Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion (Übungsvideo)

Wurzelfunktionen – Kurvendiskussion (Übungsvideo) Übung

• Bestimme die Achsenschnittpunkte der Funktion $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

  Tipps

  Die x-Achsenschnittpunkte (Nullstellen) liegen auf der x-Achse, also muss $y=0$ gelten.

  Der y-Achsenschnittpunkt, sofern vorhanden, liegt auf der y-Achse. Somit gilt hier $x=0$ und der Funktionswert lässt sich berechnen.

  Lösung

  Der Graph einer Funktion kann

  • keine, einen oder mehrere Schnittpunkte mit der x-Achse haben. Dies sind die Nullstellen. Es muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden.
  • keinen oder einen Schnittpunkt mit der y-Achse besitzen. Diesen erhält man durch Einsetzen von $x=0$ in der Funktionsgleichung.

  Für $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ bedeutet dies:

  Nullstellen: Der Ansatz lautet $f(x)=0$:

  $\begin{align*} \sqrt{x^2+1}&=0 &|& (~)^2\\ x^2+1&=0 &|& -1\\ x^2&=-1. \end{align*}$

  Diese Gleichung ist im Bereich der reellen Zahlen nicht lösbar, also hat die Funktion $f(x)$ keine Nullstellen.

  y-Achsenschnittpunkt: Wir setzen $x=0$ in $f(x)$ ein:

  $y=\sqrt {0^2+1}=\sqrt 1=1$.

  Also ist der y-Achsenschnittpunkt $Y(0|1)$.

• Berechne das Extremum der Funktion $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

  Tipps

  Wenn Ableitungen, deren Nullstellen zu untersuchen sind, aus einem Bruch bestehen, kann der Nenner vernachlässigt werden. Dieser darf lediglich nicht den Wert $0$ annehmen.

  Für ein Extremum muss

  • die 1. Ableitung $0$ sein und
  • die 2. Ableitung ungleich $0$.

  Ist die 2. Ableitung ungleich $0$, so kann sie

  • entweder größer als $0$ sein, dann liegt ein Tiefpunkt vor,
  • oder kleiner als $0$ sein, dann liegt ein Hochpunkt vor.

  Lösung

  Für die Extrema werden die ersten beiden Ableitungen benötigt:

  $\begin{align*} f'(x)& =\frac1{2\sqrt{ x^2+1}}\cdot 2x\\ &=\frac{x}{\sqrt{ x^2+1}} \\ f''(x)& =\frac1{\sqrt{ (x^2+1)^3}} . \end{align*}$

  Die 2. Ableitung erhält man mit der Quotientenregel.

  Die 1. Ableitung muss $0$ sein, damit ein Extremum vorliegen kann:

  $\begin{align*} &&\frac{x}{\sqrt{ x^2+1}}&=0 \\ &\Rightarrow&x_E&=0. \end{align*}$

  Damit ein Extremum vorliegt, muss die 2. Ableitung an dieser Stelle ungleich $0$ sein: $f''(0)=\frac1{\sqrt{ (0^2+1)^3}}=1>0$. Es liegt also ein Tiefpunkt vor. Die y-Koordinate dieses Tiefpunktes ist $y=f(0)=\sqrt{0^2+1}=1$, also: $TP(0|1)$.

• Leite die Funktion zweimal ab.

  Tipps

  Die Kettenregel lautet $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

  Die Quotientenregel in der Kurzschreibweise lautet

  $\left( \frac uv\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.

  Lösung

  Zur 1. Ableitung: Hier wird die Kettenregel verwendet:

  $\begin{align*} f'(x)&=\frac1{2\sqrt{x^2-2x}}\cdot(2x-2)\\ &=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}. \end{align*}$

  Damit kann dann die 2. Ableitung berechnet werden.Dabei wird zum einen die Quotientenregel und zum anderen die Kettenregel verwendet:

  $\begin{align*} f''(x)&=\frac{\sqrt{x^2-2x}-(x-1)\cdot \frac1{2\sqrt{x^2-2x}}\cdot(2x-2)}{x^2-2x}\\ &=\frac{2x^2-4x-(x-1)\cdot(2x-2)}{2\sqrt{(x^2-2x)^3}}\\ &=\frac{2x^2-4x-2x^2+4x-2}{2\sqrt{(x^2-2x)^3}}\\ &=-\frac2{2\sqrt{(x^2-2x)^3}}\\ &=-\frac1{\sqrt{(x^2-2x)^3}} \end{align*}$

• Prüfe, ob die Funktion Nullstellen, Extrema und Wendepunkte besitzt.

  Tipps

  Die ersten beiden Ableitungen sind:

  $\begin{align*} f'(x)&=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\\ f''(x)&=-\frac1{\sqrt{(x^2-2x)^3}}. \end{align*}$

  Überprüfe x-Werte darauf, ob sie im Definitionsbereich liegen.

  Für Extrema gilt

  • $f'(x_E)=0$ (n) und
  • $f''(x_E)\neq 0$ (h).

  Für Wendepunkte gilt:

  • $f''(x_W)=0$ (n) und
  • $f'''(x_W)\neq 0$ (h).

