Gebrochenrationale Terme vereinfachen
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Grundlagen zum Thema Gebrochenrationale Terme vereinfachen
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, gebrochenrationale Terme zu vereinfachen.
Zunächst lernst du, wie du gebrochenrationale Terme mithilfe des Kürzens vereinfachen kannst. Anschließend lernst du, wie dir faktorisieren beim Vereinfachen helfen kannst. Abschließend lernst du, wie du die binomischen Formeln bei der Vereinfachung der Terme verwenden kannst.
Lerne etwas über das Vereinfachen von gebrochenrationalen Termen.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie gebrochenrationale Terme, Kürzen, Faktorisieren und binomische Formeln.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du Brüche vereinfachst und wie du faktorisieren kannst.
Transkript Gebrochenrationale Terme vereinfachen
Auf dem Jahresabschlussball der Main North Middle School grassieren einige schwere Fälle akuter Schüchternheit. Alle Jungen stehen auf der einen Seite der Cafeteria, während die Mädchen auf der anderen Seite herumsitzen. Das ist Molly. Sie ist etwas kompliziert und hofft, dass Bender sie zum Tanz auffordern wird. Bender ist der Bursche hier. Er steht total auf Molly. Aber er meint, dass Mädchen zu kompliziert und schwer zu verstehen sind. Glücklicherweise hat sein Freund Brian Erfahrung damit, gebrochenrationale Terme zu vereinfachen. Er hilft ihm als Wingman. Schauen wir uns mal an, was Bender an Molly so verwirrt. Es ist ein gebrochenrationaler Term. Er sieht aus wie ein Bruch, aber nicht vergessen, ein Bruchstrich steht auch für ein Geteiltzeichen. 32x2 geteilt durch 24x. Es hilft, den größten gemeinsamen Teiler für den Zähler und für den Nenner zu bestimmen. Für den Zähler gilt: 8 mal 4 ist 32 und x mal x ist x Quadrat. Die 24 im Nenner können wir als 8 mal 3 schreiben. Jetzt kommt der spaßige Teil. Um zu vereinfachen, müssen wir einfach die Faktoren kürzen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. Wenn du einen Punkt erreichst, an dem du nichts mehr kürzen kannst, bist du fertig. Du kannst Terme auch vereinfachen, indem du sie in passende Binome zerlegst. Der Zähler lässt sich nicht vereinfachen. Können wir den Term im Nenner vielleicht faktorisieren? Bender würde gerne die -5 ausklammern, aber er erinnert sich daran, dass man keine Zahlen ausklammern kann, die zu einer Variablen addiert oder von ihr subtrahiert werden. Man kann nur Faktoren ausklammern, die in jedem Term der Klammer vorkommen. Du kannst alle Terme kürzen, die sich sowohl im Zähler als auch im Nenner finden, denn jede Zahl ergibt geteilt durch sich selbst 1. Bender fühlt sich schon sicherer. Er will einen anderen Term ausprobieren. Mollys Term sieht schwierig aus, aber Bender ist davon überzeugt, alles zu wissen, was er braucht, um das Ding zu knacken also den Term natürlich. Im Zähler steht ein Binom, im Nenner ein Trinom. Bender geht wieder so vor, wie Brian es ihm gezeigt hat. Bender erkennt einen größten gemeinsamen Teiler im Zähler und einen anderen im Nenner. Als Erstes klammerst du den GGT im Zähler und den im Nenner aus. Der Zähler sieht für den Moment in Ordnung aus. Als Nächstes faktorisierst du den Term im Nenner. 6 kann man in die Faktoren 2 und 3 zerlegen. Bender kürzt alle Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen, denn jeder Faktor ergibt geteilt durch sich selbst 1. Das gilt auch für Polynome. Bender versteht jetzt, wie man gebrochenrationale Terme vereinfacht. Er fühlt sich super und das Selbstvertrauen tropft ihm aus jeder Pore. Jetzt, da Bender weiß, wie man gebrochenrationale Terme vereinfacht, glaubt er, dass er auch Mädchen verstehen kann. Also fordert er Molly auf. Es gibt nur ein Problem: Er kann gar nicht tanzen. Sorry, Bender. Damit können wir dir leider nicht helfen.
Gebrochenrationale Terme vereinfachen Übung
-
Vereinfache den gebrochenrationalen Term.
