Gemeine Brüche in gemischte Brüche umwandeln
Unechte Brüche und gemischte Zahlen umwandeln: So geht's! Entdecke, wie du unechte Brüche in gemischte Zahlen umrechnest und umgekehrt. Erkläre die grundlegenden Prinzipien hinter Brüchen und erhalte Schritt-für-Schritt-Erklärungen mit praktischen Beispielen. Interessiert? Mehr dazu im Text und begleitenden Video!
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Grundlagen zum Thema Gemeine Brüche in gemischte Brüche umwandeln
Einführung: Umrechnen von Brüchen
Es gibt verschiedene Arten von Brüchen. So zum Beispiel die unechten Brüche oder die gemischten Zahlen. Aber kann man unechte Brüche in gemischte Zahlen und andersherum umwandeln? Ja, und wie genau man gemischte Zahlen in unechte Brüche und unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandelt, wird in diesem Text einfach erklärt.
Was sind Brüche? – Wiederholung
Eine ausführliche Erklärung zu Brüchen findest du in dem Video Was sind Brüche?. Fassen wir das noch einmal kurz zusammen.
- Brüche werden zum Beschreiben von Anteilen verwendet. Sie bestehen aus drei Komponenten.
- Der Zähler ist die obere Zahl eines Bruchs, er zählt die Teile.
- Die untere Zahl ist der Nenner, er benennt die Art der Teile.
- Zwischen den beiden Zahlen befindet sich der Bruchstrich. Dieser entspricht einem Geteiltzeichen.
Was sind echte Brüche?
Echte Brüche sind Brüche, bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist. Ihr Wert ist also kleiner als $1$.
Zum Beispiel:
$\dfrac{5}{7}$
Was sind unechte Brüche?
Unechte Brüche, oder auch gemeine Brüche genannt, sind Brüche, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist. Ihr Wert ist größer als $1$.
Zum Beispiel:
$\dfrac{5}{4}$
Was ist beim Bruch eine gemischte Zahl?
Wir könnten auch fragen: Und was ist ein gemischter Bruch? Gemischte Zahlen, auch gemischte Brüche genannt, bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Wir können uns zwischen der ganzen Zahl und dem Bruch ein Pluszeichen denken.
Zum Beispiel:
$1\,\dfrac{1}{4} = 1 + \dfrac{1}{4}$
Unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln – Erklärung
Schauen wir uns nun an, wie wir einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umwandeln können. Dafür betrachten wir den Bruch $\frac{20}{12}$. Wir sehen, dass der Zähler größer ist als der Nenner. Es handelt sich also um einen unechten Bruch. Kürzen wir den Bruch zunächst, so ist die Umwandlung leichter. Sowohl Zähler als auch Nenner sind durch $4$ teilbar. Wir erhalten:
$\dfrac{20}{12} = \dfrac{20:4}{12:4} = \dfrac{5}{3}$
Um den Bruch umzuwandeln, schreiben wir ihn nun in eine Division um. Da der Bruchstrich einem Geteiltzeichen entspricht, teilen wir $5$ durch $3$ und erhalten:
$5 : 3 = 1\, \text{Rest}\,2$
Um das nun als gemischte Zahl zu schreiben, ziehen wir das Ergebnis $1$ vor den Bruch. Der Rest $2$ bleibt als Zähler stehen. Der Nenner bleibt gleich, da wir durch $3$ geteilt haben. Also entspricht unser unechter Bruch der gemischten Zahl:
$\dfrac{5}{3} = 1\,\dfrac{2}{3}$
Zunächst überlegen wir also, wie oft der Zähler in den Nenner passt. Dann nehmen wir diesen Teil aus dem Bruch heraus und schreiben ihn als ganze Zahl vor den Bruch. Der Rest bleibt im Zähler des Bruchs stehen.
Kann man auch echte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln?
Nein, das funktioniert nicht. Da eine gemischte Zahl aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht, ist sie stets größer als $1$. Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner, somit erhalten wir bei der Division eine $0$, der Wert ist immer kleiner als $1$. Daher lässt sich ein echter Bruch nicht als gemischte Zahl schreiben.
Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln – Erklärung
Betrachten wir nun die gemischte Zahl $2\,\frac{5}{12}$. Um diese gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, können wir die ganze Zahl zunächst als Bruch schreiben. Die Zahl $2$ entspricht dem Bruch $\frac{2}{1}$. Da es sich bei gemischten Zahlen um eine Addition der ganzen Zahl mit dem Bruch handelt, müssen wir den Bruch $\frac{2}{1}$ und den Bruch $\frac{5}{12}$ nun addieren. Dafür benötigen sie zunächst den gleichen Nenner. Es bietet sich der Nenner des echten Bruchs an. Wir erweitern den Bruch $\frac{2}{1}$ mit $12$ und erhalten:
$\dfrac{24}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{29}{12}$
Somit entspricht die gemischte Zahl dem unechten Bruch $\frac{29}{12}$.
$2\,\dfrac{5}{12} = \dfrac{29}{12}$
Um einen Zwischenschritt zu sparen, kannst du direkt die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs multiplizieren: $2 \cdot 12$. Dieses Produkt addierst du dann zum Zähler des Bruchs. So erhältst du schnell den umgewandelten unechten Bruch:
$2\,\dfrac{5}{12} = \dfrac{2 \cdot 12 + 5}{12} = \dfrac{24 + 5}{12} = \dfrac{29}{12}$
Zusammenfassung: gemischte Zahlen und unechte Brüche ineinander umwandeln
Wie rechne ich unechte Brüche in gemischte Zahlen um?
- Bruch als Division schreiben
- Ganze Zahl aus dem Ergebnis ist die ganze Zahl des gemischten Bruchs.
- Der Rest ist der Zähler des Bruchs im gemischten Bruch.
- Der Nenner wird aus dem unechten Bruch übernommen.
Wie rechne ich gemischte Zahlen in unechte Brüche um?
- Ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchs multiplizieren
- Das Produkt in den Zähler des Bruchs schreiben und mit dem vorhandenen Zähler addieren
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln.
Transkript Gemeine Brüche in gemischte Brüche umwandeln
Die zwei Hamster Flip und Flop streiten sich mal wieder um die Aufteilung ihrer Schokolade. Flap muss wie immer zwischen den beiden vermitteln. Flip hat zwei ganze Tafeln und ein paar Stücke und Flop hat nur kleinere Stücke. Man kann diese Anteile als Brüche darstellen. Und damit wir vergleichen können wer von Ihnen mehr hat, müssen wir Brüche in gemischte Brüche umwandeln können und umgekehrt. Wiederholen wir dazu doch zunächst einmal, was Brüche überhaupt sind. Wir verwenden sie zur Beschreibung von Anteilen. Ein Bruch besteht aus drei Komponenten. Die obere Zahl eines Bruchs nennen wir Zähler. Der Zähler "zählt" die Teile, die wir beschreiben. Die untere Zahl des Bruchs ist der Nenner. Der Nenner benennt die Art eines Anteils. Zähler und Nenner werden durch den Bruchstrich voneinander getrennt. Der Bruchstrich entspricht einem Geteilt-Zeichen. Wir wollen uns nun speziell mit unechten und gemischten Brüchen beschäftigen. Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist. Das heißt, dass wir mehr Teile haben als das gesamte, weil der Nenner das Gesamte angibt, auf das man sich im Bruch bezieht. Ein gemischter Bruch ist eine Addition aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Hier können wir direkt an der ganzen Zahl erkennen, dass dies zusammen mit dem Bruch mehr als ein Ganzes ist. Zurück zu der Schokolade, die die Hamster aufteilen wollen. Jede Schokolade besteht aus 12 Teilen. Ein Stück ist also ein Zwölftel der ganzen Schokolade. Flop hat 16 Stücke Schokolade. Wir können das also als 16 Zwölftel schreiben. Da dies ein unechter Bruch ist, können wir ihn in einen gemischten Bruch umwandeln. Es ist immer einfacher, wenn man den Bruch zunächst kürzt. Das sind 4 Drittel. Nun schreiben wir den Bruch in eine Division um, rechnen also 4 geteilt durch 3. Wir erhalten 1 und als Rest 1. Wir haben also eine ganze Tafel Schokolade und 1 Stück und dies können wir als Ein 1 Drittel schreiben. Den Nenner behalten wir bei, denn wir haben ja auch durch 3 geteilt. Wir überlegen uns also immer, wie oft der Zähler in den Nenner passt. Dann nehmen wir diese Teile aus dem Bruch heraus und schreiben sie als eine Ganze Zahl. Der Rest bleibt dann im Zähler des Bruchs stehen. Flop hat also 1 ganze Tafel Schokolade und 4 Stücke. Flip hat zwei ganze Schokoladen und fünf Teile. Wir können dies also als 2 5/12 darstellen. Wollen wir das nun in einen unechten Bruch umwandeln, können wir die ganze Zahl erst als Bruch schreiben. 