LösungWenn du einen Flächeninhalt (hier $A$) mit Hilfe eines Integrals berechnen sollst, musst du dir immer zunächst deutlich machen, was du kennst:
- Die untere Integrationsgrenze ist der linke Intervallrand. Dieser ist hier $a=1$.
- Die obere Integrationsgrenze ist der rechte Intervallrand. Dieser ist hier $b=3$.
- Die zu integrierende Funktion ist $f$ mit $f(x)=x^2-2x+2$.
Wie du dieses bestimmte Integral schließlich berechnest, ist nochmal ein eigenes Thema.
-
Ermittle den Wert der Unter- sowie Obersummen.
Tipps- Der jeweils kleinste Funktionswert auf dem jeweiligen Teilintervall ist der Funktionswert am linken Intervallrand.
- Der jeweils größte Funktionswert ist der am rechten Intervallrand.
- Bei Unterteilung in zwei Teilintervalle erhältst du die Teilintervalle $[0;1]$ und $[1;2]$.
- Bei Unterteilung in acht Teilintervalle erhältst du die Teilintervalle $[0;0,25]$; $[0,25;0,5]$; $[0,5;0,75]$; ... sowie $[1,75;2]$.
Beachte: Egal wie fein du die Unterteilung wählst, es gilt $U_n\le A\le O_n$.
Die Folge der Untersumme ist wachsend und die der Obersumme fallend.
LösungIn dieser Aufgabe kannst du das Berechnen von Untersummen und Obersummen an einem konkreten Beispiel üben. Der jeweilige Index der Unter- oder Obersumme gibt die Anzahl der Teilintervalle an. Zum Beispiel steht $O_2$ für eine Obersumme mit $2$ Teilintervallen.
Da die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2+1$ auf dem Intervall monoton wachsend ist, gilt:
- Der kleinste Funktionswert wird jeweils am linken Intervallrand angenommen.
- Der größte Funktionswert wird jeweils am rechten Intervallrand angenommen.
Zwei Teilintervalle
- Es ist $U_2=1\cdot f(0)+1\cdot f(1)=f(0)+f(1)=0^2+1+1^2+1=3$.
- Es gilt $O_2=1\cdot f(1)+1\cdot f(2)=1^2+1+2^2+1=7$.
Die Teilintervalle haben jeweils die Breite $\frac28=0,25$. Damit gilt für die Untersumme:
$U_8=0,25\cdot (f(0)+f(0,25)+f(0,5)+...+f(1,75))=\frac{67}{16}=4,1875$.
Für die Obersumme gilt entsprechend:
$O_8=0,25\cdot (f(0,25)+f(0,5)+...+f(1,75)+f(2))=\frac{83}{16}=5,1875$.
Du kannst hier folgende Ungleichung erkennen:
$U_2\le U_8\le A\le O_8\le O_2$.
-
Gib die Bedeutung der einzelnen Größen bei einem bestimmten Integral an.
TippsÜbrigens: An $dx$ erkennst du auch, dass die Integrationsvariable $x$ ist.
Wenn dort bspw. $dz$ steht, wird bezüglich $z$ integriert.
Wenn das Intervall $[a;b]$ betrachtet wird, ist $a$ die untere und $b$ die obere Integrationsgrenze.
Das Integralzeichen $\int$ zeigt an, dass integriert werden muss.
LösungHier siehst du ein bestimmtes Integral.
Schauen wir uns dieses Integral noch einmal etwas genauer an:
- Das Integrationszeichen ist das langgezogene $S$. Dieses zeigt an, dass integriert werden soll
- Die Funktion, die integriert werden soll, ist $f(x)$. Sie wird auch Integrand genannt.
- Du musst in diesem Beispiel bezüglich $x$ integrieren. $x$ wird als Integrationsvariable bezeichnet. Woran kannst du eigentlich erkennen, dass bezüglich $x$ integriert wird?
- Der Term $dx$ ist das sogenannte Differential. Es zeigt die Integrationsvariable $x$ an. Es ist durchaus möglich, dass dort eine andere Variable (zum Beispiel $z$) genutzt wird. Dann ist $z$ die Integrationsvariable.
- Unten an dem Integrationszeichen steht $a$. Dies ist die untere Integrationsgrenze. Entsprechend ist $b$ die obere Integrationsgrenze.
-
Leite den Wert des bestimmten Integrals als Grenzwert der Untersumme her.
TippsJedes Teilintervall hat die Breite $\frac2n$. Diese Breite muss mit jedem Summanden in der Untersumme multipliziert werden.
Achte auf die Grenzen der jeweiligen Summe. Zum Beispiel gilt:
$\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(i+1\right) = \sum\limits_{i=1}^{n}\left(i\right)$.