  Lösung

  Nullstellen: Der Ansatz lautet $f(x)=0$:

  $\begin{align*} &&\sqrt{x^2-2x}&=0\\ &\Rightarrow&x^2-2x&=0\\ &\Rightarrow&x_1&=0\\ &&x_2&=2. \end{align*}$

  Also gibt es 2 Nullstellen $N_1(0|0)$ und $N_2(2|0)$.

  Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq 0$.

  Die ersten beiden Ableitungen sind:

  $\begin{align*} f'(x)&=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\\ f''(x)&=\frac{\sqrt{x^2-2x}-(x-1)\cdot \frac1{2\sqrt{x^2-2x}}\cdot(2x-2)}{x^2-2x}\\ &=\frac{2x^2-4x-(x-1)\cdot(2x-2)}{2\sqrt{(x^2-2x)^3}}\\ &=\frac{2x^2-4x-2x^2+4x-2}{2\sqrt{(x^2-2x)^3}}\\ &=-\frac2{2\sqrt{(x^2-2x)^3}}\\ &=-\frac1{\sqrt{(x^2-2x)^3}}. \end{align*}$

  $\begin{align*} &&\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}&=0\\ &\Rightarrow&x-1&=0~|~+1\\ &\Rightarrow&x_E&=1. \end{align*}$

  Jedoch gilt $x_E \notin \mathbb{D}_f$. Das heißt, es gibt keine Extrema.

  Wendepunkte:

  Da die 2. Ableitung nie $0$ wird, kann es keine Wendepunkte geben.

• Erstelle eine Wertetabelle für $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

  Tipps

  Setze den x-Wert in $f(x)$ ein.

  Das Erstellen einer Wertetabelle bietet sich ergänzend zu einer Kurvendiskussion an, um den Graphen der Funktion zu zeichnen.

  Lösung

  Eine Wertetabelle kann immer, auch wenn sie in der Aufgabenstellung nicht verlangt wurde, angefertigt werden. Sie erleichtert das Zeichnen des Funktionsgraphen.

  Zu einigen $x$ werden die zugehörigen Funktionswerte errechnet:

  • $f(0)=\sqrt{0^2+1}=\sqrt 1=1$
  • $f(1)=\sqrt{1^2+1}=\sqrt 2≈1,41$
  • $f(2)=\sqrt{2^2+1}=\sqrt 5≈2,24$
  • $f(3)=\sqrt{3^2+1}=\sqrt 10≈3,16$

• Untersuche die Funktion $f(x)=\sqrt{6x-x^2}$.

  Tipps

  Die Definitionsbereich der Wurzelfunktion ist $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}^+_0$.

  Die 1. Ableitung ist $f'(x)=\frac{3-x}{\sqrt{6x-x^2}}$.

  Lösung

  Dieser Halbkreis hat den Mittelpunkt $M(3|0)$ und den Radius $r=3$. Daraus ergibt sich die Gleichung

  $(x-3)^2+y^2=3^2$

  für alle Randpunkte $P(x|y)$ des Kreises.

  Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:

  $\begin{align*} &&(x-3)^2+y^2&=3^2\\ &\Leftrightarrow&x^2-6x+9+y^2&=9&~|~&-9|-x^2|+6x\\ &\Leftrightarrow&y^2&=6x-x^2&~|~&\sqrt{~}\\ &\Rightarrow&y&=±\sqrt{6x-x^2}. \end{align*}$

  Das heißt, die Funktion $f(x)=\sqrt{6x-x^2}$ hat als Graphen den oberen Halbkreis, der hier zu sehen ist.

  Damit ist der Definitionsbereich bereits zu erkennen. Es muss gelten $6x-x^2\ge0$. $6x-x^2$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Deshalb liegt sie zwischen den beiden Nullstellen, diese sind $x_1=0$ und $x_2=6$, oberhalb der x-Achse. Also ist $\mathbb{D}_f=[0;6]$.

  Nullstellen: Der Ansatz lautet $f(x)=0$:

  $\begin{align*} &&\sqrt{6x-x^2}&=0&~|~&(~)^2\\ &\Rightarrow&6x-x^2&=0\\ &\Leftrightarrow&x(6-x)&=0\\ &\Rightarrow&x_1&=0\\ &&x_2&=6. \end{align*}$

  Die Funktion hat also 2 Nullstellen $N_1(0|0)$ sowie $N_2(6|0)$. Da die Funktion positiv ist, muss zwischen diesen beiden Stellen ein Hochpunkt liegen.

  Die 2. Ableitung der Funktion ist recht kompliziert, weswegen hier nur das notwendige Kriterium für Extrema untersucht wird.

  Die 1. Ableitung ist

  $\begin{align*} f'(x)&=\frac1{2\sqrt{6x-x^2}}\cdot (6-2x)\\ &=\frac{3-x}{\sqrt{6x-x^2}}. \end{align*}$

  Hier wurde die Kettenregel verwendet.

  Diese Ableitung muss $0$ sein:

  $\begin{align*} &&\frac{3-x}{\sqrt{6x-x^2}}&=0\\ &\Leftrightarrow&3-x&=0&~|~& +x\\ &\Rightarrow&3&=x_E. \end{align*}$

  Der zugehörige Funktionswert ist $y_E=\sqrt{6\cdot 3-3^2}=\sqrt{18-9}=\sqrt 9=3$, also $HP(3|3)$.