Brüche erweitern und kürzen – Übungen

Brüche erweitern und kürzen – Übungen Übung

• Beschreibe, wie man Brüche kürzt und erweitert.

  Tipps

  Beim Erweitern werden Zähler und Nenner größer.
  Beim Kürzen werden Zähler und Nenner kleiner.

  Lösung

  Brüche können wir kürzen und erweitern. Wir betrachten das an zwei Beispielen:

  Beispiel zum Erweitern von Brüchen:
  Wird eine Pizza in $4$ gleich große Stücke geteilt, entspricht jedes Stück $\frac{1}{4}$ der Pizza. Halbiert man jedes der Stücke noch einmal, entspricht jedes so entstandene Stück $\frac{1}{8}$ der Pizza. Was vorher $\frac{1}{4}$ war, ist jetzt in $\frac{2}{8}$ unterteilt. $\frac{1}{4}$ ist also genauso viel wie $\frac{2}{8}$.
  Rechnerisch stellen wir das so dar: Wenn wir bei $\frac{1}{4}$ sowohl den Zähler als auch den Nenner mit $2$ multiplizieren, erhalten wir $\frac{2}{8}$. Beide Brüche haben den gleichen Wert. Wir nennen dies Erweitern.

  Beispiel zum Kürzen von Brüchen:
  Die Tafel Schokolade ist in $20$ Stücke unterteilt. Jede*r soll davon $5$ Stücke bekommen. Das sind $\frac{5}{20}$ der Tafel Schokolade. Wenn wir diese $5$ Stücke zu einer Reihe zusammenfassen, gibt es $4$ solcher $5$er-Reihen. Eine Reihe entspricht also $\frac{1}{4}$ der Tafel Schokolade. Was vorher $\frac{5}{20}$ war, ist nun zu $\frac{1}{4}$ zusammengefasst.
  Wenn wir bei $\frac{5}{20}$ den Zähler und den Nenner durch $5$ dividieren, erhalten wir $\frac{1}{4}$. Beide Brüche haben den gleichen Wert. Wir nennen dies Kürzen.

• Vergleiche die Brüche: größer, kleiner oder gleich?

  Tipps

  Du kannst zwei Brüche vergleichen, indem du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

  Beispiel:

  $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, da $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ und $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$

  Wir müssen nur die Zähler vergleichen:

  $\frac{2}{6} < \frac{3}{6}$

  Lösung

  Wir können zwei Brüche vergleichen, indem wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dazu können wir Brüche erweitern und kürzen. Beim Erweitern multiplizieren wir Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl. Beim Kürzen dividieren wir Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

  Beispiel 1: $\frac{5}{20}$ und $\frac{1}{4}$

  Wir können $\frac{5}{20}$ kürzen:

  $\frac{5:5}{20:5} = \frac{1}{4}$

  Die beiden Brüche sind also wertgleich:

  $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

  Beispiel 2: $\frac{3}{4}$ und $\frac{4}{5}$

  Wir erweitern die beiden Brüche so, dass sie den Nenner $20$ haben:

  $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$ und $\frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20}$

  Nun müssen wir nur noch die Zähler vergleichen und erkennen:

  $\frac{15}{20} < \frac{16}{20}$

  Es gilt also:

  $\frac{3}{4} < \frac{4}{5}$

  Beispiel 3: $\frac{4}{10}$ und $\frac{2}{5}$

  Wir können $\frac{4}{10}$ kürzen:

  $\frac{4:2}{10:2} = \frac{2}{5}$

  Die beiden Brüche sind also wertgleich:

  $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

• Gib den vollständig gekürzten Bruch an.

  Tipps

  Beim Kürzen dividieren wir den Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl: Erst wenn es keinen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner mehr gibt, ist der Bruch vollständig gekürzt.

  Beispiel:

  $\frac{30}{45} = \frac{30:15}{45:15} = \frac{2}{3}$

  Denke daran, den Bruch vollständig zu kürzen:

  $\frac{24}{42}$ kann man mit $2$ zu $\frac{12}{21}$ kürzen, aber auch dieser Bruch ist noch weiter kürzbar.

  Lösung

  Wir können Brüche kürzen, indem wir Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren: Erst wenn es keinen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner mehr gibt, ist der Bruch vollständig gekürzt.

  Wir kürzen die Brüche:

  Beispiel 1:
  $\frac{12}{18} = \frac{12:6}{18:6}= \frac{2}{3}$

  Beispiel 2:
  $\frac{8}{18} = \frac{8:2}{18:2} = \frac{4}{9}$

  Beispiel 3:
  $\frac{24}{42} = \frac{24:6}{42:6} = \frac{4}{7}$

  Beispiel 4:
  $\frac{8}{56} = \frac{8:8}{56:8} = \frac{1}{7}$

  Denke daran, den Bruch vollständig zu kürzen.
  Beispielsweise kann man $\frac{24}{42}$ mit $2$ zu $\frac{12}{21}$ kürzen, aber auch dieser Bruch ist noch weiter kürzbar.

