Scheinbrüche und unechte Brüche
Was sind Scheinbrüche? Scheinbrüche lassen sich als ganze Zahlen darstellen und sind Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist. Entdecke, wie man Scheinbrüche umwandeln kann und was unechte Brüche sind. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Lerntext zum Thema Scheinbrüche und unechte Brüche
Was ist ein Scheinbruch?
In der Mathematik kommen unechte Brüche oder Scheinbrüche in der Bruchrechnung vor. Man verwendet Brüche meistens, um Zahlen darzustellen, die keine ganzen Zahlen sind. Scheinbrüche dagegen sind Brüche, die sich auch als ganze Zahlen darstellen lassen. Man kann einen Scheinbruch immer so umschreiben, dass er gar kein Bruch mehr ist. Ein unechter Bruch ist ein Bruch, den man in eine ganze Zahl und einen echten Bruch umwandeln kann.
Scheinbrüche – Definition
Fünf Fünftel einer Pizza ergeben eine ganze Pizza. Daher ist der Bruch $\frac{5}{5}$ dieselbe Zahl wie die ganze Zahl $1$. Der Bruch $\frac{5}{5}$ heißt Scheinbruch oder unechter Bruch. Ein Bruch heißt Scheinbruch, wenn der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist. Du kannst jeden solchen Bruch zu einem Bruch mit dem Nenner $1$ kürzen. So lässt sich jeder Scheinbruch in eine ganze Zahl umwandeln. Um einen Scheinbruch zu erkennen, kannst du überprüfen, ob der Zähler in der Einmaleinsreihe des Nenners vorkommt.
Scheinbrüche – Beispiel
Um zu erkennen, dass $\frac{56}{7}$ ein Scheinbruch ist, gehst du die Siebenerreihe durch, denn der Nenner ist $7$. Der Zähler $56$ kommt in der Siebenerreihe vor: $8 \cdot 7 =56$. Du kannst also mit $7$ kürzen und erhältst:
$\frac{56}{7} = \frac{8 \cdot 7}{1\cdot 7} = \frac{8}{1} = 8$
Der Bruch $\frac{56}{7}$ ist also ein Scheinbruch und lässt sich auch als $8$ schreiben.
Unechte Brüche
Einen Bruch, bei dem der Zähler größer ist als der Nenner, nennt man unechten Bruch. Bei einem echten Bruch dagegen ist der Zähler kleiner als der Nenner. Da der Zähler eines unechten Bruchs größer ist als der Nenner, enthält er den Nenner oder ein Vielfaches des Nenners. Schreibst du den Zähler eines unechten Bruchs als Summe aus dem größtmöglichen Vielfachen des Nenners und dem Rest, so erhältst du einen Scheinbruch und einen echten Bruch. Den Scheinbruch kannst du als ganze Zahl schreiben:
$\frac{6}{5} = \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = 1\frac{1}{5}$
Auf diese Weise lässt sich jeder unechte Bruch in eine ganze Zahl und einen echten Bruch, also in einen gemischten Bruch umwandeln.
Kurze Zusammenfassung vom Video Scheinbrüche und unechte Brüche
In diesem Video werden dir Scheinbrüche und unechte Brüche verständlich erklärt. Du erfährst, wie man Scheinbrüche in ganze Zahlen umwandeln kann. Außerdem lernst du, wie man einen unechten Bruch in eine ganze Zahl und einen echten Bruch umwandeln kann.
Scheinbrüche und unechte Brüche Übung
-
Definiere die Begriffe „Scheinbruch“, „unechter Bruch“ und „echter Bruch“.
TippsSieh dir folgende Beispiele an:
- Scheinbruch: $\frac {16}8$
- unechter Bruch: $\frac {9}8$
- echter Bruch: $\frac 78$
- gemischte Zahl: $1\frac 18$
Hier siehst du, wie sich ein Bruch zusammensetzt:
- Über dem Bruchstrich steht der Zähler $Z$.
