Irrationale und reelle Zahlen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Die rationalen Zahlen
• Die irrationalen Zahlen
• Die reellen Zahlen
• Die komplexen Zahlen

Die rationalen Zahlen

Die rationalen Zahlen stellen einen Zahlenbereich in der Mathematik dar. Es gibt verschiedene Zahlenbereiche, von denen du sicherlich schon ein paar kennst.

Ganz früh lernst du in der Schule die natürlichen Zahlen $(\mathbb{N})$ kennen. Natürliche Zahlen hängen mit Zählbarkeit zusammen: Du kannst zum Beispiel zählen, wie viele Tage es noch sind bis zu deinem Geburtstag oder wie viele Freunde du einladen möchtest. Die Menge der natürlichen Zahlen kannst du so schreiben:

$\quad~~ \mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}$ .

Ein Streitpunkt der Didaktik ist jedoch, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört. Genauer müsste man also schreiben:

$\quad~~ \mathbb{N}\cup 0=\{0;1;2;3;4;...\}$

Verwende bitte die Definition, die dir dein Mathelehrer beibringt!

Die natürlichen Zahlen genügen noch nicht zum Rechnen. Zum Beispiel kannst du $4-7$ im Bereich der natürlichen Zahlen nicht rechnen. Deshalb lernst du die ganzen Zahlen $(\mathbb{Z})$ kennen, die sich aus den natürlichen Zahlen, den negativen Zahlen und der Null zusammensetzen:

$\quad ~~ \mathbb{Z}=\{...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...\}$

Wenn du $15$ Euro auf $10$ Personen aufteilst, wie viel Euro bekommt jeder? Das kannst du im Bereich der ganzen Zahlen nicht rechnen. Nun lernst du die positiven rationalen Zahlen $(\mathbb{Q}^+)$ kennen. Bei dem Beispiel bekommt jeder $1,50$ Euro.

$\quad ~~ \mathbb{Q}^+=\left\{\frac ab;~a;~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$.

Bei den rationalen Zahlen $(\mathbb{Q})$ schließlich kommen auch noch negative rationale Zahlen hinzu, die du am Minuszeichen erkennst. Die rationalen Zahlen sind die Bruchzahlen. Sie können auch als Dezimalzahlen dargestellt werden. Dabei kann die Dezimalzahl entweder endlich viele Nachkommastellen haben oder eine periodische Dezimalzahl sein.

$\quad ~~\mathbb{Q}=\left\{\frac ab;~a\in\mathbb{Z};~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$

Gibt es denn auch Zahlen die nicht rational sind? Ja! Diese Zahlen werden als irrationale Zahlen bezeichnet.

Die irrationalen Zahlen

Wenn die rationalen Zahlen alle Dezimalzahlen sind, die entweder endlich viele Nachkommastellen haben oder periodisch sind, dann sind die irrationalen Zahlen die Dezimalzahlen, die weder endlich viele Nachkommastellen haben, noch periodische Dezimalzahlen sind.

Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass irrationale Zahlen sich nicht als Brüche schreiben lassen. Dies wird in dem Beweis der Irrationalität von $\mathbf{\sqrt 2}$ verwendet.

Es wirklich viele irrationale Zahlen:

• Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Du kannst sie aber zählen. Deswegen sagt man, dass es abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen gibt.
• Es gibt auch abzählbar unendlich viele rationale Zahlen.
• Es gibt allerdings überabzählbar unendlich viele irrationale Zahlen.

Die reellen Zahlen

Du kennst ja bereits die rationalen Zahlen $(\mathbb{Q})$. Wenn du diese Menge ergänzt um die irrationalen Zahlen, erhältst du die Menge der reellen Zahlen $(\mathbb{R})$.

Diese Menge kannst du nicht mehr so konstruktiv beschreiben, wie zum Beispiel die rationalen Zahlen.

$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \lbrace x~|~ x \text{ ist eine irrationale Zahl} \rbrace $

Es gilt für das Zahlensystem

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

Dies siehst du hier anschaulich.

Die komplexen Zahlen

Doch auch die reellen Zahlen sind nicht alle vorstellbaren Zahlen. Es gibt noch Zahlen mit einem imaginären Anteil. Mit diesen Zahlen kann man auch Gleichungen lösen wie:

$x^2+1=0$

Hier gibt es keine reelle Zahl als Lösung, da $x^2$ immer positiv sein muss. Da man in der Physik auch solche Gleichungen lösen können muss, wurde eine neue Zahl $i$ eingeführt mit der Eigenschaft $i^2=-1$. Im Zahlenbereich der komplexen Zahlen $(\mathbb{C})$ werden die reellen Zahlen $(\mathbb{R})$ mit den imaginären Zahlen $(i)$ zusammengefasst.