TippsFaktorisieren bedeutet, dass ein Term in mehrere Faktoren zerlegt wird. $12$ kannst du unter anderem zu $4\cdot 3$ oder $2\cdot 2\cdot 3$ faktorisieren.
Beim Faktorisieren ist es oft hilfreich, eine binomische Formel zu verwenden. Die zweite binomische Formel lautet:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
LösungDie Rechnung kannst du so ordnen:
Der Zähler des Terms $\frac{x-5}{x^2-10x+25}$ ist bereits vereinfacht.
Also muss nur noch der Nenner faktorisiert werden. Dann ergibt sich folgender gebrochenrationaler Term mit faktorisiertem Nenner:
- $=\dfrac{x-5}{(x-5)(x-5)}$.
Diese Formel kannst du rückwärts auf den Nenner des gegebenen Terms anwenden. Dabei gilt $x=a$ und $5=b$ und es folgt:- $x^2-10x+25=(x-5)^2=(x-5)\cdot(x-5)$.
Nach der Faktorisierung kannst du den Faktor $x-5$ kürzen, denn dieser Faktor kommt im Nenner und Zähler des Bruchs vor.
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Vereinfache den gebrochenrationalen Term.
TippsDer größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl oder der größte Term, durch den zwei oder mehrere Zahlen oder Terme teilbar sind.
Hast du den größten gemeinsamen Teiler im Nenner und Zähler eines Bruchs bestimmt und ausgeklammert, kannst du den Bruch durch ihn kürzen.
LösungDen Lückentext kannst du so vervollständigen:
„Um den Term zu vereinfachen, muss er zuerst einen größten gemeinsamen Teiler finden. Dazu faktorisiert er den Nenner und Zähler des Bruchs. (...)“
- Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl oder der größte Term, durch den zwei oder mehrere Zahlen oder Terme teilbar sind. Hast du ihn in Nenner und Zähler eines Bruchs bestimmt und ausgeklammert, kannst du den Bruch durch ihn kürzen.
- Multiplizierst du diesen Term aus, erhältst du wieder $x^2+13x+42$.
- Der größte gemeinsame Teiler ist also $2(x+7)$.
-
Erschließe den vereinfachten gebrochenrationalen Term.
TippsZu Beginn ist es immer hilfreich, den größtmöglichen Faktor in Zähler und Nenner auszuklammern. Anschließend kannst du weiter faktorisieren.
Nachdem Nenner und Zähler faktorisiert sind, kannst du gleiche Faktoren im Nenner und Zähler streichen.
LösungDie Rechnung wird in dieser Reihenfolge durchgeführt:
Zuerst klammert sie die größtmöglichen Faktoren in Zähler und Nenner aus: $\frac{3(x^2-25)}{2x(x^2+10x+25)}$.
Zu Beginn ist es immer hilfreich, den größtmöglichen Faktor in Zähler und Nenner auszuklammern. Anschließend kannst du weiter faktorisieren.
Dann faktorisiert sie den Zähler weiter: $\frac{3(x-5)(x+5)}{2x(x^2+10x+25)}$.
Nachdem der Zähler vollständig faktorisiert ist, muss sie noch den Nenner weiter faktorisieren: $\frac{3(x-5)(x+5)}{2x(x+5)(x+5)}$.
Nach dem Faktorisieren kürzt sie den gebrochenrationalen Term zu: $\frac{3(x-5)}{2x(x+5)}$.
Nachdem Nenner und Zähler faktorisiert sind, kannst du gleiche Faktoren im Nenner und Zähler streichen.
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Ermittle die vereinfachte Form des gebrochenrationalen Terms.
TippsUm den Term zu vereinfachen, musst du zuerst den größtmöglichen Faktor im Nenner und Zähler ausklammern.
Im Anschluss faktorisierst du Nenner und Zähler so weit wie möglich und kürzt gleiche Faktoren.
LösungUm den Term zu vereinfachen, musst du zuerst den größtmöglichen Faktor aus Nenner und Zähler ausklammern. Dann faktorisierst du Nenner und Zähler so weit wie möglich. Zuletzt kürzt du. Hierzu schauen wir uns folgenden gebrochenrationalen Term an:
$\begin{array}{llll} \dfrac{8x^2+32x}{2x^4+16x^3+32x^2}&=\dfrac{8x(x+4)}{2x^2(x^2+8x+16)} \\ &=\dfrac{8x(x+4)}{2x^2(x+4)(x+4)} \\ &=\dfrac{4}{x(x+4)} \\ &=\dfrac{4}{x^2+4x} \\ \end{array}$
Hier wurde zum Faktorisieren des Terms $x^2+8x+16$ die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ mit $a=x$ und $b=4$ verwendet.