- Dann kommt der Bruchstrich, welcher einem Geteiltzeichen gleicht.
- Unter dem Bruchstrich steht der Nenner $N$.
LösungScheinbrüche:
Bei Scheinbrüchen ist der Zähler $Z$ ein Vielfaches von dem Nenner $N$. Es handelt sich hierbei also eigentlich nicht um einen Bruch, sondern um eine ganze Zahl. Es gilt:
- $\dfrac ZN=\dfrac {k\cdot N}N$ mit $k\in \mathbb{Z}$
Unechte Brüche:
Unechte Brüche sind Brüche, deren Zähler größer sind als ihre Nenner. Man kann solche Brüche daher in ganze Zahlen und echte Brüche zerlegen, also als gemischte Zahl angeben. Es gilt also:
- $\dfrac ZN$ mit $Z>N$
- $\dfrac 54=\dfrac 44+\dfrac 14=1+\dfrac 14=1\dfrac 14$
- $\dfrac 32=\dfrac 22+\dfrac 12=1+\dfrac 12=1\dfrac 12$
- $\dfrac {20}9=\dfrac {18}9+\dfrac 29=2+\dfrac 29=2\dfrac 29$
Echte Brüche sind Brüche, deren Nenner größer sind als ihre Zähler. Es gilt:
- $\dfrac ZN$ mit $Z<N$
-
Gib an, um welche Bruchart es sich bei den gegebenen Brüchen handelt.
TippsBei Scheinbrüchen ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners. Es handelt sich hierbei also eigentlich nicht um einen Bruch, sondern um ganze Zahlen.
Echte Brüche sind Brüche, deren Zähler kleiner sind als ihre Nenner.
Gemischte Zahlen setzen sich aus ganzen Zahlen und echten Brüchen zusammen.
LösungBei Scheinbrüchen ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners. Es handelt sich hierbei also eigentlich nicht um einen Bruch, sondern um ganze Zahlen.
Echte Brüche sind Brüche, deren Zähler kleiner sind als ihre Nenner.
Gemischte Zahlen setzen sich aus ganzen Zahlen und echten Brüchen zusammen.
Damit können wir die Brüche den jeweiligen Brucharten wie folgt zuordnen:
Scheinbruch
- $\dfrac 55=1$
- $\dfrac {10}{5}=2$
- $\dfrac {11}{11}=1$
- $\dfrac {150}{150}=1$
- $\dfrac {2}5$
- $\dfrac {1}5$
- $1\dfrac {1}5$
- $1\dfrac {1}2$
- $1\dfrac {1}4$
-
Ordne die gegebenen Brüche den jeweiligen Brucharten zu.
TippsFür den Zähler $Z$ und Nenner $N$ gelten folgende Beziehungen:
- Scheinbruch: $Z=kN$ mit $k\in\mathbb{Z}$
- echter Bruch: $Z<N$
- unechter Bruch: $Z>N$
Eine gemischte Zahl setzt sich aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch zusammen.
LösungEin Bruch setzt sich aus Zähler, Bruchstrich und Nenner zusammen. Der Zähler steht über dem Bruchstrich und der Nenner unter ihm. Für den Zähler $Z$ und Nenner $N$ gelten folgende Beziehungen:
- Scheinbruch: $Z=kN$ mit $k\in\mathbb{Z}$ (der Zähler ist also ein Vielfaches des Nenners)
- Echter Bruch: $Z<N$
- Unechter Bruch: $Z>N$
Demnach können wir die gegebenen Brüche den Brucharten wie folgt zuordnen:
Scheinbruch
- $\dfrac {15}3$, denn $15:3=5$
- $\dfrac {21}7$, denn $21:7=3$
- $\dfrac {28}{4}$, denn $28:4=7$
- $\dfrac {56}{8}$, denn $56:8=7$
- $\dfrac {9}7$, denn $9>7$
- $\dfrac {7}{6}$, denn $7>6$
- $\dfrac {12}{7}$, denn $12>7$
- $\dfrac 69$, denn $6<9$
- $\dfrac 27$, denn $2<7$
- $\dfrac 2{17}$, denn $2<17$
- $2\dfrac 13$
- $1\dfrac {11}{13}$
-
Erschließe die zugehörigen gemischten Zahlen.
