Addition und Subtraktion von Bruchtermen

Addition und Subtraktion von Bruchtermen Übung

• Gib die Lösungsstrategie für Bruchterme an.

  Tipps

  Um Bruchterme addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie gleichnamig sein. Falls das nicht der Fall ist, muss ein gemeinsamer Hauptnenner gefunden werden.

  Um die Bruchterme gleichnamig zu machen, können wir die Brüche durch erweitern oder kürzen auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen.

  Lösung

  Was ist ein Bruchterm?

  Einen Bruchterm können wir in einen Zählerterm und einen Nennerterm unterteilen. Zur Erinnerung: Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammensetzung aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern.

  Zum Beispiel: ${\dfrac{3x+2}{x^2-x}}$

  Gleichnamige Bruchterme addieren oder subtrahieren:

  Hier müssen wir den Nenner beibehalten und die Zähler addieren oder subtrahieren. Beim Subtrahieren wird der Term des Subtrahenden dabei in Klammern gesetzt. Falls möglich, wird dann noch gekürzt.

  Zum Beispiel: ${\dfrac{5}{1-x} - \dfrac{2x+4}{1-x} = \dfrac{5-(2x+4)}{1-x} = \dfrac{5-2x-4}{1-x} = \dfrac{1-2x}{1-x}}$

  Ungleichnamige Bruchterme addieren oder subtrahieren:

  Hier müssen wir die Bruchterme zuerst gleichnamig machen, indem wir kürzen oder erweitern. Dazu sollten wir immer zuerst schauen, ob wir den Nenner faktorisieren können. Dann wird der Hauptnenner bestimmt und der Term auf ihn erweitert.

  Zum Beispiel: ${\dfrac{2}{x+1} + \dfrac{x}{x^2+x} = \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{x}{x(x+1)}} = \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{\not{\! x}}{\not{\! x}(x+1)} = \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{1}{x+1}$

  In einem letzten Schritt können wir die Zähler wieder zusammenfassen und wenn nötig noch kürzen.

  Zum Beispiel: ${\dfrac{2+1}{x+1} = \dfrac{3}{x+1}}$

• Vereinfache den Term.

  Tipps

  Faktorisiere zuerst den Nenner, um den Bruchterm gleichnamig zu machen.
  Zum Beispiel: $\frac{1}{2x^2+3x}= \frac{1}{x(2x+3)} $

  Wenn die Bruchterme den gleichen Nenner haben, kannst du die Zähler addieren und den Nenner beibehalten.
  Zum Beispiel: $ \frac{5}{x+3} + \frac{x-4}{x+3} = \frac{5+(x-4)}{x+3} = \frac{1+x}{x+3}$

  Lösung

  Bruchterme können entweder gleichnamig oder ungleichnamig sein. Um sie addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie gleichnamig sein, das heißt, den exakt gleichen Nenner besitzen.

  Sind die Bruchterme bereits gleichnamig, müssen wir nur den Nenner beibehalten und die Zähler addieren oder subtrahieren.

  Dazu ein Beispiel: $ \frac{4}{x+2} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{4-(x-1)}{x+2} = \frac{4-x+1}{x+3} = \frac{5-x}{x+3}$

  Wenn aber Bruchterme ungleichnamig sind, dann müssen wir sie gleichnamig machen, also so erweitern oder kürzen, dass sie exakt den gleichen Nenner haben.

  Die richtige Reihenfolge der Rechenschritte aus der Aufgabe ist:

  $\frac{2}{x+1} + \frac{x}{x^2+x}$
  Wir faktorisieren zuerst den Nenner:
  = $\frac{2}{x+1} + \frac{x}{x(x+1)} $
  Wir kürzen dann soweit wie möglich:
  = $\frac{2}{x+1} + \frac{\not{x}}{\not{x}(x+1)} $
  = $ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+1} $
  Wir addieren nun die Zähler und behalten den Nenner bei:
  = $ \frac{2+1}{x+1} $
  = $ \frac{3}{x+1} $

• Bestimme den Hauptnenner.

  Tipps

  Um den Hauptnenner zu finden, kann man die Nenner faktorisieren.
  Zum Beispiel:
  $\frac{3}{x+4} + \frac{x}{x^2+4x}$
  = $\frac{3}{x+4} + \frac{x}{x(x+4)} $
  = $\frac{3}{x+4} + \frac{\not{x}}{\not{x}(x+4)} $
  = $ \frac{3}{x+4} + \frac{1}{x+4} $
  = $ \frac{4}{x+4} $

  Um den Hauptnenner zu finden, kann man alle vorkommenden Faktoren der Nenner in einer Tabelle notieren. Dabei stehen die Faktoren, die in beiden Nennern vorkommen, direkt untereinander. Dann übernimmt man jeden Faktor, der in einer Spalte mindestens einmal vorkommt, einmal. Dies ergibt den gemeinsamen Hauptnenner.