2 ist dasselbe wie zwei Eintel. Wollen wir diesen Bruch und 5 Zwölftel addieren, müssen wir sie zunächst auf den gleichen Nenner bringen. Dafür bietet sich immer der Nenner des echten Bruchs an. Wir erweitern also mit 12 und erhalten 24 Zwölftel. Jetzt können wir wie gewohnt addieren. Wir addieren also die Zähler und behalten den Nenner bei. Zwei 5 Zwölftel sind also das gleiche wie 29 Zwölftel. Kürzen wir diesen Bruch noch, so erhalten wir sieben Drittel. Du hast gesehen, dass wir die ganze Zahl hier mit dem Nenner des Bruchs multipliziert haben. Du kannst dir also merken, dass du die ganze Zahl des gemischten Bruchs mit dem Nenner des Bruchs multiplizierst und dann mit dem Zähler addierst. Während die Hamster weiter ihre Schokolade aufteilen, fassen wir zusammen. Möchtest du einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln, so schreibst du den Bruch zunächst als Division. Die ganze Zahl, die dann herauskommt, ist die ganze Zahl des gemischten Bruchs. Den Rest schreibst du dann in den Zähler. Der Nenner bleibt gleich. Möchtest du einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln, so schreibst du die ganze Zahl als einen Bruch erweiterst ihn und addierst beide Brüche. Und die Hamster? Sind sie jetzt zufrieden? Oh! Wo ist denn die ganze Schokolade jetzt hin?
Gemeine Brüche in gemischte Brüche umwandeln Übung
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Bestimme die Umwandlung des gemischten Bruchs in einen gemeinen Bruch.
TippsErweitere die ganze Zahl eines gemischten Bruches mit dem Nenner des Bruches.
Hier ist eine Beispielrechnung:
$ 2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} $
LösungEin gemischter Bruch setzt sich aus einer ganzen Zahl (hier $2$) und einem echten Bruch (hier $\frac 5{12}$) zusammen. Man schreibt die beiden Zahlen direkt nebeneinander (hier $2\frac 5{12}$) und meint damit, dass sich die Zahl insgesamt aus dem jeweiligen Ganzen und dem Bruch zusammensetzt. Man addiert also diese beiden Teile, wenn man einen gemeinen Bruch erhalten möchte.
Um einen gemischten Bruch in einen gemeinen bzw. unechten Bruch zu verwandeln, kannst du zuerst die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruches erweitern. Du erhältst dann zwei Brüche mit demselben Nenner. Du kannst sie addieren, indem du die Zähler addierst und den Nenner beibehältst.
Damit erhältst du folgende Rechnung:
$2\dfrac 5{12}=2+\dfrac 5{12}=\dfrac {2}{1}+\dfrac 5{12}=\dfrac{2\cdot 12}{1\cdot 12}+\dfrac 5{12}=\dfrac{24}{12}+\dfrac5{12}=\dfrac{24+5}{12}=\dfrac{29}{12}$
-
Vergleiche die Brüche.
TippsDu kannst einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln, indem du die ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner $1$ schreibst, mit dem Nenner des gegebenen Bruches erweiterst und die beiden Brüche addierst.
Verwende bei der Darstellung als gemischten Bruch immer gekürzte Brüche.
Hier ist eine Beispielrechnung:
$3\frac{4}{5} = \frac{3}{1} + \frac{4}{5} = \frac{15}{5} + \frac{4}{5} = \frac{19}{5}$
LösungAus einem unechten Bruch kannst du einen gemischten Bruch machen, indem du den Zähler durch den Nenner mit Rest dividierst. Die Anzahl, wie oft der Nenner in dem Zähler vorkommt, ist die ganze Zahl des gemischten Bruches. Der verbleibende Bruch in der Darstellung als gemischter Bruch besteht aus dem Rest der Division als Zähler und dem ursprünglichen Nenner als Nenner. Diesen Bruch kannst du aber ggf. noch kürzen. Um die Division zu vereinfachen, ist es nützlich, den unechten Bruch vor der Division zu kürzen.
