Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion

Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion Übung

• Berechne die ersten beiden Ableitungen der Funktion $f(x)=\sqrt{x}-x$.

  Tipps

  Es gilt

  $(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}$.

  Die Ableitung der Differenz zweier Funktionen ist die Differenz der Ableitungen der Funktionen.

  Die Potenzregel der Differentiation lautet $(x^a)'=a \cdot x^{a-1},~a\in \mathbb{R}$.

  Lösung

  Die Funktion $f(x)=\sqrt{x}-x$ soll zweimal abgeleitet werden. Dazu wird

  • $(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}$ und
  • $(u-v)'=u'-v'$ verwendet.

  $\begin{align*} f'(x)&=(\sqrt{x}-x)'\\ & = (x^{\frac{1}{2}}-x)'\\ & = \frac12 \cdot x^{-\frac12}-1\\ & =\frac1{2\sqrt{x}}-1 \\ &=\frac12 x^{-0,5}-1\\ f''(x)&=\frac12\cdot (-0,5) \cdot x^{-1,5}\\ &=-\frac1{4\sqrt{x^3}}. \end{align*}$.

  Mit der Potenzregel ist $(x^{-0,5})'=-0,5x^{-1,5}=\large{-\frac1{2 \cdot x^{1,5}}}=-\frac1{2\sqrt{x^3}}$.

• Bestimme die Nullstellen und den Hochpunkt der Funktion $f(x)=\sqrt{x}-x$.

  Tipps

  Zur Nullstellenbestimmung muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden.

  • Für die Extrema muss die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst werden.
  • Die Lösung(en) wird (werden) in die 2. Ableitung eingesetzt. Diese muss ungleich $0$ sein. Ist die 2. Ableitung größer (kleiner) als $0$, liegt ein Tiefpunkt (Hochpunkt) vor.

  Lösung

  Die Ableitungen der Funktion $f(x)=\sqrt{x}-x$ sind

  • $f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}-1$ und
  • $f''(x)=\frac1{4\sqrt{x^3}}$.

  Nullstellen: Der Ansatz lautet $f(x)=0$:

  $\begin{align*} &&\sqrt{x}-x&=0\\ &\Leftrightarrow&\sqrt{x}(1-\sqrt{x})&=0\\ &\Rightarrow&x_1&=0\\ &&x_2&=1. \end{align*}$

  Die Nullstellen sind also $N_1(0|0)$ und $N_2(1|0)$.

  Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$:

  $\begin{align*} &&\frac1{2\sqrt{x}}-1&=0\\ &\Leftrightarrow&1-2\sqrt{x}&=0&~|~&+2\sqrt{x}\\ &\Leftrightarrow&1&=2\sqrt{x}&~|~&:2\\ &\Leftrightarrow&\frac12&=\sqrt{x}&~|~&()^2\\ &\Leftrightarrow&\frac14&=x_E. \end{align*}$

  Dieses $x_E$ wird für (h) in die 2. Ableitung eingesetzt:

  $f''\left(\frac14 \right)=\large{-\frac1{4\sqrt{\left(\frac14\right)^3}}}=-2$.

  Da dieser Wert kleiner als $0$ ist, liegt ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate des Hochpunktes ergibt sich durch Einsetzen von $x_E=\frac14$ in der Funktionsgleichung:

  $y_E=\sqrt{\frac14}-\frac14=\frac12-\frac14=\frac14$. Somit ist der Hochpunkt $HP\left(\frac14|\frac14 \right)$.

• Leite die Funktion $f(x)=\left( \sqrt x+1\right)^2$ einmal ab.

  Tipps

  Zwei Ableitungen sind richtig.

  Die Kettenregel lautet: $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

  Die Potenzregel der Differentiation lautet: $(x^a)'=ax^{a-1},~a\in \mathbb{R}$.

  Lösung

  Es gilt, die Funktion $f(x)=(\sqrt x+1)^2$ mit der Kettenregel abzuleiten. Diese besagt, dass die Ableitung $(u \cdot v)'$ durch $u' \cdot v + u \cdot v'$ beschrieben wird. Gehen wir also analog vor. Dabei lösen wir das Quadrat auf, sodass sich $(\sqrt x+1) \cdot (\sqrt x+1)$ ergibt:

  $\begin{align} ((\sqrt x+1) \cdot (\sqrt x+1))' & = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x} + 1) + (\sqrt{x} + 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}\\ & = 2 \cdot (\sqrt{x} +1)(\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}})\\ & = 2 \cdot (\frac12 + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}})\\ & = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\\ & = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+ \frac{1}{\sqrt{x}} \\ & = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\\ \end{align}$

  Somit haben wir die 1. Ableitung in unterschiedlicher Form gefunden. Es gilt also $f'(x)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=1 + \frac{1}{\sqrt{x}}$. Die Gleichheit geht aus der Äquivalenzumformung hervor.

• Bestimme das Extremum der Funktion $f(x)=x-2\sqrt x$.

  Tipps

  Für Extrema muss die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst werden. Die Ergebnisse werden in die 2. Ableitung eingesetzt. Ist diese ungleich $0$, so liegt ein Extremum vor.

  Es gilt die folgende Unterscheidung:

  $f''(x_E)\begin{cases} <0 & \Rightarrow\text{Hochpunkt } \\ >0 & \Rightarrow\text{Tiefpunkt } \end{cases}$

  Wenn ein Punkt $P(x|y)$ auf dem Funktionsgraphen der Funktion $f(x)$ liegt, so gilt $y=f(x)$.

