Zusammengesetzter Dreisatz

Zusammengesetzter Dreisatz Übung

• Berechne die Lösung mit einem doppelten Dreisatz.

  Tipps

  Im ersten Teil der Rechnung halten wir die Zeit, in der produziert wird, konstant. Dann berechnen wir mit einem Dreisatz die korrekte Anzahl der ersten Zuordnung zwischen Anzahl der Maschinen und Eiswürfel.

  Hast du einen Dreisatz für eine der beiden Zuordnungen aufgestellt, kannst du so rechnen, wie du es für Dreisätze gewohnt bist.

  Lösung

  So kannst du die Lösung bestimmen:

  $2$ Maschinen produzieren in $3$ Stunden $98$ Eiswürfel. Um zu berechnen, wie viele Eiswürfel eine Maschine produziert, teilen wir die Zuordnung durch $2$.

  Eine Maschine produziert also $98:2=49$ Eiswürfel.

  Anschließend werden beide Seiten der Zuordnung mit $6$ multipliziert.

  Also produzieren sechs Maschinen $49\cdot 6=294$ Eiswürfel.

  Im ersten Teil der Rechnung halten wir die Zeit, in der produziert wird, konstant. Dann berechnen wir mit einem Dreisatz die korrekte Anzahl der ersten Zuordnung zwischen Anzahl der Maschinen und Eiswürfel.

  Sechs Maschinen produzieren also in $3$ Stunden $294$ Eiswürfel. Um zu berechnen, wie viele Eiswürfel in einer Stunde produziert werden, teilen wir beide Seiten durch $3$.

  In einer Stunde werden also $294:3=98$ Eiswürfel produziert.

  Anschließend multiplizieren wir beide Seiten mit $8$.

  Also produzieren $6$ Maschinen in $8$ Stunden $98\cdot 8=784$ Eiswürfel.

  Im zweiten Teil halten wir die Anzahl der Maschinen konstant und rechnen nur mit der zweiten Zuordnung zwischen Zeit und Eiswürfel.

• Berechne die Lösung mit einem doppelten Dreisatz.

  Tipps

  In der Rechnung halten wir zunächst die Anzahl der Tanks konstant und berechnen, wie lange es dauert, die zwei Wassertanks über $3$ Schläuche zu füllen.

  Beachte, ob es sich bei dem jeweiligen Dreisatz um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt.

  Lösung

  In der Rechnung halten wir zunächst die Anzahl der Tanks konstant und berechnen, wie lange es dauert, $3$ Tanks über $3$ Schläuche zu füllen. Beachte, dass es sich dabei um eine antiproportionale Zuordnung handelt. Je mehr Schläuche verwendet werden, desto kürzer dauert es.

  Im zweiten Teil halten wir die Anzahl der Schläuche konstant und berechnen, wie lange es dauert, $6$ Tanks zu füllen. Beachte, dass es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung handelt. Denn je mehr Tanks gefüllt werden müssen, desto länger dauert es.

• Wende einen doppelten Dreisatz an.

  Tipps

  Die zweite Zuordnung zwischen der Anzahl der Sprayer und der benötigten Zeit ist antiproportional.

  Bei einer antiproportionalen Zuordnung teilst du die zweite Größe durch diejenige Zahl, mit der du die erste Größe multiplizierst.

  Lösung

  Zuerst halten wir die Anzahl der vier Personen konstant. Die Zuordnung zwischen der Anzahl der Waggons und der benötigten Zeit ist proportional.

  $8$ Waggons entsprechen $12$ Stunden.

  Also teilen wir beide Seiten dieser Zuordnung durch $8$.

  • Sie benötigen also für einen Waggon $1,5$ Stunden.

  Jetzt können wir diese Zuordnung mit der Anzahl der Waggons multiplizieren. Wir erhalten:

  • Für zwei Waggons brauchen sie $3$ Stunden.
  • Für zwölf Waggons brauchen sie $18$ Stunden.
  • Für sechs Waggons brauchen sie $9$ Stunden.

  Anschließend halten wir die Anzahl der Waggons konstant und rechnen mit der zweiten Zuordnung zwischen der Anzahl der Sprayer und der benötigten Zeit. Diese Zuordnung ist antiproportional.

  $12$ Waggons: Vier Menschen brauchen $18$ Stunden.

  • Also brauchen acht Menschen $9$ Stunden.

  $6$ Waggons: Vier Menschen brauchen $9$ Stunden.

  • Also brauchen zwei Menschen $18$ Stunden.

• Erschließe die Lösung mit einem doppelten Dreisatz.

  Tipps

  Bei einer doppelten proportionalen Zuordnung kannst du eine der Größen zunächst konstant halten, während du mit den anderen beiden Größen rechnest.

  Hier kannst du zum Beispiel zuerst die Anzahl der Fische konstant halten, während du berechnest, wie eine Veränderung der Größe des Aquariums die Putzdauer verändert.