Die Obersumme der Funktion in dem Intervall ist wie folgt gegeben:
$O_n=\frac2n\cdot \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2$.
LösungDas Intervall $[0;2]$ soll in $n$ gleichgroße Teilintervalle unterteilt werden. Jedes dieser Teilintervalle hat die Breite $\frac2n$.
Untersummen
Es ist $U_n=\frac2n\cdot \left(f\left(0\cdot \frac2n\right)+f\left(1\cdot \frac2n\right)+f\left(2\cdot \frac2n\right)+...+f\left((n-1)\cdot \frac2n\right)\right)$. Dies können wir auch mit Hilfe des Summenzeichens schreiben:
$U_n = \frac2n\cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}\left( f(i \cdot \frac{2}{n}) \right)$.
Schauen wir uns nun einen beliebigen Summanden in der Klammer an:
$f\left(i\cdot \frac2n\right)=\left(i\cdot \frac2n\right)^2+1=\frac{4}{n^2}\cdot i^2+1$.
Die Untersumme kann nun bestimmt werden:
$U_n=\frac2n\cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\frac{4}{n^2}\cdot i^2+1\right)$.
Die Summe kann aufgeteilt werden:
$U_n=\frac2n\cdot \left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\frac{4}{n^2}\cdot i^2\right) + \sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(1\right) \right)$.
Es ist $\sum\limits_{i=0}^{n-1} \left(1\right)=n$. Nun kann die obige Summe durch Ausklammern noch umgeformt werden:
$U_n=\frac2n\cdot \frac{4}{n^2}\cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(i^2\right)+2$.
Verwende nun die Formel für die Summe der ersten $n$ Quadrate der natürlichen Zahlen. Achte hierbei darauf, dass die Grenzen der Summe nicht identisch mit den Grenzen in der anderen Summe sind. Die Grenzen müssen beim Einsetzen beachtet werden:
$\sum\limits_{i=1}^{n}\left(i^2\right)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Schließlich kannst du die Untersumme wie folgt angeben:
$U_n=\frac2n\cdot \frac{4}{n^2}\cdot\frac{(n-1)(n)(2n-1)}{6}+2$.
Obersummen
Auf die gleiche Weise kannst du die Obersumme berechnen:
$O_n=\frac2n\cdot \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2$.
Grenzwertberechnung
Die Grenzwertberechnung wird hier beispielhaft an der Obersumme durchgeführt. Diese verläuft bei der Untersumme analog und liefert den gleichen Grenzwert.
Im Folgenden benötigen wir den Grenzwert $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}$. Dieser kann wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}&=&\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(2n^2+3n+1)}{n^3}\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n+1}{n^2}\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2\left(2+\frac3n+\frac1{n^2}\right)}{n^2}\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}\left(2+\frac3n+\frac1{n^2}\right)\\ &=&2 \end{array}$
Nun kann der Grenzwert der Obersummen berechnet werden:
$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac2n\cdot \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\right)&=&\frac86\cdot \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}+2\\ &=&\frac86\cdot 2+2\\ &=&\frac83+2\\ &=&\frac{14}3 \end{array}$
Dies ist der gesuchte Flächeninhalt $A$.
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Hallo Orourke,
nein. Der Grenzwert ist nicht so einfach zu berechnen an dieser Stelle. Der Teil (b-a)/n * f(x_i) wird 0, ja! Das ist dann quasi die Fläche eines unendlich schmalen Streifens. Aber da es von diesen Streifen unendlich viele gibt (das n steht nämlich auch über dem Summenzeichen) und diese aufsummiert werden, kann man noch nicht sagen, was das Ergebnis der Summe (also des Grenzwertes) ist. Der Grenzwert beschreibt aber genau die Fläche unter dem Graphen (im Intervall a bis b). Es kommt also eine positive Zahl heraus, die für den Flächeninhalt steht.
Lässt man bei 5:38min n gegen unendlich laufen, dann kommt doch 0 raus oder?
Sehr gut gemacht
Echt Klasse das Thema erklärt! Sehr hilfreich. Kurz und knapp.
Ich will die Fläche der 4 Balken addieren. Jeder Balken wird auf der x-Achse von 2 Werten begrenzt: Balken 1 von x = 0 und x = 1, Balken 2 von x=1 und x = 2 usw. Für die Höhe jedes Balkens muss ich den Funktionswert von dem x wählen, das den kleineren Funktionswert (also das kleinere f(x)) hat. Sonst würde der Balken über den Graphen hinausragen. Ich muss also bei jedem Balken schauen, welches x (das linke oder das rechte) ich für die Höhe gebrauchen kann. Bei den ersten beiden Balken ist das in meinem Beispiel jeweils das linke x, bei den letzten beiden ist es jeweils das rechte x.