So erhältst du folgende Gleichungen:
- $\frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$, denn $5:4 = 1$ Rest $1$
- $\frac{16}{12} = 1\frac{1}{3}$, denn $\frac{16}{12} = \frac{4}{3}$ und $4:3 = 1$ Rest $1$
- $\frac{29}{12} = 2\frac{5}{12}$, denn $29:12 = 2$ Rest $5$
- $\frac{24}{12} = 2$, denn $24:12 = 2$
-
Vergleiche die Brüche.
TippsDividiere den Zähler eines unechten Bruches durch den Nenner, um den zugehörigen gemischten Bruch zu bestimmen.
Der Quotient der Division Zähler : Nenner ist die ganze Zahl des gemischten Bruches, der Divisor ist der Nenner des (ungekürzten) Bruches.
Hier ist ein Beispiel:
$\frac{23}{7} = 3 \frac{2}{7}$, denn $23:7 = 3$ Rest $2$
LösungDu kannst jeden unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln, indem du den Zähler durch den Nenner dividierst. Der Quotient ist die ganze Zahl des gemischten Bruches, der Divisor ist der Nenner und der Rest ist der Zähler des Bruches in dem gemischten Bruch.
Zur Probe kannst du umgekehrt den gemischten Bruch zu einem unechten Bruch erweitern, indem du die ganze Zahl mit dem Nenner erweiterst und die beiden Brüche addierst.
So findest du folgende Zuordnungen:
- $3\frac{4}{5} = \frac{19}{5}$, denn $3\frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5}{1 \cdot 5} + \frac{4}{5} = \frac{15+4}{5} = \frac{19}{5}$
- $2\frac{5}{7} = \frac{19}{7}$, denn $19:7 = 2$ Rest $5$
- $5\frac{4}{7} = \frac{39}{7}$, denn $5\frac{4}{7} = \frac{5 \cdot 7}{1 \cdot 7} + \frac{4}{7} = \frac{35+4}{7} = \frac{39}{7}$
- $9\frac{2}{3} = \frac{29}{3}$, denn $29:3 = 9$ Rest $2$
- $7\frac{1}{4} = \frac{29}{4}$, denn $7\frac{1}{4} = \frac{7 \cdot 4}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4} = \frac{28+1}{4} = \frac{29}{4}$
-
Analysiere die unechten und die gemischten Brüche.
TippsErweitere die ganze Zahl des gemischten Bruches mit dem Nenner des Bruches.
Kürze die gemischten Brüche.
Beispiel:
$1\frac{4}{8} = 1\frac{1}{2}$
Dividiere den Zähler des unechten Bruches durch den Nenner, um die ganze Zahl des gemischten Bruches zu erhalten.
LösungUm die unechten Brüche in gemischte umzuwandeln, kannst du jeweils den Zähler durch den Nenner dividieren. Der Quotient ist die gesuchte ganze Zahl, der Rest der Zähler und der Divisor der Nenner des ungekürzten Bruches.
So erhältst du folgende Gleichungen:
- $\frac{54}{8} = 6\frac{3}{4}$, denn $54:8 = 6$ Rest $6$,also $\frac{54}{8} = 6 \frac{6}{8} = 6 \frac{3}{4}$
- $\frac{50}{6} = 8\frac{1}{3}$, denn $50:6 = 8$ Rest $2$, also $\frac{50}{6} = 8\frac{2}{6} = 8\frac{1}{3}$
Umgekehrt kannst du gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln, indem du die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruches erweiterst und zu dem Bruch addierst.
So erhältst du folgende Gleichungen:
- $3\frac{5}{8} = \frac{29}{8}$, denn $3\frac{5}{8} = \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{5}{8} = \frac{24+5}{8} = \frac{29}{8}$
- $4\frac{7}{9} = \frac{43}{9}$, denn $4\frac{7}{9} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{7}{9} = \frac{36+7}{9} = \frac{43}{9}$
-
Vergleiche die Brüche.
