Funktionen mehrerer Veränderlicher

Funktionen mit einer Veränderlichen

In der Schule beschäftigst du dich meistens mit Funktionen, die von einer Variable (oft wird $x$ genutzt) abhängen. Diese kannst du nach bestimmten Kriterien voneinander abgrenzen. Schau dir beispielsweise folgende quadratische Funktion an:

$f(x)=x^{2}$.

Diese Funktion hängt nur von $x$ ab. Für jeden $x$-Wert, den du einsetzt, erhältst du einen $y$-Wert. Die Menge aller Wertepaare $(x|f(x))$ bzw. $(x|y)$ kannst du als Punkte im $x$-$y$-Koordinatensystem einzeichnen. Die Figuren, die sich dadurch ergeben, nennt man Funktionsgraphen.

Funktionen mit mehreren Veränderlichen

In diesem Text geht es nun um Funktionen, die von mehr als einer unabhängigen Variable abhängen. Als Beispiel schauen wir uns die Funktion $z=f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ an.

Du siehst, dass $z=f(x,y)$ von zwei Veränderlichen (nämlich von $x$ und $y$) abhängt. Du erhältst hier, analog zu dem Fall mit einer Veränderlichen, eine Menge bestehend aus Punkten $(x|y|f(x,y))$, welche in einem dreidimensionalen Koordinatensystem liegen. Dieses ist das $x$-$y$-$z$-Koordinatensystem.

Die graphische Darstellung einer solchen Funktion kann eine Fläche im $\mathbb{R}^{3}$ sein.

Bei dem obigen Beispiel $z=f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ erhältst du als Fläche eine „dreidimensionale Parabel“, ein sogenanntes Paraboloid.

Neben der Darstellung einer Funktion mit mehreren Veränderlichen als Fläche kannst du diese auch mit Hilfe von Höhenlinien oder Isoquanten darstellen.

Partielle Ableitungen und Tangentialebene

Auch Funktionen mit mehreren Veränderlichen kannst du (unter gewissen Voraussetzungen) ableiten. Dies schauen wir uns an dem obigen Beispiel $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ an. Für eine solche Funktion bildest du sogenannte partielle Ableitungen.

Du erhältst in diesem Fall zwei Ableitungen (einmal nach $x$ abgeleitet und einmal nach $y$ abgeleitet). Dabei kannst du dir die jeweils andere Variable einfach als Konstante vorstellen:

$f_x(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x ~\text{und ebenso} ~f_y(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2y$

Dies sind die partiellen Ableitungen 1. Ordnung. Mit Hilfe dieser kannst du Tangentialebenen bestimmen.

Lokale Extrempunkte bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Bei der Ermittlung lokaler Extrema gehst du so ähnlich vor wie bei Funktionen mit einer Veränderlichen. Eine notwendige Bedingung ist, dass alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung gleich $0$ sind. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem. Für das Beispiel muss also $2x=0$ und gleichzeitig $2y=0$ gelten. Dies führt zu $x=0$ und $y=0$.

Die zweite Ableitung einer solchen Funktion ist die sogenannte Hesse-Matrix. Mit dieser können wir prüfen, ob bei $(0|0|0)$ tatsächlich ein Extrempunkt vorliegt. Die Hesse-Matrix für das Beispiel lautet:

$H_{f}=\begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&2 \end{pmatrix}$

Die Determinante dieser Matrix muss größer als $0$ sein. Mathematisch ausgedrückt muss $\text{det}\left(H_{f}\right)\gt 0$ gelten.

Hier ist $\text{det}\left(H_{f}\right)=4$, das Kriterium ist somit erfüllt.

Da die Determinante $4$ ist und das erste Diagonalelement oben links ebenfalls positiv ist, ist die Matrix positiv definit. Es liegt also ein lokales Minimum im Punkt $(0|0|0)$ vor. Dies kannst du auch in dem oben abgebildeten Paraboloid erkennen.

Ist die Determinante nicht größer als $0$, liegt kein Extremum vor. Wenn das betrachtete Diagonalelement kleiner ist als $0$ und die Determinante größer als $0$, liegt ein lokales Maximum vor.