  Lösung

  Wir wissen, dass Sofia für ein Aquarium mit $V=2~\text{m}^3$ und $10$ Fischen $2$ Stunden braucht.

  Wollen wir wissen, wie lange sie für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $10$ Fischen benötigt, können wir die Anzahl der Fische konstant halten. Wir teilen die Zuordnung $V=2~\text{m}^3$ und $2$ Stunden durch $2$ und erhalten:

  $V=1~\text{m}^3$ entspricht $1$ Stunde.

  Jetzt können wir mit $4$ multiplizieren und erhalten:

  $V=4~\text{m}^3$ entsprechen $4$ Stunden.

  • Damit erhalten wir als erste Zuordnung, dass sie für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $10$ Fischen $4$ Stunden benötigt.

  Wollen wir die Dauer für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $5$ Fischen berechnen, dann halten wir die Größe des Aquariums konstant. Wir teilen die Zuordnung $10$ Fische und $4$ Stunden durch $10$ und erhalten:

  $1$ Fisch entspricht $0{,}4$ Stunden.

  Multiplizieren wir mit $5$, erhalten wir:

  $5$ Fische entsprechen $2$ Stunden.

  • Also benötigt sie für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $5$ Fischen $2$ Stunden.

  Genauso erhältst du:

  • Für ein Aquarium mit $V=5~\text{m}^3$ und $5$ Fischen benötigt sie $2{,}5$ Stunden.
  • Für ein Aquarium mit $V=10~\text{m}^3$ und $20$ Fischen benötigt sie $20$ Stunden.

• Bestimme die korrekten Aussagen zum doppelten Dreisatz.

  Tipps

  Bei Dreisätzen wendest du nur die Rechenarten Multiplikation und Division an.

  Wenn eine Größe sich vergrößert, während eine andere Größe sich verkleinert, dann kann die Zuordnung dieser Größen nicht proportional sein.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Beim Rechnen mit Dreisätzen addierst und subtrahierst du Zahlen zu unterschiedlichen Größen, die einander zugeordnet werden können.

  Bei Dreisätzen multiplizierst und dividierst du die Größen. Addiert oder subtrahiert wird hier nie.

  • Du kannst nur bei gleichartigen Zuordnungen Rechnungen mit einem doppelten Dreisatz durchführen. Hast du also eine proportionale und eine antiproportionale Zuordnung, kann hier kein doppelter Dreisatz angewandt werden.

  Den doppelten Dreisatz kannst du auch bei gemischten Zuordnungen anwenden. Beachte jedoch, dass du die richtige Rechenart verwendest.

• Erschließe, ob die Lösungen korrekt sind.

  Tipps

  Erkenne zunächst, um welche Arten von Zuordnungen es sich hier handelt.

  Rechne anschließend nacheinander mit beiden Zuordnungen.

  Lösung

  Diese Rechnung ist falsch:

  • Zur Übung rechnet Luis alte Matheklausuren. Für $3$ Klausuren mit je $4$ Aufgaben braucht er $3$ Stunden. Dann braucht er für $2$ Klausuren mit jeweils $5$ Aufgaben $2$ Stunden.

  Halten wir zunächst die Anzahl der Aufgaben ($4$) konstant, wissen wir:

  $3$ Klausuren entsprechen $3$ Stunden.

  Teilen wir durch $3$, erhalten wir:

  $1$ Klausur entspricht $1$ Stunde.

  Multiplizieren wir mit $2$:

  $2$ Klausuren entsprechen $2$ Stunden.

  Jetzt können wir die Anzahl der Klausuren ($2$) konstant halten:

  $4$ Aufgaben entsprechen $2$ Stunden.

  Teilen wir durch $4$, erhalten wir:

  $1$ Aufgabe entspricht $0{,}5$ Stunde.

  Multiplizieren wir mit $5$:

  $5$ Aufgaben entsprechen $2{,}5$ Stunden.

  Also braucht er für $2$ Klausuren mit je $5$ Aufgaben $2{,}5$ Stunden.

  Rechnest du die anderen Aufgaben auf die gleiche Weise, erfährst du, dass diese Aufgaben richtig sind:

  • Für eine Studie mit $20$ Teilnehmenden, in der $50$ Fragen ausgewertet werden sollen, braucht eine Wissenschaftlerin $10$ Tage. Dann braucht sie für eine Studie mit $40$ Teilnehmenden und $60$ Fragen $16$ Tage.
  • $3$ Programmiererinnen schreiben in $4$ Stunden $200$ Zeilen Code. Dann schreiben $6$ Programmiererinnen in $5$ Stunden $500$ Zeilen.
  • Ein Zug mit einer Geschwindigkeit von $200~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ fährt in $3$ Stunden $600$ Kilometer. Dann fährt ein Zug mit $150~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in $4$ Stunden ebenfalls $600$ Kilometer.