  Lösung

  Für die Extrema werden die ersten beiden Ableitungen benötigt:

  $\begin{align*} f'(x)& =1-\frac1{\sqrt x}\\ &=\frac{\sqrt x -1}{\sqrt x} \\ f''(x)& =\frac1{2 \sqrt {x^3}} \end{align*}$.

  Die 2. Ableitung erhält man entweder über die Potenzregel mit der ersten Zeile der 1. Ableitung oder der Quotientenregel mit der zweiten Zeile der 1. Ableitung.

  Die 1. Ableitung muss $0$ sein, damit ein Extremum vorliegen kann:

  $\begin{align*} &&\frac{\sqrt x -1}{\sqrt x}&=0 \\ &\Leftrightarrow&\sqrt x -1&=0&~|~&+1\\ &\Leftrightarrow&\sqrt x &=1&~|~&(~)^2\\ &&x_E&=1. \end{align*}$

  Damit ein Extremum vorliegt, muss die 2. Ableitung an dieser Stelle ungleich $0$ sein: $f''(1)=\frac1{2 \sqrt {1^3}}=\frac12>0$. Es liegt also ein Tiefpunkt vor. Die y-Koordinate dieses Tiefpunktes ist $y=f(1)=1-2\sqrt1=-1$

  Der Tiefpunkt liegt bei $TP(1|-1)$.

• Gib an, welche Schritte bei der Bestimmung von Extrema durchgeführt werden müssen.

  Tipps

  Es ist

  • ein notwendiges
  • und ein hinreichendes Kriterium zu untersuchen.
  • Zum Schluss muss das Extremum (gegebenenfalls mehrere) angegeben werden.

  In einem Extremum liegt eine waagerechte Tangente vor.

  Sei $P(x|y)$ ein Punkt des Funktionsgraphen von $f(x)$, so gilt $y=f(x)$.

  Lösung

  Für Extrema sind drei Punkte zu betrachten:

  • es muss notwendigerweise gelten, dass $f'(x_E)=0$ ist. Das heißt, es existiert eine waagerechte Tangente an der Stelle $x_E$ und die Steigung ist hier somit $0$. Denn ohne waagerechte Tangente kann es kein Extremum geben. Aber die Existenz einer waagerechten Tangente reicht nicht aus
  • Es muss hinreichender Weise gelten, dass $f''(x_E)\neq 0$ ist. Falls $f''(x_E)> 0$ gilt, liegt ein Tiefpunkt vor, andernfalls ($f''(x_E)< 0$) ein Hochpunkt.
  • Ein oder mehrere Extrema werden dann angegeben durch $E(x_E|f(x_E))$.

• Untersuche die Funktion $f(x)=(\sqrt x -1)^2$ auf Nullstellen und Extrema.

  Tipps

  Die Funktion besitzt keinen Wendepunkt.

  Die ersten beiden Ableitungen sind:

  • $f'(x)=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x}$ und
  • $f''(x)=\frac1{2 \sqrt{x^3}}$.

  Zur Bestimmung der Nullstelle muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden.

  Zur Bestimmung der Extrema muss die Gleichung $f'(x)=0$ gelöst werden.

  Lösung

  Die ersten beiden Ableitungen der Funktion $f(x)=(\sqrt x -1)^2$ sind

  $\begin{align*} f'(x)&=2(\sqrt x -1)\cdot \frac1{2 \sqrt x}\\ &=\frac{\sqrt x -1}{\sqrt x}\\ f''(x)&=\frac{\frac{1}{2 \sqrt x}\cdot \sqrt x -(\sqrt x -1)\cdot\frac{1}{2 \sqrt x} }{x}\\ &=\frac{\sqrt x -(\sqrt x -1)}{2 \sqrt x\cdot x}\\ &=\frac{1}{2\sqrt{x^3}} \end{align*}$

  Nullstellen: Der Ansatz lautet $f(x)=0$:

  $\begin{align*} &&(\sqrt x -1)^2&=0&~|~&\sqrt{}\\ &\Leftrightarrow&\sqrt x -1&=0&~|~&+1\\ &\Leftrightarrow&\sqrt x &=1&~|~&(~)^2\\ &&x&=1. \end{align*}$

  Es liegt eine Nullstelle bei $N(1|0)$ vor.

  Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E) \neq 0$:

  $\begin{align*} &&\frac{\sqrt x -1}{\sqrt x}&=0\\ &\Leftrightarrow&\sqrt x -1&=0&~|~&+1\\ &\Leftrightarrow&\sqrt x &=1&~|~&(~)^2\\ &&x_E&=1. \end{align*}$

  Um zu überprüfen, ob tatsächlich ein Extremum vorliegt, muss $x_E=1$ in der 2. Ableitung eingesetzt werden: $f''(1)=\frac{1}{2\sqrt{1^3}}=\frac12$. Die 2. Ableitung ist also ungleich $0$ und größer als $0$. Das heißt, es liegt ein Tiefpunkt vor. Die y-Koordinate des Tiefpunktes ist $0$, da dies ja auch die Nullstelle ist: $TP(1|0)$.

  Da die 2. Ableitung nicht $0$ wird, existiert kein Wendepunkt.