  Lösung

  Um den Hauptnenner zu finden, können wir alle vorkommenden Faktoren der Nenner in einer Tabelle notieren. Dabei stehen die Faktoren, die in beiden Nennern vorkommen, direkt untereinander. Dann übernehmen wir jeden Faktor, der in einer Spalte mindestens einmal vorkommt, einmal. So erhalten wir den gemeinsamen Hauptnenner.

  Für die Nenner $x+3$ und $x^2+6x$ ergibt sich somit:

  $\begin{array}{l|cccccc} \text{Nenner 1} & x+3& = & &&(x+3) \\ \hline \text{Nenner 2} & x^2+6x &= & x \cdot &(x+6) & \\ \hline \text{Hauptnenner} && & x \cdot&(x+6) \cdot&(x+3) \\ \end{array}$

  Für die Nenner $3x+9$ und $x^2+3x$ ergibt sich somit:

  $\begin{array}{l|cccccc} \text{Nenner 1} & 3x+9& = &3 \cdot&&(x+3) \\ \hline \text{Nenner 2} & x^2+3x &= & & x \cdot &(x+3) \\ \hline \text{Hauptnenner} &&& 3 \cdot& x \cdot&(x+3) \\ \end{array}$

  Für die Nenner $ 2x+12 $ und $ (x+6)^2 $ ergibt sich somit:

  $\begin{array}{l|cccccc} \text{Nenner 1} & 2x+12 & = &2 \cdot &&(x+6) \\ \hline \text{Nenner 2} & (x+6)^2 &= && (x+6) \cdot &(x+6) \\ \hline \text{Hauptnenner} &&& 2\cdot & (x+6) \cdot & (x+6) \\ &&=& 2\cdot & & (x+6)^2 \\ \end{array}$

  Für die Nenner $ 2x+6 $ und $ (x+6)(x+3) $ ergibt sich somit:

  $\begin{array}{l|cccccc} \text{Nenner 1} & 2x+6& = &2 \cdot &&(x+3) \\ \hline \text{Nenner 2} & (x+6)(x+3) &= && (x+6) \cdot & (x+3)\\ \hline \text{Hauptnenner} && & 2 \cdot& (x+6) \cdot & (x+3) \\ \end{array}$

• Erkläre, wie man den Bruchterm berechnet.

  Tipps

  Prüfe zuerst, ob man faktorisieren kann. Anschließend musst du den Hauptnenner bilden.
  Zum Beispiel:
  $ \frac{8}{3x^2-x} - \frac{2x}{(3x-1)} = \frac{8}{x(3x-1)} - \frac{2x}{(3x-1)}$

  Der Hauptnenner lautet hier: $ x(3x-1) $

  Vergiss nicht, beim Erweitern auch die Zähler zu multiplizieren. In dem Beispiel muss man die $2x$ aus dem zweiten Nenner mit $x$ multiplizieren.

  Lösung

  $ \dfrac{5}{4x^2-x} - \dfrac{7x}{16x-4} $

  Wir wollen diese beiden Brüche subtrahieren. Wir müssen zuerst überlegen, an welchen Stellen wir faktorisieren können. Im Nenner des ersten Bruchterms können wir $x$ ausklammern und im Nenner des zweiten Bruchterms können wir $4$ ausklammern. Man kann allerdings keinen der beiden Bruchterme kürzen.

  = $ \dfrac{5}{x(4x-1)} - \dfrac{7x}{4(4x-1)} $

  Wir können die Bruchterme aber gleichnamig machen, indem wir den Hauptnenner bilden. Wir müssen also das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner finden und diese damit erweitern. Der Hauptnenner ist hier $4x (4x-1)$, deshalb müssen wir den Zähler beider Bruchterme dementsprechend mit $4$ und $x$ erweitern.

  = $ \dfrac{5 \cdot 4}{x(4x-1) \cdot 4} - \dfrac{7x \cdot x}{4(4x-1) \cdot x} $

  Dann sind die Nenner gleichnamig und wir können die Zähler einfach subtrahieren.