• Beschreibe die Situation mathematisch.

  Tipps

  Beim Erweitern werden Zähler und Nenner größer. Es gibt also mehr Teile.
  Beim Kürzen werden Zähler und Nenner kleiner. Es gibt also weniger Teile.

  Lösung

  Brüche können wir erweitern und kürzen. Beim Erweitern multiplizieren wir Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl. Beim Kürzen dividieren wir Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

  Wir schauen uns die Beispiele an:

  Beispiel 1:

  • Der Inhalt einer Tüte Bonbons ist in zwölf Haufen aufgeteilt. Sara legt immer zwei dieser Haufen zusammen, sodass insgesamt nur noch sechs Haufen entstehen.

  Ursprünglich entspricht jeder Haufen $\frac{1}{12}$ der Bonbontüte. Aus zwei Haufen, also $\frac{2}{12}$, macht Sara $\frac{1}{6}$. Durch das Zusammenfassen je zweier Haufen gibt es nur noch $6$ Haufen. Jeder Haufen entspricht dann $\frac{1}{6}$ der Tüte. Der Bruch wird demnach mit $2$ gekürzt:
  $\frac{2:2}{12:2} = \frac{1}{6}$

  Beispiel 2:

  • Ein Drittel einer ganzen Torte wird in vier gleich große Stücke geschnitten.

  Durch das Teilen des Tortenstücks entstehen vier kleinere Stücke, wir schreiben den Anteil statt als $\frac{1}{3}$ nun als $\frac{4}{12}$. Der Bruch wird also mit $4$ erweitert:
  $\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$

  Beispiel 3:

  • Eine Tafel Schokolade ist in fünf gleich große Teile geteilt. Jedes Teil wird nochmals gedrittelt.

  Durch das Teilen der Schokolade entstehen $15$ Stücke. Davon enthält einer der ursprünglichen Teile $3$ Stücke. Wir schreiben den Anteil also als $\frac{3}{15}$. Der Bruch wird somit mit $3$ erweitert:
  $\frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$

  Beispiel 4:

  • Beim Staffellauf ist die Strecke in vier gleich große Teile geteilt. Konstantin teilt sich seine Strecke mit seinem Bruder: Jeder läuft die Hälfte.

  Durch das Teilen der Strecke läuft jeder der beiden $\frac{1}{8}$ der Strecke. Zusammen laufen sie $\frac{2}{8}$ der Strecke. Der Bruch wird also mit $2$ erweitert:
  $\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$

• Gib an, mit welcher Zahl erweitert oder gekürzt wurde.

  Tipps

  Beim Erweitern multiplizieren wir Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl. Beim Kürzen dividieren wir Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

  $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

  Kürzungszahl: $3$

  Lösung

  Brüche können wir erweitern und kürzen. Beim Erweitern multiplizieren wir Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl. Beim Kürzen dividieren wir Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

  Wir schauen uns die Beispiele an:

  Beispiel 1:

  $\frac{4}{6} = \frac{4:2}{6:2} = \frac{2}{3}$

  Hier wurden Zähler und Nenner durch $2$ dividiert, die Kürzungszahl ist also $2$.

  Beispiel 2:

  $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{12}{28}$

  In diesem Beispiel wurden Zähler und Nenner mit $4$ multipliziert, die Erweiterungszahl ist also $4$.

  Beispiel 3:

  $\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{55}{99}$

  Hier wurden Zähler und Nenner mit $11$ multipliziert, die Erweiterungszahl ist also $11$.

  Beispiel 4:

  $\frac{6}{18} = \frac{6:6}{18:6} = \frac{1}{3}$

  Im letzten Beispiel wurden Zähler und Nenner durch $6$ dividiert, die Kürzungszahl ist also $6$.

• Ordne die Brüche von klein nach groß.

  Tipps

  Bringe zunächst alle Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner. Du kannst diesen ermitteln, indem du das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmst.

  Ein geeigneter Hauptnenner ist $24$.

  Wenn du alle Brüche so erweitert hast, dass sie $24$ als Nenner haben, musst du nur noch die Zähler vergleichen.

  Lösung

  Um die Brüche ordnen zu können, erweitern wir sie auf einen gemeinsamen Hauptnenner.

  Wir wählen als Hauptnenner $24$, da dies das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von den Nennern $2$, $3$, $6$, $8$ und $24$ ist:

  $\text{kgV}(2, 3, 6, 8, 24) = 24$

  • $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24}$
  • $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{18}{24}$
  • $\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24}$
  • $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$
  • $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$
  • $\frac{19}{24}$

  Wir können nun die Brüche sortieren, indem wir sie nach den Zählern ordnen:

  $\frac{3}{24} < \frac{9}{24} < \frac{12}{24} < \frac{18}{24} < \frac{19}{24} < \frac{20}{24}$

  Mit den nicht erweiterten Brüchen ergibt sich also:

  $\frac{1}{8} < \frac{3}{8} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{19}{24} < \frac{5}{6}$