Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der quadratischen Funktion

Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der quadratischen Funktion Übung

• Ergänze die Erklärung zur Wurzelfunktion.

  Tipps

  Du kannst natürlich für jeden gegebenen Flächeninhalt die zugehörige Seitenlänge berechnen.

  Dies siehst du hier.

  Die Einschränkung $x\ge 0$ ist wichtig!

  Hier siehst du eine Normalparabel. Stell dir diese um $90^\circ$ im Uhrzeigersinn gedreht vor.

  Beachte, dass gemäß der Definition einer Funktion zu jedem $x$ höchstens ein Funktionswert existieren darf.

  Lösung

  In diesem Bild ist der Graph der Funktion $A(x)=x^2$ für $x\ge 0$ grün eingezeichnet. Da kein Funktionswert doppelt vorkommt, kann diese Funktion umgekehrt werden.

  Dabei geht man wie folgt vor:

  1. $y=x^2$
  2. Durch Ziehen der Wurzel erhält man $x=\sqrt y$.
  3. $x$ und $y$ werden vertauscht: $y=\sqrt x$

  Wie erhält man den Graphen der Umkehrfunktion anschaulich? Dies gilt übrigens für jede umkehrbare Funktion:

  Man spiegelt den Graphen der Funktion an der Ursprungsgeraden $y=x$. Diese wird auch als 1. Winkelhalbierende bezeichnet.

  Der rote Graph gehört zu der Wurzelfunktion.

  Wenn nun also bekannt ist, dass $A(x)=100$ ist, kann durch Anwenden der Wurzelfunktion

  $x=\sqrt{100}=10$

  die zugehörige Seitenlänge des Quadrates berechnet werden.

• Benenne die Eigenschaften der Wurzelfunktion.

  Tipps

  Der grüne Graph gehört zu der Funktion $x^2$ mit $x\ge 0$ und der rote zu der Wurzelfunktion.

  Beachte, dass man die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen kann.

  Wenn du die Nullstellen einer Funktion $f(x)$ berechnen willst, löst du die Gleichung $f(x)=0$.

  Die Umkehrung von Wurzel-Ziehen ist Quadrieren.

  Lösung

  Der rote Graph gehört zu der Umkehrfunktion von $A(x)=x^2$ mit $x\ge 0$.

  Die Wurzel darf nur aus einer positiven Zahl sowie $0$ gezogen werden und das Ergebnis ist wiederum positiv oder $0$. Das bedeutet:

  $\mathbb{D}=\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+$.

  Bei Umkehrfunktionen liegt der Verdacht nahe, dass deren Steigungsverhalten umgekehrt zu dem der Ausgangsfunktion ist. Das stimmt nicht! Das Steigungsverhalten ist immer gleich. Was sich unterscheidet, ist das Ausmaß, wie stark die Funktion steigt oder fällt.

  Dies kann man in dieser Skizze sehen. Die quadratische Funktion (grün) steigt recht schnell. Die Wurzelfunktion (rot) steigt auch, nur langsamer.

  Die beiden Funktionen haben zwei Funktionswerte gemeinsam:

  • $0^2=0$ sowie $\sqrt 0=0$. Das bedeutet, dass die Wurzelfunktion hier eine Nullstelle bei $x=0$ besitzt.
  • $1^2=1$ und $\sqrt 1=1$

  Die beiden Schnittpunkte $(0|0)$ sowie $(1|1)$ sind auch in dem Bild zu sehen.

• Bestimme die Umkehrfunktion zu $f(x)=x^2+2$.

  Tipps

  Beachte, dass $x$ und $y$ bei der Umkehrfunktion vertauscht werden.

  Ebenso werden der Definitionsbereich und der Wertebereich vertauscht.

  Hier siehst du den Graphen der Umkehrfunktion.

  Lösung

  Wie kann man sich die Herleitung der Umkehrfunktion anschaulich vorstellen? Wir erhalten den Graphen der Umkehrfunktion zu $f(x)$ durch Spiegelung an der Ursprungsgeraden $y=x$. Dies können wir in der Abbildung erkennen.

  Wie kann man die entsprechende Funktionsgleichung herleiten?

  1. Man beginnt mit $y=f(x)$, also $y=x^2+2$.
  2. Nun formt man diese Gleichung nach $x$ um. Zunächst subtrahiert man $2$ und erhält $y-2=x^2$. Nun zieht man die Wurzel: $\sqrt{y-2}=x$.
  3. Zuletzt vertauscht man noch $y$ und $x$, um die gewohnte Benennung von x-Werten aus dem Definitionsbereich und y-Werten aus dem Wertebereich beizubehalten. So erhalten wir die Umkehrfunktion, welche auch oft mit „hoch $-1$“ gekennzeichnet wird: $f^{-1}(x)=\sqrt{x-2}$.