  = $ \dfrac{20}{4x(4x-1)} - \dfrac{7x^2}{4x(4x-1)} = \dfrac{20-7x^2}{4x(4x-1)} $

  Am Ende müssen wir noch prüfen, ob gekürzt werden muss. Das ist hier nicht der Fall.

• Gib die Lösung der Bruchrechnungen an.

  Tipps

  Ein Beispiel zum Addieren gleichnamiger Brüche:
  $ \frac{7}{x} + \frac{3}{x} = \frac{7+3}{x} = \frac{10}{x} $

  Ein Beispiel zum Subtrahieren ungleichnamiger Brüche:
  $ \frac{x}{5} - \frac{8}{6} = \frac{6x}{30} - \frac{40}{30}= \frac{6x-40}{30}$

  Lösung

  Gleichnamige Brüche:

  Brüche mit dem gleichen Nenner können wir addieren oder subtrahieren, indem wir den Nenner beibehalten und die Zähler entsprechend verrechnen.

  $ \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3-2}{5} = \frac{1}{5} $

  Ungleichnamige Brüche:

  Wenn die Brüche nicht den gleichen Nenner besitzen, müssen wir sie gleichnamig machen. Das heißt, wir bringen sie durch Kürzen oder Erweitern auf den gleichen Nenner und können anschließend die Zähler verrechnen.

  $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6}= \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$

• Entscheide, ob die Rechnungen mit Bruchtermen korrekt sind.

  Tipps

  Wenn die Bruchterme gleichnamig sind, kannst du die Zähler entsprechend verrechnen und den Nenner beibehalten.
  Zum Beispiel: $ \frac{1}{2+x} + \frac{5x}{2+x} = \frac{1+5x}{2+x} $

  Wenn die Bruchterme nicht gleichnamig sind, musst du den Hauptnenner finden (faktorisieren, kürzen und erweitern) und anschließend die Zähler miteinander verrechnen. Zum Beispiel: $ \frac{1}{2x} + \frac{5x}{2x^2} = \frac{x}{2x^2} + \frac{5x}{2x^2} = \frac{6x}{2x^2} $

  Die erste binomische Formel lautet $ (a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2 $.

  Lösung

  Diese Rechnungen sind korrekt:

  $ \dfrac{3x-14}{x^2+7} + \dfrac{28}{x^2+7} = \dfrac{3x-14+28}{x^2+7} = \dfrac{3x+14}{x^2+7}$
  Bei dieser Aufgabe sind die Nenner gleichnamig und werden deshalb beibehalten. Nur die Zähler werden addiert. Du musst darauf achten, dass alle Terme vollständig verrechnet werden.

  
  

  $\dfrac{3}{x+2} - \dfrac{3x+6}{x^2+4x+4} = \dfrac{3}{x+2} - \dfrac{3 (x+2)}{(x+2)^{2}} = \dfrac{3}{x+2} - \dfrac{3 (x+2)}{(x+2)\cdot(x+2)}$

  $\quad= \dfrac{3}{x+2} - \dfrac{3}{x+2} = \dfrac{3-3}{x+2} = 0$
  Da bei dieser Aufgabe die Nenner nicht gleichnamig sind, musst du zunächst mithilfe der ersten binomischen Formel den zweiten Nenner faktorisieren. Anschließend kannst du kürzen und erhältst den Hauptnenner. Dann werden die Zähler subtrahiert und der Nenner wie gewohnt beibehalten.

  
  

  $ \dfrac{1}{x^2-x} + \dfrac{5x}{x-1} = \dfrac{1}{x(x-1)} + \dfrac{5x}{x-1} = \dfrac{1}{x(x-1)} + \dfrac{5x^2}{x(x-1)} = \dfrac{1+5x^2}{x(x-1)} $
  Hier kann der erste Nenner faktorisiert werden. Anschließend erweitern wir den zweiten Bruch mit $x$, um die Brüche gleichmanig zu machen. Dann werden die Zähler addiert.

  
  

  Dieser Bruchterm wurde nicht richtig berechnet. Wir korrigieren:

  $ \dfrac{6}{5x^2-x} + \dfrac{4x}{25x-5} = \dfrac{6}{x(5x-1)} + \dfrac{4x}{5(5x-1)} = \dfrac{6 \cdot 5}{5x(5x-1)} + \dfrac{4x \cdot x}{5x(5x-1)} = \dfrac{30+4x^2}{5x(5x-1)}$
  Bei dieser Aufgabe wurde zwar der Hauptnenner richtig gebildet, allerdings wurden die Zähler nicht korrekt verrechnet. Das Vorzeichen wurde verwechselt und das $x^2$ vergessen.