TippsÜberlege, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Daraus resultiert eine ganze Zahl und ein Rest. Schreibe die ganze Zahl auf. Füge an diese einen Bruch an, dessen Zähler dem Rest entspricht. Der Nenner bleibt gleich.
Sieh dir folgendes Beispiel an: $~\frac 73$
Da wir $7:3=2$ mit Rest $1$ erhalten, können wir folgende gemischte Zahl aufstellen: $~2\frac 13$
LösungWenn wir einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umwandeln möchten, gehen wir wie folgt vor:
- Wir überlegen uns, wie oft der Nenner in den Zähler passt. Diese Überlegung liefert uns eine ganze Zahl und einen Rest.
- Wir schreiben die ganze Zahl auf und fügen an diese einen Bruch an, dessen Zähler dem Rest entspricht. Der Nenner bleibt gleich.
- $\dfrac 83=2\dfrac 23$, denn $8:3=2$ mit Rest $2$
- $\dfrac {10}3=3\dfrac 13$, denn $10:3=3$ mit Rest $1$
- $\dfrac 43=1\dfrac 13$, denn $4:3=1$ mit Rest $1$
- $\dfrac {14}3=4\dfrac 23$, denn $14:3=4$ mit Rest $2$
-
Vervollständige die Übersicht zu einem Bruch sowie die Eigenschaften echter und unechter Brüche.
TippsDer Nenner gibt die Gesamtheit der Anteile an und der Zähler sagt, wie viele dieser Teile betrachtet werden. Betrachtet man die Hälfte einer Pizza, so schreibt man $\frac 12$.
Bei einem echten Bruch ist die Zahl über dem Bruchstrich kleiner als die Zahl unter dem Bruchstrich.
LösungBrüche beschreiben einen Teil eines Ganzen. Möchtest du zum Beispiel die Hälfte eines Ganzen angeben, so schreibst du $\frac 12$. Die $1$ ist dabei der Zähler und die $2$ der Nenner des Bruchs $\frac 12$. Es gilt also:
- $\dfrac{\text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hler}\ Z}{\text{Nenner}\ N}$
- Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner. Es gilt also: $~Z<N$
- Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner. Es gilt also: $~Z>N$
-
Ermittle die jeweiligen Brüche.
TippsÜberlege dir, wie viele Teile das Ganze hat. Dann legst du fest, wie viele dieser Teile gefragt sind.
LösungBeispiel 1
Da zwei identische Torten in insgesamt $40$ gleich große Stücke geteilt wurden, setzt sich eine Torte aus $20$ Stücken zusammen. $7$ Stücke sind übrig. Das heißt, dass eine Torte komplett gegessen wurde. Von der anderen wurden $20-7=13$ Stücke gegessen. Damit ist also ein Anteil von $\frac {13}{20}$ der zweiten Torte gegessen worden.
Beispiel 2
In der Klasse sind insgesamt $20$ Schüler/-innen, von denen $3$ krank sind. Damit können $20-3=17$ Schüler/-innen an dem Ausflug teilnehmen. Das entspricht einem Anteil von $\frac {17}{20}$ der Schüler/-innen der Klasse.
Beispiel 3
Sophie möchte $12-4=8$ Abendkleider verkaufen. $4$ von diesen $8$ Kleidern sind rot. Der Anteil roter Kleider an allen Kleidern, die sie verkaufen möchte, beträgt somit $\frac 48=\frac {1}{2}$.
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