  Für die Funktion $y=x^2+2$ muss $y\ge 2$ gelten. Entsprechend muss bei der Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ gelten, dass $x\ge 2$ ist, da die Wurzel für negative Werte nicht definiert ist.

• Gib den Definitionsbereich sowie Wertebereich der Umkehrfunktion an und berechne einige Werte.

  Tipps

  Beachte, dass eine Wurzel $\sqrt x$ nur für $x\ge 0$ definiert ist.

  Du musst die Ungleichung $x-2\ge 0$ lösen.

  Die Nullstelle von $\sqrt x$ ist gegeben durch $x=0$.

  Der rote Graph gehört zu $f^{-1}(x)=\sqrt{x-2}$.

  Lösung

  Die Umkehrfunktion zu

  $f(x)=x^2+2$

  ist gegeben durch

  $f^{-1}(x)=\sqrt{x-2}$.

  Die jeweiligen Graphen sind hier zu sehen: Der grüne Graph gehört zu $f(x)$ und der rote zu der Umkehrfunktion.

  Es muss $x-2\ge0$ gelten, da die Wurzel sonst nicht definiert ist. Das bedeutet für den Definitionsbereich der Umkehrfunktion

  $\mathbb{D}=\{x\in \mathbb{R}|x\ge 2\}$.

  Der Wertebereich ist die Menge der positiven reellen Zahlen inklusive der $0$: $\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+$.

  Die Nullstelle der Umkehrfunktion ist gegeben durch $x=2$, denn $\sqrt{2-2}=\sqrt 0=0$.

  Wenn Funktionswerte der Funktion $f(x)$ bekannt sind, erhält man das zugehörige $x$ durch die Umkehrfunktion:

  • $f(x)=6$, dann ist $x=\sqrt{6-2}=\sqrt 4=2$ sowie
  • $f(x)=11$, dann ist $x=\sqrt{11-2}=\sqrt 9=3$.

• Bestimme die Seitenlänge des Quadrates bei gegebenem Flächeninhalt.

  Tipps

  Du musst die Gleichung $100=x^2$ lösen.

  Wenn du den gefundenen Wert quadrierst, erhältst du $100$.

  Du kannst $100$ in die Wurzelfunktion $\sqrt x$ einsetzen.

  Lösung

  Die Umkehrfunktion wird benötigt, um Funktionen umzukehren. Was bedeutet dies?

  Wenn man durch die Funktion $A(x)=x^2$ weiß, dass für $x=10$ der Funktionswert $A(10)=10^2=100$ ist, kann man sich umgekehrt fragen, für welches $x$ dieser Funktionswert angenommen wird.

  Sei also $A(x)=100$, dann muss das zugehörige $x$ berechnet werden. Also setzt man dieses $A(x)$ in die Umkehrfunktion ein:

  $x=\sqrt{100}=10$.

  Dies ist die gesuchte Lösung.

• Stelle die Gleichung der Umkehrfunktion auf und gib deren Definitions- sowie Wertebereich an.

  Tipps

  Forme die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ um.

  Beachte, dass die Wurzel nur für positive Argumente definiert ist.

  Die Umkehrfunktion ist eine verschobene Wurzelfunktion $\sqrt x$.

  Sie ist sowohl entlang der x- als auch entlang der y-Achse verschoben.

  Lösung

  Zunächst wird die Umkehrfunktion zu dieser Funktion bestimmt:

  Die Gleichung $y=(x-1)^2-2$ wird nach $x$ umgeformt:

  $\begin{array}{rclll} y&=&(x-1)^2-2&|&+2\\ y+2&=&(x-1)^2&|&\sqrt{~~~}\\ \sqrt{y+2}&=&x-1&|&+1\\ \sqrt{y+2}+1&=&x \end{array}$

  Nun werden $y$ und $x$ vertauscht und man erhält die Umkehrfunktion

  $f^{-1}(x)=\sqrt{x+2}+1$.

  Da eine Wurzel nur für positive Argumente definiert ist, muss $x+2\ge 0$ oder äquivalent $x\ge -2$ gelten. Somit ist

  $\mathbb{D}=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ge -2\}$.

  Der Wertebereich ist die Menge aller Zahlen größer oder gleich $1$:

  $\mathbb{W}=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge 1\}$.