TippsErweitere oder kürze die Brüche, um die Gleichungen zu überprüfen.
Beim Erweitern eines Bruches multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl.
Durch Erweitern mit $3$ wird aus dem Bruch $\frac{2}{5}$ der Bruch $\frac{6}{15}$, denn es gilt:
$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} $
LösungBeim Erweitern eines Bruches multiplizierst du Zähler und Nenner des Bruches mit derselben Zahl. Dadurch ändert sich das Verhältnis von Zähler und Nenner (und daher der Bruchteil, den der Bruch beschreibt) nicht. Umgekehrt kannst du einen Bruch kürzen, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividierst.
Folgende Gleichungen sind richtig:
- $\frac{16}{12} = \frac{4}{3}$, denn $\frac{16}{12} = \frac{4 \cdot 4 }{3 \cdot 4} = \frac{4}{3}$ (durch Kürzen mit $4$)
- $\frac{5}{4} = \frac{10}{8}$, denn $\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{10}{8}$ (durch Erweitern mit $2$)
- $\frac{5}{3} = \frac{20}{12}$, denn $\frac{5}{3} =\frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6} = \frac{10 \cdot 2}{6 \cdot 2}= \frac{20}{12}$ (durch zweimaliges Erweitern mit $2$)
Folgende Gleichungen sind falsch:
- $\frac{20}{12} \neq \frac{10}{3}$, denn $\frac{20}{12} = \frac{5}{3} \neq \frac{10}{3}$ (durch Kürzen mit $4$)
- $\frac{5}{4} \neq \frac{4}{5}$, denn $\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{25}{20}$ (durch Erweitern mit $5$), aber $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20}$ (durch Erweitern mit $4$)
-
Prüfe die Gleichungen.
TippsWandle jeweils beide Seiten einer Gleichung in einen unechten oder gemischten Bruch um.
LösungFolgende Gleichungen sind richtig:
- $\frac{23}{8} = 3\frac{1}{2} - \frac{5}{8}$, denn auf der rechten Seite erhältst du $3\frac{1}{2} - \frac{5}{8} = \frac{7}{2} - \frac{5}{8} = \frac{28}{8} - \frac{5}{8} = \frac{23}{8} $
- $\frac{19}{7} = 4 - \frac{9}{7}$, denn durch Erweitern mit $7$ erhältst du für die rechte Seite $4 - \frac{9}{7} = \frac{28}{7} - \frac{9}{7} = \frac{19}{7}$
- $2\frac{3}{5} + 3\frac{2}{3} = \frac{94}{15}$, denn durch Erweitern und Zusammenfassen der gemischten Brüche auf der rechten Seite erhältst du $2\frac{3}{5} + 3\frac{2}{3} = \frac{13}{5} + \frac{11}{3} = \frac{39}{15} + \frac{55}{15} = \frac{94}{15} (= 6 \frac{4}{15})$
Folgende Gleichungen sind falsch:
- $\frac{19}{5} \neq \frac{8}{10} + \frac{14}{5}$, denn auf der rechten Seite erhältst du $\frac{8}{10} + \frac{14}{5} = \frac{4}{5} + \frac{14}{5} = \frac{18}{5} \neq \frac{19}{5}$
- $\frac{28}{3} \neq 10 - \frac{4}{3}$, denn die rechte Seite ergibt $10-\frac{4}{3} = \frac{30}{3} - \frac{4}{3} = \frac{26}{3} (= 8\frac{2}{3}) \neq \frac{28}{3}$
- $\frac{3}{5} + \frac{5}{3} \neq \frac{23}{15}$, denn die linke Seite ergibt $\frac{3}{5} + \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{34}{15} (= 2\frac{4}{15}) \neq \frac{23}{15}$
Brüche vergleichen
Gemeine Brüche in gemischte Brüche umwandeln
Brüche auf dem Zahlenstrahl
Brüche auf dem Zahlenstrahl – Übung
Brüche und Dezimalzahlen ordnen
Scheinbrüche und unechte Brüche
Größenvergleich bei Brüchen – Rechteckstreifen (1)
Größenvergleich bei Brüchen – Kürzen und Erweitern (2)
Größenvergleich bei Brüchen – Übung
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