Nun betrachten wir folgendes Beispiel:
$\begin{array}{llll} \dfrac{8x^3-72x}{8x^2-24x}&=\dfrac{8x(x^2-9)}{8x(x-3)}\\ &=\dfrac{8x(x-3)(x+3)}{8x(x-3)}\\ &=(x+3)\\ \end{array}$
Hier wurde die dritte binomische Formel $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ mit $a=x$ und $b=3$ verwendet.
Die anderen gebrochenrationalen Terme kannst du analog bestimmen. Dann ergibt sich:
- $\dfrac{8x^2-32x}{12x^3-8x^2}=\dfrac{2x-8}{3x^2-2x}$
- $\dfrac{9x^4-15x^2}{9x^4+32x^3-12x^2}=\dfrac{3x^2-5}{3x^2+8x-4}$
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu gebrochenrationalen Termen.
TippsEine Variable ist nur ein Platzhalter für eine Zahl. Beim Rechnen kannst du Variablen wie eine Zahl behandeln.
Zahlen, die im Nenner und Zähler eines Bruchs vorkommen, kannst du kürzen, weil du in diesem Fall eine Zahl durch sich selbst teilst. Das ergibt immer $1$.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Zahlen, die zu einer Variablen addiert oder subtrahiert werden, kannst du ausklammern.“
- Du kannst nur Zahlen ausklammern, die als Faktor in allen Teilen einer Addition oder Subtraktion vorkommen. Zum Beispiel: $2x+6y=2x+2\cdot 3y=2(x+3y)$
„Auch wenn Variablen als Faktor im Nenner und Zähler des Bruchs vorkommen, können sie nicht gekürzt werden.“
- Wie Zahlen können Variablen oder Terme gekürzt werden, wenn sie als Faktor im Nenner und Zähler des Bruchs vorkommen.
„Um gebrochenrationale Terme zu vereinfachen, musst du den Bruch kürzen.“
„Um gebrochenrationale Terme vollständig zu vereinfachen, musst du den größten gemeinsamen Teiler des Nenners und Zählers finden.“
„Du kannst Zahlen oder Terme kürzen, die als Faktor im Nenner und im Zähler des Bruchs vorkommen.“
-
Ermittle, ob der Term korrekt vereinfacht wurde.
TippsBeim Faktorisieren ist es manchmal hilfreich, die dritte binomische Formel zu verwenden:
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
LösungBei diesen Termen wurden Fehler gemacht:
- $\frac{x^2-y^2}{8x^2-8xy}\neq\frac{1+x}{4}$
$\begin{array}{llll} \frac{x^2-y^2}{8x^2-8xy} &=\frac{(x+y)(x-y)}{8x(x-y)} \\ &=\frac{(x+y)}{8x} \end{array}$
Hier wurde die dritte binomische Formel angewandt:
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
- $\frac{9x(x^2-y^2)}{18xy(x^2-2xy+y^2)}\neq\frac{x-y}{2(x+y)}$
$\begin{array}{llll} \frac{9x(x^2-y^2)}{18xy(x^2-2xy+y^2)} &=\frac{9x(x-y)(x+y)}{18xy(x-y)(x-y)} \\ &=\frac{(x+y)}{2y(x-y)} \\ \end{array}$
Hier wurde außerdem die zweite binomische Formel angewandt:
$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$
Diese Terme wurden korrekt vereinfacht:
- $\frac{3x^2+3xy}{3xy^2+9x^2}=\frac{3x(x+y)}{3x(y^2+3x)}=\frac{x+y}{y^2+3x}$
- $\frac{8xy}{4x}=\frac{4x\cdot 2y}{4x}=2y$
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War gut
Danke dieses Video hat mir sehr geholfen. Unsere Mathelehrerin kann sowas nähmlich nie erklären.
danke team digital
Das Video war gut nur der Ende 😢 ☹ 🙁 😭 😿 😞 😢 ☹ 🙁 😭 😿 😞 😢 ☹ 🙁 🙁 😭 😿 😞 😢 ☹ ich habe es jetzt verstanden.
Aber gutes video :)